MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgra2adedgspthlem1 Structured version   Unicode version

Theorem usgra2adedgspthlem1 24813
Description: Lemma 1 for usgra2adedgspth 24815. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
usgra2adedgspthlem1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( E `
 ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  ( `' E `  { B ,  C } ) )  =  { B ,  C } ) )

Proof of Theorem usgra2adedgspthlem1
StepHypRef Expression
1 usgraf1o 24560 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
2 f1ocnvfv2 6158 . . . . . 6  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E )  ->  ( E `  ( `' E `  { A ,  B }
) )  =  { A ,  B }
)
32ex 432 . . . . 5  |-  ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  ->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  ->  ( E `  ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B } ) )
43adantr 463 . . . 4  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  V USGrph  E )  ->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  ->  ( E `  ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B } ) )
5 f1ocnvfv2 6158 . . . . . 6  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E )  ->  ( E `  ( `' E `  { B ,  C }
) )  =  { B ,  C }
)
65ex 432 . . . . 5  |-  ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  ->  ( { B ,  C }  e.  ran  E  ->  ( E `  ( `' E `  { B ,  C } ) )  =  { B ,  C } ) )
76adantr 463 . . . 4  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  V USGrph  E )  ->  ( { B ,  C }  e.  ran  E  ->  ( E `  ( `' E `  { B ,  C } ) )  =  { B ,  C } ) )
84, 7anim12d 561 . . 3  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  V USGrph  E )  ->  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E )  ->  ( ( E `  ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  ( `' E `  { B ,  C } ) )  =  { B ,  C } ) ) )
91, 8mpancom 667 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E )  -> 
( ( E `  ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  ( `' E `  { B ,  C } ) )  =  { B ,  C } ) ) )
109imp 427 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( E `
 ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  ( `' E `  { B ,  C } ) )  =  { B ,  C } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   {cpr 4018   class class class wbr 4439   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   ran crn 4989   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570   USGrph cusg 24532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-hash 12388  df-usgra 24535
This theorem is referenced by:  usgra2adedgspthlem2  24814  usgra2adedgwlk  24816  usgra2adedgwlkon  24817
  Copyright terms: Public domain W3C validator