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Theorem usgra2pth 30299
Description: In a undirected simply graph, there is a path of length 2 if and only if there are three distinct vertices so that one of them is connected to each of the two others by an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
usgra2pth  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( F ( V Paths  E ) P  /\  ( # `  F )  =  2 )  <->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, E, y, z    x, F, y, z    x, P, y, z    x, V, y, z

Proof of Theorem usgra2pth
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgra2pthspth 30293 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( F ( V Paths  E
) P  <->  F ( V SPaths  E ) P ) )
2 spthispth 23471 . . . . . . . . . 10  |-  ( F ( V SPaths  E ) P  ->  F ( V Paths  E ) P )
3 pthistrl 23470 . . . . . . . . . 10  |-  ( F ( V Paths  E ) P  ->  F ( V Trails  E ) P )
4 trliswlk 23437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F ( V Trails  E ) P  ->  F ( V Walks  E ) P )
5 wlkbprop 23432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
6 3simpc 987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
74, 5, 63syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( F ( V Trails  E ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
82, 3, 73syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( F ( V SPaths  E ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
9 isspth 23467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V SPaths  E ) P 
<->  ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' P ) ) )
10 istrl2 23436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P 
<->  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
1110anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' P )  <->  ( ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) ) )
12 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 ) )
13 f1eq2 5601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 )  -> 
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  <->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E ) )
1514biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  ->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
1615adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  ->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
1716com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
18173ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
21 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... 2 ) )
2221feq2d 5546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  P :
( 0 ... 2
) --> V ) )
23 df-f1 5422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  <->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  Fun  `' P ) )
2423simplbi2 625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  -> 
( Fun  `' P  ->  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V
) )
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  -> 
( Fun  `' P  ->  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V
) ) )
2622, 25sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( Fun  `' P  ->  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V
) ) )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( Fun  `' P  ->  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V
) ) )
2827com3l 81 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( Fun  `' P  ->  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  P : ( 0 ... 2 )
-1-1-> V ) ) )
29283ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  ( Fun  `' P  ->  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) ) )
3029imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) )
3130adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  P : ( 0 ... 2 )
-1-1-> V ) )
32 usgra2pthlem1 30298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
3520, 31, 343jcad 1169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
3635ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( (
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 )
-1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
3711, 36sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' P )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 )
-1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
389, 37sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V SPaths  E ) P  ->  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
398, 38mpcom 36 . . . . . . . 8  |-  ( F ( V SPaths  E ) P  ->  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
4039com12 31 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( F ( V SPaths  E
) P  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
411, 40sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( F ( V Paths  E
) P  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
4241ex 434 . . . . 5  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  2  ->  ( F ( V Paths  E ) P  ->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
4342com13 80 . . . 4  |-  ( F ( V Paths  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  =  2  ->  ( V USGrph  E  ->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
4443imp 429 . . 3  |-  ( ( F ( V Paths  E
) P  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
4544com12 31 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( F ( V Paths  E ) P  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
46 2nn0 10595 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
47 f1f 5605 . . . . . 6  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E )
48 hashfirdm 12203 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E )  ->  ( # `  F
)  =  2 )
4946, 47, 48sylancr 663 . . . . 5  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  ( # `
 F )  =  2 )
50 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  =  ( # `  F
)  ->  ( 0..^ 2 )  =  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
5150eqcoms 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0..^ 2 )  =  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
52 f1eq2 5601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0..^ 2 )  =  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  <-> 
F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
) )
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  <->  F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E ) )
5453biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E ) )
5554imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  ->  F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  /\  P :
( 0 ... 2
) -1-1-> V )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E )
5756ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
58 f1f 5605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  ->  P : ( 0 ... 2 ) --> V )
59 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  =  ( # `  F
)  ->  ( 0 ... 2 )  =  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
6059eqcoms 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0 ... 2 )  =  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
6160adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  ->  ( 0 ... 2 )  =  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
6261feq2d 5546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  <->  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V ) )
6358, 62syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V ) )
6463imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  /\  P :
( 0 ... 2
) -1-1-> V )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
6564ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )
66 eqcom 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( P `  0 )  =  x  <->  x  =  ( P `  0 ) )
6766biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( P `  0 )  =  x  ->  x  =  ( P ` 
0 ) )
68673ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  ->  x  =  ( P `  0 ) )
69 eqcom 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( P `  1 )  =  y  <->  y  =  ( P `  1 ) )
7069biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( P `  1 )  =  y  ->  y  =  ( P ` 
1 ) )
71703ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  -> 
y  =  ( P `
 1 ) )
7268, 71preq12d 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  ->  { x ,  y }  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) } )
7372eqeq2d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  -> 
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
7473biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  -> 
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  ->  ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } ) )
7574com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  ->  (
( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  ->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
7675adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } )  -> 
( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  ->  ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } ) )
7776impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) } )
78 eqcom 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( P `  2 )  =  z  <->  z  =  ( P `  2 ) )
7978biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( P `  2 )  =  z  ->  z  =  ( P ` 
2 ) )
80793ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  -> 
z  =  ( P `
 2 ) )
8171, 80preq12d 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  ->  { y ,  z }  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) } )
8281eqeq2d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  -> 
( ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
8382biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  -> 
( ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z }  ->  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )
8483com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z }  ->  (
( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  ->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
8584adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } )  -> 
( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  ->  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )
8685impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) } )
8777, 86jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
8887rexlimivw 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
8988rexlimivw 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. y  e.  ( V 
\  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
9089rexlimivw 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
9190a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) ) )
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) ) ) )
93 fzo0to2pr 11613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
9412, 93syl6eq 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  {
0 ,  1 } )
9594raleqdv 2922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  A. i  e.  {
0 ,  1 }  ( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
96 c0ex 9379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  e.  _V
97 1ex 9380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  _V
98 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  0  ->  ( F `  i )  =  ( F ` 
0 ) )
9998fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  =  0  ->  ( E `  ( F `  i ) )  =  ( E `  ( F `  0 )
) )
100 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  0  ->  ( P `  i )  =  ( P ` 
0 ) )
101 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( i  =  0  ->  (
i  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
102 0p1e1 10432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 0  +  1 )  =  1
103101, 102syl6eq 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  =  0  ->  (
i  +  1 )  =  1 )
104103fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  0  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  =  ( P ` 
1 ) )
105100, 104preq12d 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  =  0  ->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
10699, 105eqeq12d 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  =  0  ->  (
( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
107 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  1  ->  ( F `  i )  =  ( F ` 
1 ) )
108107fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  =  1  ->  ( E `  ( F `  i ) )  =  ( E `  ( F `  1 )
) )
109 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  1  ->  ( P `  i )  =  ( P ` 
1 ) )
110 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( i  =  1  ->  (
i  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
111 1p1e2 10434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 1  +  1 )  =  2
112110, 111syl6eq 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  =  1  ->  (
i  +  1 )  =  2 )
113112fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  1  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  =  ( P ` 
2 ) )
114109, 113preq12d 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  =  1  ->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )
115108, 114eqeq12d 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  =  1  ->  (
( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
116106, 115ralprg 3924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  ->  ( A. i  e. 
{ 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) ) )
11796, 97, 116mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. i  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( A. i  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) ) )
11995, 118bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) ) )
120119imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( V USGrph  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  <->  ( V USGrph  E  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) ) ) )
121120imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )  <->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) ) ) ) )
12292, 121mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
123122ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  /\  P :
( 0 ... 2
) -1-1-> V )  -> 
( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
124123imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P :
( 0 ... 2
) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
125124imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )
12657, 65, 1253jca 1168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
12723simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  ->  Fun  `' P )
128127adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  /\  P :
( 0 ... 2
) -1-1-> V )  ->  Fun  `' P )
129128ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  Fun  `' P
)
130126, 129jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) )
131 usgrav 23269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
132131adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V ) )
133 ovex 6115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0..^ 2 )  e.  _V
134 fex 5949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E  /\  ( 0..^ 2 )  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
13547, 133, 134sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  F  e.  _V )
136135adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  ->  F  e.  _V )
137 ovex 6115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0 ... 2 )  e. 
_V
138 fex 5949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  ( 0 ... 2 )  e.  _V )  ->  P  e.  _V )
13958, 137, 138sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  ->  P  e.  _V )
140136, 139anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  /\  P :
( 0 ... 2
) -1-1-> V )  -> 
( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)
141140ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( F  e.  _V  /\  P  e. 
_V ) )
142132, 141jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
1439, 11bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V SPaths  E ) P 
<->  ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) ) )
144142, 143syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( F
( V SPaths  E ) P 
<->  ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) ) )
145130, 144mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  F ( V SPaths  E ) P )
146 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  V USGrph  E )
147 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( # `  F
)  =  2 )
148146, 147jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( V USGrph  E  /\  ( # `  F
)  =  2 ) )
149148, 1syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( F
( V Paths  E ) P 
<->  F ( V SPaths  E
) P ) )
150145, 149mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  F ( V Paths  E ) P )
151150, 147jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( F
( V Paths  E ) P  /\  ( # `  F
)  =  2 ) )
152151ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P :
( 0 ... 2
) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
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 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( F ( V Paths  E ) P  /\  ( # `  F
)  =  2 ) ) )
153152ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  /\  P :
( 0 ... 2
) -1-1-> V )  -> 
( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( F ( V Paths 
E ) P  /\  ( # `  F )  =  2 ) ) ) )
154153ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  -> 
( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( F ( V Paths 
E ) P  /\  ( # `  F )  =  2 ) ) ) ) )
155154ex 434 . . . . 5  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  -> 
( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( F ( V Paths 
E ) P  /\  ( # `  F )  =  2 ) ) ) ) ) )
15649, 155mpcom 36 . . . 4  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  -> 
( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
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 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( F ( V Paths 
E ) P  /\  ( # `  F )  =  2 ) ) ) ) )
1571563imp 1181 . . 3  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( F ( V Paths  E ) P  /\  ( # `  F
)  =  2 ) ) )
158157com12 31 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
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( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  ->  ( F
( V Paths  E ) P  /\  ( # `  F
)  =  2 ) ) )
15945, 158impbid 191 1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( F ( V Paths  E ) P  /\  ( # `  F )  =  2 )  <->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714   E.wrex 2715   _Vcvv 2971    \ cdif 3324   {csn 3876   {cpr 3878   class class class wbr 4291   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   Fun wfun 5411   -->wf 5413   -1-1->wf1 5414   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   0cc0 9281   1c1 9282    + caddc 9284   2c2 10370   NN0cn0 10578   ...cfz 11436  ..^cfzo 11547   #chash 12102   USGrph cusg 23263   Walks cwalk 23404   Trails ctrail 23405   Paths cpath 23406   SPaths cspath 23407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-pm 7216  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-card 8108  df-cda 8336  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-hash 12103  df-word 12228  df-usgra 23265  df-wlk 23414  df-trail 23415  df-pth 23416  df-spth 23417
This theorem is referenced by:  usgra2pth0  30300
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