MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgfidegfi Structured version   Unicode version

Theorem usgfidegfi 25480
Description: In a finite graph, the degree of each vertex is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
usgfidegfi  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin )  ->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  e.  NN0 )
Distinct variable groups:    v, E    v, V

Proof of Theorem usgfidegfi
StepHypRef Expression
1 usgraf1 24930 . . . . . 6  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> ran  E )
2 usgrafis 24985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin )  ->  E  e.  Fin )
3 simplrr 769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin )
)  /\  E : dom  E -1-1-> ran  E )  ->  V  e.  Fin )
4 f1fn 5788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E : dom  E -1-1-> ran  E  ->  E  Fn  dom  E )
54adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin )
)  /\  E : dom  E -1-1-> ran  E )  ->  E  Fn  dom  E )
6 dmfi 7851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  e.  Fin  ->  dom  E  e.  Fin )
76ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin )
)  /\  E : dom  E -1-1-> ran  E )  ->  dom  E  e.  Fin )
83, 5, 73jca 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin )
)  /\  E : dom  E -1-1-> ran  E )  -> 
( V  e.  Fin  /\  E  Fn  dom  E  /\  dom  E  e.  Fin ) )
98exp31 607 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  Fin  ->  (
( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin )  ->  ( E : dom  E
-1-1-> ran  E  ->  ( V  e.  Fin  /\  E  Fn  dom  E  /\  dom  E  e.  Fin ) ) ) )
102, 9mpcom 37 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin )  ->  ( E : dom  E -1-1-> ran  E  ->  ( V  e. 
Fin  /\  E  Fn  dom  E  /\  dom  E  e.  Fin ) ) )
1110expcom 436 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( V USGrph  E  ->  ( E : dom  E -1-1-> ran  E  ->  ( V  e.  Fin  /\  E  Fn  dom  E  /\  dom  E  e.  Fin ) ) ) )
1211com13 83 . . . . . 6  |-  ( E : dom  E -1-1-> ran  E  ->  ( V USGrph  E  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( V  e.  Fin  /\  E  Fn  dom  E  /\  dom  E  e.  Fin ) ) ) )
131, 12mpcom 37 . . . . 5  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
Fin  ->  ( V  e. 
Fin  /\  E  Fn  dom  E  /\  dom  E  e.  Fin ) ) )
1413imp 430 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin )  ->  ( V  e.  Fin  /\  E  Fn  dom  E  /\  dom  E  e.  Fin ) )
15 vdgrfif 25469 . . . 4  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  E  Fn  dom  E  /\  dom  E  e.  Fin )  ->  ( V VDeg  E ) : V --> NN0 )
1614, 15syl 17 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin )  ->  ( V VDeg  E ) : V --> NN0 )
1716ffvelrnda 6028 . 2  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin )  /\  v  e.  V
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  e.  NN0 )
1817ralrimiva 2837 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin )  ->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    e. wcel 1867   A.wral 2773   class class class wbr 4417   dom cdm 4845   ran crn 4846    Fn wfn 5587   -->wf 5588   -1-1->wf1 5589   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   Fincfn 7568   NN0cn0 10858   USGrph cusg 24900   VDeg cvdg 25463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-xadd 11399  df-fz 11772  df-hash 12502  df-usgra 24903  df-vdgr 25464
This theorem is referenced by:  usgfiregdegfi  25481  nbhashnn0  25484  usgn0fidegnn0  25599  usgreghash2spot  25639
  Copyright terms: Public domain W3C validator