Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgn0fidegnn0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem usgn0fidegnn0 25750
 Description: In a nonempty, finite graph there is a vertex having a nonnegative integer as degree. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
usgn0fidegnn0 USGrph VDeg
Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem usgn0fidegnn0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3740 . . . 4
2 usgfidegfi 25631 . . . . . . . . . 10 USGrph VDeg
3 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . 12 VDeg VDeg
43eleq1d 2512 . . . . . . . . . . 11 VDeg VDeg
54rspccv 3146 . . . . . . . . . 10 VDeg VDeg
62, 5syl 17 . . . . . . . . 9 USGrph VDeg
763impia 1204 . . . . . . . 8 USGrph VDeg
8 risset 2914 . . . . . . . . 9 VDeg VDeg
9 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 VDeg VDeg
109eqeq1d 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15 VDeg VDeg
11 eqcom 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15 VDeg VDeg
1210, 11syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . . 14 VDeg VDeg
1312rexbidv 2900 . . . . . . . . . . . . 13 VDeg VDeg
1413rspcev 3149 . . . . . . . . . . . 12 VDeg VDeg
1514ex 436 . . . . . . . . . . 11 VDeg VDeg
16153ad2ant3 1030 . . . . . . . . . 10 USGrph VDeg VDeg
1716com12 32 . . . . . . . . 9 VDeg USGrph VDeg
188, 17sylbi 199 . . . . . . . 8 VDeg USGrph VDeg
197, 18mpcom 37 . . . . . . 7 USGrph VDeg
20193exp 1206 . . . . . 6 USGrph VDeg
2120com13 83 . . . . 5 USGrph VDeg
2221exlimiv 1775 . . . 4 USGrph VDeg
231, 22sylbi 199 . . 3 USGrph VDeg
2423com13 83 . 2 USGrph VDeg
25243imp 1201 1 USGrph VDeg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   w3a 984   wceq 1443  wex 1662   wcel 1886   wne 2621  wral 2736  wrex 2737  c0 3730   class class class wbr 4401  cfv 5581  (class class class)co 6288  cfn 7566  cn0 10866   USGrph cusg 25050   VDeg cvdg 25614 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-xadd 11407  df-fz 11782  df-hash 12513  df-usgra 25053  df-vdgr 25615 This theorem is referenced by:  friendshipgt3  25842
 Copyright terms: Public domain W3C validator