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Theorem usgra2pth 31849
Description: In a undirected simply graph, there is a path of length 2 if and only if there are three distinct vertices so that one of them is connected to each of the two others by an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
usgra2pth  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( F ( V Paths  E ) P  /\  ( # `  F )  =  2 )  <->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, E, y, z    x, F, y, z    x, P, y, z    x, V, y, z

Proof of Theorem usgra2pth
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgra2pthspth 31846 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( F ( V Paths  E
) P  <->  F ( V SPaths  E ) P ) )
2 spthispth 24279 . . . . . . . . . 10  |-  ( F ( V SPaths  E ) P  ->  F ( V Paths  E ) P )
3 pthistrl 24278 . . . . . . . . . 10  |-  ( F ( V Paths  E ) P  ->  F ( V Trails  E ) P )
4 trliswlk 24245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F ( V Trails  E ) P  ->  F ( V Walks  E ) P )
5 wlkbprop 24227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
6 3simpc 995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
74, 5, 63syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( F ( V Trails  E ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
82, 3, 73syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( F ( V SPaths  E ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
9 isspth 24275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V SPaths  E ) P 
<->  ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' P ) ) )
10 istrl2 24244 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P 
<->  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
1110anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' P )  <->  ( ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) ) )
12 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 ) )
13 f1eq2 5777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 )  -> 
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  <->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E ) )
1514biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  ->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
1615adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  ->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
1716com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
18173ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
21 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... 2 ) )
2221feq2d 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  P :
( 0 ... 2
) --> V ) )
23 df-f1 5593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  <->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  Fun  `' P ) )
2423simplbi2 625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  -> 
( Fun  `' P  ->  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V
) )
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  -> 
( Fun  `' P  ->  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V
) ) )
2622, 25sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( Fun  `' P  ->  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V
) ) )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( Fun  `' P  ->  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V
) ) )
2827com3l 81 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( Fun  `' P  ->  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  P : ( 0 ... 2 )
-1-1-> V ) ) )
29283ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  ( Fun  `' P  ->  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) ) )
3029imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) )
3130adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  P : ( 0 ... 2 )
-1-1-> V ) )
32 usgra2pthlem1 31848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
3520, 31, 343jcad 1177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
3635ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( (
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 )
-1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
3711, 36sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' P )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 )
-1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
389, 37sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V SPaths  E ) P  ->  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
398, 38mpcom 36 . . . . . . . 8  |-  ( F ( V SPaths  E ) P  ->  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
4039com12 31 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( F ( V SPaths  E
) P  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
411, 40sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( F ( V Paths  E
) P  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
4241ex 434 . . . . 5  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  2  ->  ( F ( V Paths  E ) P  ->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
4342com13 80 . . . 4  |-  ( F ( V Paths  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  =  2  ->  ( V USGrph  E  ->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
4443imp 429 . . 3  |-  ( ( F ( V Paths  E
) P  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
4544com12 31 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( F ( V Paths  E ) P  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
46 2nn0 10812 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
47 f1f 5781 . . . . . 6  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E )
48 hashfirdm 12466 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E )  ->  ( # `  F
)  =  2 )
4946, 47, 48sylancr 663 . . . . 5  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  ( # `
 F )  =  2 )
50 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  =  ( # `  F
)  ->  ( 0..^ 2 )  =  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
5150eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0..^ 2 )  =  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
52 f1eq2 5777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0..^ 2 )  =  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  <-> 
F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
) )
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  <->  F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E ) )
5453biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E ) )
5554imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  ->  F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  /\  P :
( 0 ... 2
) -1-1-> V )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E )
5756ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
58 f1f 5781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  ->  P : ( 0 ... 2 ) --> V )
59 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  =  ( # `  F
)  ->  ( 0 ... 2 )  =  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
6059eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0 ... 2 )  =  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
6160adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  ->  ( 0 ... 2 )  =  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
6261feq2d 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  <->  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V ) )
6358, 62syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V ) )
6463imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  /\  P :
( 0 ... 2
) -1-1-> V )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
6564ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )
66 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( P `  0 )  =  x  <->  x  =  ( P `  0 ) )
6766biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( P `  0 )  =  x  ->  x  =  ( P ` 
0 ) )
68673ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  ->  x  =  ( P `  0 ) )
69 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( P `  1 )  =  y  <->  y  =  ( P `  1 ) )
7069biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( P `  1 )  =  y  ->  y  =  ( P ` 
1 ) )
71703ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  -> 
y  =  ( P `
 1 ) )
7268, 71preq12d 4114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  ->  { x ,  y }  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) } )
7372eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  -> 
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
7473biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  -> 
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  ->  ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } ) )
7574com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  ->  (
( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  ->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
7675adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } )  -> 
( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  ->  ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } ) )
7776impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) } )
78 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( P `  2 )  =  z  <->  z  =  ( P `  2 ) )
7978biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( P `  2 )  =  z  ->  z  =  ( P ` 
2 ) )
80793ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  -> 
z  =  ( P `
 2 ) )
8171, 80preq12d 4114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  ->  { y ,  z }  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) } )
8281eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  -> 
( ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
8382biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  -> 
( ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z }  ->  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )
8483com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z }  ->  (
( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  ->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
8584adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } )  -> 
( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  ->  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )
8685impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) } )
8777, 86jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
8887rexlimivw 2952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
8988rexlimivw 2952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. y  e.  ( V 
\  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
9089rexlimivw 2952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
9190a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) ) )
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) ) ) )
93 fzo0to2pr 11867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
9412, 93syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  {
0 ,  1 } )
9594raleqdv 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  A. i  e.  {
0 ,  1 }  ( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
96 c0ex 9590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  e.  _V
97 1ex 9591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  _V
98 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  0  ->  ( F `  i )  =  ( F ` 
0 ) )
9998fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  =  0  ->  ( E `  ( F `  i ) )  =  ( E `  ( F `  0 )
) )
100 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  0  ->  ( P `  i )  =  ( P ` 
0 ) )
101 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( i  =  0  ->  (
i  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
102 0p1e1 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 0  +  1 )  =  1
103101, 102syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  =  0  ->  (
i  +  1 )  =  1 )
104103fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  0  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  =  ( P ` 
1 ) )
105100, 104preq12d 4114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  =  0  ->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
10699, 105eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  =  0  ->  (
( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
107 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  1  ->  ( F `  i )  =  ( F ` 
1 ) )
108107fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  =  1  ->  ( E `  ( F `  i ) )  =  ( E `  ( F `  1 )
) )
109 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  1  ->  ( P `  i )  =  ( P ` 
1 ) )
110 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( i  =  1  ->  (
i  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
111 1p1e2 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 1  +  1 )  =  2
112110, 111syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  =  1  ->  (
i  +  1 )  =  2 )
113112fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  1  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  =  ( P ` 
2 ) )
114109, 113preq12d 4114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  =  1  ->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )
115108, 114eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  =  1  ->  (
( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
116106, 115ralprg 4076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  ->  ( A. i  e. 
{ 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) ) )
11796, 97, 116mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. i  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( A. i  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) ) )
11995, 118bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) ) )
120119imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( V USGrph  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  <->  ( V USGrph  E  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) ) ) )
121120imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )  <->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) ) ) ) )
12292, 121mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
123122ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  /\  P :
( 0 ... 2
) -1-1-> V )  -> 
( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
124123imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P :
( 0 ... 2
) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
125124imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )
12657, 65, 1253jca 1176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
12723simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  ->  Fun  `' P )
128127adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  /\  P :
( 0 ... 2
) -1-1-> V )  ->  Fun  `' P )
129128ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  Fun  `' P
)
130126, 129jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) )
131 usgrav 24042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
132131adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V ) )
133 ovex 6309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0..^ 2 )  e.  _V
134 fex 6133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E  /\  ( 0..^ 2 )  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
13547, 133, 134sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  F  e.  _V )
136135adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  ->  F  e.  _V )
137 ovex 6309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0 ... 2 )  e. 
_V
138 fex 6133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  ( 0 ... 2 )  e.  _V )  ->  P  e.  _V )
13958, 137, 138sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  ->  P  e.  _V )
140136, 139anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  /\  P :
( 0 ... 2
) -1-1-> V )  -> 
( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)
141140ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( F  e.  _V  /\  P  e. 
_V ) )
142132, 141jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
1439, 11bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V SPaths  E ) P 
<->  ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) ) )
144142, 143syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( F
( V SPaths  E ) P 
<->  ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) ) )
145130, 144mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  F ( V SPaths  E ) P )
146 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  V USGrph  E )
147 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( # `  F
)  =  2 )
148146, 147jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( V USGrph  E  /\  ( # `  F
)  =  2 ) )
149148, 1syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( F
( V Paths  E ) P 
<->  F ( V SPaths  E
) P ) )
150145, 149mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  F ( V Paths  E ) P )
151150, 147jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( F
( V Paths  E ) P  /\  ( # `  F
)  =  2 ) )
152151ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P :
( 0 ... 2
) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
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( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( F ( V Paths  E ) P  /\  ( # `  F
)  =  2 ) ) )
153152ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  /\  P :
( 0 ... 2
) -1-1-> V )  -> 
( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
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1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( F ( V Paths 
E ) P  /\  ( # `  F )  =  2 ) ) ) )
154153ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  -> 
( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
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 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( F ( V Paths 
E ) P  /\  ( # `  F )  =  2 ) ) ) ) )
155154ex 434 . . . . 5  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  -> 
( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( F ( V Paths 
E ) P  /\  ( # `  F )  =  2 ) ) ) ) ) )
15649, 155mpcom 36 . . . 4  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  -> 
( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
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 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( F ( V Paths 
E ) P  /\  ( # `  F )  =  2 ) ) ) ) )
1571563imp 1190 . . 3  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( F ( V Paths  E ) P  /\  ( # `  F
)  =  2 ) ) )
158157com12 31 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
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( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  ->  ( F
( V Paths  E ) P  /\  ( # `  F
)  =  2 ) ) )
15945, 158impbid 191 1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( F ( V Paths  E ) P  /\  ( # `  F )  =  2 )  <->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    \ cdif 3473   {csn 4027   {cpr 4029   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   Fun wfun 5582   -->wf 5584   -1-1->wf1 5585   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495   2c2 10585   NN0cn0 10795   ...cfz 11672  ..^cfzo 11792   #chash 12373   USGrph cusg 24034   Walks cwalk 24202   Trails ctrail 24203   Paths cpath 24204   SPaths cspath 24205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-hash 12374  df-word 12508  df-usgra 24037  df-wlk 24212  df-trail 24213  df-pth 24214  df-spth 24215
This theorem is referenced by:  usgra2pth0  31850
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