Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgra2adedgwlkon Structured version   Visualization version   Unicode version

 Description: In an undirected simple graph, two adjacent edges form a walk between two (different) vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression

StepHypRef Expression
1 usgrav 25065 . . . . . . 7 USGrph
21adantr 467 . . . . . 6 USGrph
3 usgraedgrnv 25104 . . . . . . . . . 10 USGrph
43ancomd 453 . . . . . . . . 9 USGrph
54adantrr 723 . . . . . . . 8 USGrph
65simprd 465 . . . . . . 7 USGrph
73adantrr 723 . . . . . . . 8 USGrph
87simprd 465 . . . . . . 7 USGrph
9 usgraedgrnv 25104 . . . . . . . . 9 USGrph
109adantrl 722 . . . . . . . 8 USGrph
1110simprd 465 . . . . . . 7 USGrph
126, 8, 113jca 1188 . . . . . 6 USGrph
132, 12jca 535 . . . . 5 USGrph
14 usgra2adedgspthlem1 25339 . . . . 5 USGrph
15 fvex 5875 . . . . . . 7
16 fvex 5875 . . . . . . 7
1715, 16pm3.2i 457 . . . . . 6
18 usgra2adedgspth.f . . . . . 6
19 usgra2adedgspth.p . . . . . 6
2017, 18, 19constr2wlk 25328 . . . . 5 Walks
2113, 14, 20sylc 62 . . . 4 USGrph Walks
223ex 436 . . . . . . 7 USGrph
239ex 436 . . . . . . 7 USGrph
2422, 23anim12d 566 . . . . . 6 USGrph
25192wlklemA 25284 . . . . . . . 8
2625adantr 467 . . . . . . 7
2717, 182trllemA 25280 . . . . . . . . . 10
2827fveq2i 5868 . . . . . . . . 9
29192wlklemC 25286 . . . . . . . . 9
3028, 29syl5eq 2497 . . . . . . . 8
3130adantl 468 . . . . . . 7
3226, 31anim12i 570 . . . . . 6
3324, 32syl6 34 . . . . 5 USGrph
3433imp 431 . . . 4 USGrph
35 3anass 989 . . . 4 Walks Walks
3621, 34, 35sylanbrc 670 . . 3 USGrph Walks
37 prex 4642 . . . . . . 7
3818, 37eqeltri 2525 . . . . . 6
39 tpex 6590 . . . . . . 7
4019, 39eqeltri 2525 . . . . . 6
4138, 40pm3.2i 457 . . . . 5
4241a1i 11 . . . 4 USGrph
433simpld 461 . . . . 5 USGrph
449simprd 465 . . . . 5 USGrph
4543, 44anim12dan 848 . . . 4 USGrph
46 iswlkon 25262 . . . 4 WalkOn Walks
472, 42, 45, 46syl3anc 1268 . . 3 USGrph WalkOn Walks
4836, 47mpbird 236 . 2 USGrph WalkOn
4948ex 436 1 USGrph WalkOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887  cvv 3045  cpr 3970  ctp 3972  cop 3974   class class class wbr 4402  ccnv 4833   crn 4835  cfv 5582  (class class class)co 6290  cc0 9539  c1 9540  c2 10659  chash 12515   USGrph cusg 25057   Walks cwalk 25226   WalkOn cwlkon 25230 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12516  df-word 12664  df-usgra 25060  df-wlk 25236  df-wlkon 25242 This theorem is referenced by:  usg2wlkon  25346
 Copyright terms: Public domain W3C validator