Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usgr2edg1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem usgr2edg1 39302
Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a simple graph, there is not only one edge starting at this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 17-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
usgrf1oedg.i  |-  I  =  (iEdg `  G )
usgrf1oedg.e  |-  E  =  (Edg `  G )
Assertion
Ref Expression
usgr2edg1  |-  ( ( ( G  e. USGraph  /\  A  =/=  B )  /\  ( { N ,  A }  e.  E  /\  { B ,  N }  e.  E
) )  ->  -.  E! x  e.  dom  I  N  e.  (
I `  x )
)
Distinct variable groups:    x, G    x, A    x, B    x, I    x, N
Allowed substitution hint:    E( x)

Proof of Theorem usgr2edg1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgrf1oedg.i . . . . . 6  |-  I  =  (iEdg `  G )
2 usgrf1oedg.e . . . . . 6  |-  E  =  (Edg `  G )
31, 2usgr2edg 39301 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. USGraph  /\  A  =/=  B )  /\  ( { N ,  A }  e.  E  /\  { B ,  N }  e.  E
) )  ->  E. x  e.  dom  I E. y  e.  dom  I ( x  =/=  y  /\  N  e.  ( I `  x
)  /\  N  e.  ( I `  y
) ) )
4 3anrot 991 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =/=  y  /\  N  e.  ( I `  x )  /\  N  e.  ( I `  y
) )  <->  ( N  e.  ( I `  x
)  /\  N  e.  ( I `  y
)  /\  x  =/=  y ) )
5 df-ne 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
653anbi3i 1202 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( I `
 x )  /\  N  e.  ( I `  y )  /\  x  =/=  y )  <->  ( N  e.  ( I `  x
)  /\  N  e.  ( I `  y
)  /\  -.  x  =  y ) )
74, 6bitri 253 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =/=  y  /\  N  e.  ( I `  x )  /\  N  e.  ( I `  y
) )  <->  ( N  e.  ( I `  x
)  /\  N  e.  ( I `  y
)  /\  -.  x  =  y ) )
8 df-3an 988 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( I `
 x )  /\  N  e.  ( I `  y )  /\  -.  x  =  y )  <->  ( ( N  e.  ( I `  x )  /\  N  e.  ( I `  y ) )  /\  -.  x  =  y ) )
97, 8bitri 253 . . . . . 6  |-  ( ( x  =/=  y  /\  N  e.  ( I `  x )  /\  N  e.  ( I `  y
) )  <->  ( ( N  e.  ( I `  x )  /\  N  e.  ( I `  y
) )  /\  -.  x  =  y )
)
1092rexbii 2892 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  dom  I E. y  e.  dom  I ( x  =/=  y  /\  N  e.  ( I `  x
)  /\  N  e.  ( I `  y
) )  <->  E. x  e.  dom  I E. y  e.  dom  I ( ( N  e.  ( I `
 x )  /\  N  e.  ( I `  y ) )  /\  -.  x  =  y
) )
113, 10sylib 200 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. USGraph  /\  A  =/=  B )  /\  ( { N ,  A }  e.  E  /\  { B ,  N }  e.  E
) )  ->  E. x  e.  dom  I E. y  e.  dom  I ( ( N  e.  ( I `
 x )  /\  N  e.  ( I `  y ) )  /\  -.  x  =  y
) )
12 rexanali 2842 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  dom  I
( ( N  e.  ( I `  x
)  /\  N  e.  ( I `  y
) )  /\  -.  x  =  y )  <->  -. 
A. y  e.  dom  I ( ( N  e.  ( I `  x )  /\  N  e.  ( I `  y
) )  ->  x  =  y ) )
1312rexbii 2891 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  dom  I E. y  e.  dom  I ( ( N  e.  ( I `  x )  /\  N  e.  ( I `  y
) )  /\  -.  x  =  y )  <->  E. x  e.  dom  I  -.  A. y  e.  dom  I ( ( N  e.  ( I `  x )  /\  N  e.  ( I `  y
) )  ->  x  =  y ) )
14 rexnal 2838 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  dom  I  -.  A. y  e.  dom  I ( ( N  e.  ( I `  x )  /\  N  e.  ( I `  y
) )  ->  x  =  y )  <->  -.  A. x  e.  dom  I A. y  e.  dom  I ( ( N  e.  ( I `
 x )  /\  N  e.  ( I `  y ) )  ->  x  =  y )
)
1513, 14bitri 253 . . . 4  |-  ( E. x  e.  dom  I E. y  e.  dom  I ( ( N  e.  ( I `  x )  /\  N  e.  ( I `  y
) )  /\  -.  x  =  y )  <->  -. 
A. x  e.  dom  I A. y  e.  dom  I ( ( N  e.  ( I `  x )  /\  N  e.  ( I `  y
) )  ->  x  =  y ) )
1611, 15sylib 200 . . 3  |-  ( ( ( G  e. USGraph  /\  A  =/=  B )  /\  ( { N ,  A }  e.  E  /\  { B ,  N }  e.  E
) )  ->  -.  A. x  e.  dom  I A. y  e.  dom  I ( ( N  e.  ( I `  x )  /\  N  e.  ( I `  y
) )  ->  x  =  y ) )
1716intnand 928 . 2  |-  ( ( ( G  e. USGraph  /\  A  =/=  B )  /\  ( { N ,  A }  e.  E  /\  { B ,  N }  e.  E
) )  ->  -.  ( E. x  e.  dom  I  N  e.  (
I `  x )  /\  A. x  e.  dom  I A. y  e.  dom  I ( ( N  e.  ( I `  x )  /\  N  e.  ( I `  y
) )  ->  x  =  y ) ) )
18 fveq2 5870 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
I `  x )  =  ( I `  y ) )
1918eleq2d 2516 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( N  e.  ( I `  x )  <->  N  e.  ( I `  y
) ) )
2019reu4 3234 . 2  |-  ( E! x  e.  dom  I  N  e.  ( I `  x )  <->  ( E. x  e.  dom  I  N  e.  ( I `  x )  /\  A. x  e.  dom  I A. y  e.  dom  I ( ( N  e.  ( I `  x )  /\  N  e.  ( I `  y ) )  ->  x  =  y ) ) )
2117, 20sylnibr 307 1  |-  ( ( ( G  e. USGraph  /\  A  =/=  B )  /\  ( { N ,  A }  e.  E  /\  { B ,  N }  e.  E
) )  ->  -.  E! x  e.  dom  I  N  e.  (
I `  x )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   E!wreu 2741   {cpr 3972   dom cdm 4837   ` cfv 5585  iEdgciedg 39112  Edgcedga 39220   USGraph cusgr 39246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-hash 12523  df-umgr 39185  df-edga 39221  df-usgr 39248
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator