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Theorem usghashecclwwlk 24962
 Description: The size of every equivalence class of the equivalence relation over the set of closed walks (defined as words) with a fixed length which is a prime number equals this length (in an undirected simple graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
erclwwlkn.w ClWWalksN
erclwwlkn.r cyclShift
Assertion
Ref Expression
usghashecclwwlk USGrph
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()

Proof of Theorem usghashecclwwlk
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erclwwlkn.w . . . . 5 ClWWalksN
2 erclwwlkn.r . . . . 5 cyclShift
31, 2eclclwwlkn1 24959 . . . 4 cyclShift
4 rabeq 3103 . . . . . . . . . 10 ClWWalksN cyclShift ClWWalksN cyclShift
51, 4mp1i 12 . . . . . . . . 9 USGrph cyclShift ClWWalksN cyclShift
6 prmnn 14232 . . . . . . . . . . . 12
76nnnn0d 10873 . . . . . . . . . . 11
87adantl 466 . . . . . . . . . 10 USGrph
91eleq2i 2535 . . . . . . . . . . 11 ClWWalksN
109biimpi 194 . . . . . . . . . 10 ClWWalksN
11 clwwlknscsh 24946 . . . . . . . . . 10 ClWWalksN ClWWalksN cyclShift Word cyclShift
128, 10, 11syl2an 477 . . . . . . . . 9 USGrph ClWWalksN cyclShift Word cyclShift
135, 12eqtrd 2498 . . . . . . . 8 USGrph cyclShift Word cyclShift
1413eqeq2d 2471 . . . . . . 7 USGrph cyclShift Word cyclShift
156adantl 466 . . . . . . . . . . . 12 USGrph
16 clwwlknprop 24899 . . . . . . . . . . . . . . 15 ClWWalksN Word
17 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word Word
18 elnnne0 10830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
19 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2019eqcoms 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2120adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
22 hasheq0 12436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word
2321, 22sylan9bbr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word
2423necon3bid 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word
2524biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word
2625adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word
2718, 26sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word
2827impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word
29 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3029biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3130adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3231ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word
3317, 28, 323jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word Word
3433ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word Word
35343adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word Word
3616, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 ClWWalksN Word
3736com12 31 . . . . . . . . . . . . 13 ClWWalksN Word
389, 37syl5bi 217 . . . . . . . . . . . 12 Word
3915, 38syl 16 . . . . . . . . . . 11 USGrph Word
4039imp 429 . . . . . . . . . 10 USGrph Word
41 scshwfzeqfzo 12806 . . . . . . . . . 10 Word Word cyclShift Word ..^ cyclShift
4240, 41syl 16 . . . . . . . . 9 USGrph Word cyclShift Word ..^ cyclShift
4342eqeq2d 2471 . . . . . . . 8 USGrph Word cyclShift Word ..^ cyclShift
44 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word ..^ cyclShift Word ..^ cyclShift
45 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word ClWWalksN USGrph USGrph
46 prmuz2 14247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4746adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 USGrph
4847adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word ClWWalksN USGrph
49 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word ClWWalksN USGrph ClWWalksN
50 usg2cwwkdifex 24948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 USGrph ClWWalksN ..^
5145, 48, 49, 50syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word ClWWalksN USGrph ..^
52 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 cyclShift cyclShift
5352eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 cyclShift cyclShift
5453cbvrexv 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ cyclShift ..^ cyclShift
55 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 cyclShift cyclShift
56 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 cyclShift cyclShift
5755, 56syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 cyclShift cyclShift
5857rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ cyclShift ..^ cyclShift
5954, 58syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ cyclShift ..^ cyclShift
6059cbvrabv 3108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word ..^ cyclShift Word ..^ cyclShift
6160cshwshashnsame 14600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word ..^ Word ..^ cyclShift
6261ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word ClWWalksN USGrph ..^ Word ..^ cyclShift
6351, 62mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word ClWWalksN USGrph Word ..^ cyclShift
6444, 63sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . . . . 14 Word ClWWalksN USGrph Word ..^ cyclShift
6564exp41 610 . . . . . . . . . . . . 13 Word ClWWalksN USGrph Word ..^ cyclShift
66653ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . 12 Word ClWWalksN USGrph Word ..^ cyclShift
67 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ClWWalksN ClWWalksN
6867eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ClWWalksN ClWWalksN
69 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7069anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 USGrph USGrph
71 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ ..^
7271rexeqdv 3061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ cyclShift ..^ cyclShift
7372rabbidv 3101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word ..^ cyclShift Word ..^ cyclShift
7473eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word ..^ cyclShift Word ..^ cyclShift
75 eqeq2 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7674, 75imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word ..^ cyclShift Word ..^ cyclShift
7770, 76imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 USGrph Word ..^ cyclShift USGrph Word ..^ cyclShift
7868, 77imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15 ClWWalksN USGrph Word ..^ cyclShift ClWWalksN USGrph Word ..^ cyclShift
7978eqcoms 2469 . . . . . . . . . . . . . 14 ClWWalksN USGrph Word ..^ cyclShift ClWWalksN USGrph Word ..^ cyclShift
8079adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13 ClWWalksN USGrph Word ..^ cyclShift ClWWalksN USGrph Word ..^ cyclShift
81803ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . 12 Word ClWWalksN USGrph Word ..^ cyclShift ClWWalksN USGrph Word ..^ cyclShift
8266, 81mpbird 232 . . . . . . . . . . 11 Word ClWWalksN USGrph Word ..^ cyclShift
8316, 82mpcom 36 . . . . . . . . . 10 ClWWalksN USGrph Word ..^ cyclShift
849, 83sylbi 195 . . . . . . . . 9 USGrph Word ..^ cyclShift
8584impcom 430 . . . . . . . 8 USGrph Word ..^ cyclShift
8643, 85sylbid 215 . . . . . . 7 USGrph Word cyclShift
8714, 86sylbid 215 . . . . . 6 USGrph cyclShift
8887rexlimdva 2949 . . . . 5 USGrph cyclShift
8988com12 31 . . . 4 cyclShift USGrph
903, 89syl6bi 228 . . 3 USGrph
9190pm2.43i 47 . 2 USGrph
9291com12 31 1 USGrph
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  wrex 2808  crab 2811  cvv 3109  c0 3793   class class class wbr 4456  copab 4514  cfv 5594  (class class class)co 6296  cqs 7328  cc0 9509  cn 10556  c2 10606  cn0 10816  cuz 11106  cfz 11697  ..^cfzo 11821  chash 12408  Word cword 12538   cyclShift ccsh 12771  cprime 14229   USGrph cusg 24457   ClWWalksN cclwwlkn 24876 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-word 12546  df-lsw 12547  df-concat 12548  df-substr 12550  df-reps 12553  df-csh 12772  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-prm 14230  df-phi 14308  df-usgra 24460  df-clwwlk 24878  df-clwwlkn 24879 This theorem is referenced by:  hashclwwlkn  24963
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