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Theorem usgra2pth 32616
Description: In a undirected simply graph, there is a path of length 2 if and only if there are three distinct vertices so that one of them is connected to each of the two others by an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
usgra2pth  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( F ( V Paths  E ) P  /\  ( # `  F )  =  2 )  <->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, E, y, z    x, F, y, z    x, P, y, z    x, V, y, z

Proof of Theorem usgra2pth
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgra2pthspth 32613 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( F ( V Paths  E
) P  <->  F ( V SPaths  E ) P ) )
2 spthispth 24702 . . . . . . . . . 10  |-  ( F ( V SPaths  E ) P  ->  F ( V Paths  E ) P )
3 pthistrl 24701 . . . . . . . . . 10  |-  ( F ( V Paths  E ) P  ->  F ( V Trails  E ) P )
4 trliswlk 24668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F ( V Trails  E ) P  ->  F ( V Walks  E ) P )
5 wlkbprop 24650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
6 3simpc 995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
74, 5, 63syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( F ( V Trails  E ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
82, 3, 73syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( F ( V SPaths  E ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
9 isspth 24698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V SPaths  E ) P 
<->  ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' P ) ) )
10 istrl2 24667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P 
<->  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
1110anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' P )  <->  ( ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) ) )
12 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 ) )
13 f1eq2 5783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 )  -> 
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  <->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E ) )
1514biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  ->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
1615adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  ->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
1716com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
18173ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
1918ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
20 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... 2 ) )
2120feq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  P :
( 0 ... 2
) --> V ) )
22 df-f1 5599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  <->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  Fun  `' P ) )
2322simplbi2 625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  -> 
( Fun  `' P  ->  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V
) )
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  -> 
( Fun  `' P  ->  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V
) ) )
2521, 24sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( Fun  `' P  ->  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V
) ) )
2625adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( Fun  `' P  ->  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V
) ) )
2726com3l 81 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( Fun  `' P  ->  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  P : ( 0 ... 2 )
-1-1-> V ) ) )
28273ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  ( Fun  `' P  ->  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) ) )
2928imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) )
3029adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  P : ( 0 ... 2 )
-1-1-> V ) )
31 usgra2pthlem1 32615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
3231ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
3319, 30, 323jcad 1177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
3433ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( (
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 )
-1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
3511, 34sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' P )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 )
-1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
369, 35sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V SPaths  E ) P  ->  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
378, 36mpcom 36 . . . . . . . 8  |-  ( F ( V SPaths  E ) P  ->  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
3837com12 31 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( F ( V SPaths  E
) P  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
391, 38sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( F ( V Paths  E
) P  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
4039ex 434 . . . . 5  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  2  ->  ( F ( V Paths  E ) P  ->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
4140com13 80 . . . 4  |-  ( F ( V Paths  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  =  2  ->  ( V USGrph  E  ->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
4241imp 429 . . 3  |-  ( ( F ( V Paths  E
) P  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
4342com12 31 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( F ( V Paths  E ) P  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
44 2nn0 10833 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
45 f1f 5787 . . . . . 6  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E )
46 hashfirdm 12504 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E )  ->  ( # `  F
)  =  2 )
4744, 45, 46sylancr 663 . . . . 5  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  ( # `
 F )  =  2 )
48 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  =  ( # `  F
)  ->  ( 0..^ 2 )  =  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
4948eqcoms 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0..^ 2 )  =  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
50 f1eq2 5783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0..^ 2 )  =  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  <-> 
F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
) )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  <->  F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E ) )
5251biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E ) )
5352imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  ->  F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  /\  P :
( 0 ... 2
) -1-1-> V )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E )
5554ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
56 f1f 5787 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  ->  P : ( 0 ... 2 ) --> V )
57 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  =  ( # `  F
)  ->  ( 0 ... 2 )  =  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
5857eqcoms 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0 ... 2 )  =  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  ->  ( 0 ... 2 )  =  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
6059feq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  <->  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V ) )
6156, 60syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V ) )
6261imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  /\  P :
( 0 ... 2
) -1-1-> V )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
6362ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )
64 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( P `  0 )  =  x  <->  x  =  ( P `  0 ) )
6564biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( P `  0 )  =  x  ->  x  =  ( P ` 
0 ) )
66653ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  ->  x  =  ( P `  0 ) )
67 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( P `  1 )  =  y  <->  y  =  ( P `  1 ) )
6867biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( P `  1 )  =  y  ->  y  =  ( P ` 
1 ) )
69683ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  -> 
y  =  ( P `
 1 ) )
7066, 69preq12d 4119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  ->  { x ,  y }  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) } )
7170eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  -> 
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
7271biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  -> 
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  ->  ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } ) )
7372com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  ->  (
( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  ->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
7473adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } )  -> 
( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  ->  ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } ) )
7574impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) } )
76 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( P `  2 )  =  z  <->  z  =  ( P `  2 ) )
7776biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( P `  2 )  =  z  ->  z  =  ( P ` 
2 ) )
78773ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  -> 
z  =  ( P `
 2 ) )
7969, 78preq12d 4119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  ->  { y ,  z }  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) } )
8079eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  -> 
( ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
8180biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  -> 
( ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z }  ->  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )
8281com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z }  ->  (
( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  ->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
8382adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } )  -> 
( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  ->  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )
8483impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) } )
8575, 84jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
8685rexlimivw 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
8786rexlimivw 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. y  e.  ( V 
\  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
8887rexlimivw 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
8988a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) ) )
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) ) ) )
91 fzo0to2pr 11902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
9212, 91syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  {
0 ,  1 } )
9392raleqdv 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  A. i  e.  {
0 ,  1 }  ( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
94 2wlklem 24693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. i  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( A. i  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) ) )
9693, 95bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) ) )
9796imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( V USGrph  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  <->  ( V USGrph  E  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) ) ) )
9897imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )  <->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) ) ) ) )
9990, 98mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
10099ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  /\  P :
( 0 ... 2
) -1-1-> V )  -> 
( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
101100imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P :
( 0 ... 2
) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
102101imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )
10355, 63, 1023jca 1176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
10422simprbi 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  ->  Fun  `' P )
105104adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  /\  P :
( 0 ... 2
) -1-1-> V )  ->  Fun  `' P )
106105ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
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2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  Fun  `' P
)
107103, 106jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) )
108 usgrav 24465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
109108adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
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)  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V ) )
110 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0..^ 2 )  e.  _V
111 fex 6146 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E  /\  ( 0..^ 2 )  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
11245, 110, 111sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  F  e.  _V )
113112adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  ->  F  e.  _V )
114 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 ... 2 )  e. 
_V
115 fex 6146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  ( 0 ... 2 )  e.  _V )  ->  P  e.  _V )
11656, 114, 115sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  ->  P  e.  _V )
117113, 116anim12i 566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  /\  P :
( 0 ... 2
) -1-1-> V )  -> 
( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)
118117ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
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1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( F  e.  _V  /\  P  e. 
_V ) )
1199, 11bitrd 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V SPaths  E ) P 
<->  ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) ) )
120109, 118, 119syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( F
( V SPaths  E ) P 
<->  ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) ) )
121107, 120mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
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122 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
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123 simp-4l 767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
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 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( # `  F
)  =  2 )
124122, 123, 1syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
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 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( F
( V Paths  E ) P 
<->  F ( V SPaths  E
) P ) )
125121, 124mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
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)  ->  F ( V Paths  E ) P )
126125, 123jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
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( V Paths  E ) P  /\  ( # `  F
)  =  2 ) )
127126ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P :
( 0 ... 2
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( E `  ( F `  0 )
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 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( F ( V Paths  E ) P  /\  ( # `  F
)  =  2 ) ) )
128127exp41 610 . . . . 5  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  -> 
( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
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E ) P  /\  ( # `  F )  =  2 ) ) ) ) ) )
12947, 128mpcom 36 . . . 4  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  -> 
( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
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1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( F ( V Paths 
E ) P  /\  ( # `  F )  =  2 ) ) ) ) )
1301293imp 1190 . . 3  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( F ( V Paths  E ) P  /\  ( # `  F
)  =  2 ) ) )
131130com12 31 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
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( E `  ( F `  0 )
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 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  ->  ( F
( V Paths  E ) P  /\  ( # `  F
)  =  2 ) ) )
13243, 131impbid 191 1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( F ( V Paths  E ) P  /\  ( # `  F )  =  2 )  <->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
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( E `  ( F `  0 )
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 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    \ cdif 3468   {csn 4032   {cpr 4034   class class class wbr 4456   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   Fun wfun 5588   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512   2c2 10606   NN0cn0 10816   ...cfz 11697  ..^cfzo 11821   #chash 12408   USGrph cusg 24457   Walks cwalk 24625   Trails ctrail 24626   Paths cpath 24627   SPaths cspath 24628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-hash 12409  df-word 12546  df-usgra 24460  df-wlk 24635  df-trail 24636  df-pth 24637  df-spth 24638
This theorem is referenced by:  usgra2pth0  32617
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