Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usg2wlkonot Structured version   Unicode version

Theorem usg2wlkonot 25010
 Description: A walk of length 2 between two vertices as ordered triple in an undirected simple graph. This theorem would also hold for undirected multigraphs, but to proof this the cases and/or must be considered separately. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
usg2wlkonot USGrph 2WalksOnOt

Proof of Theorem usg2wlkonot
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgrav 24465 . . 3 USGrph
2 el2wlkonotot 25000 . . . 4 2WalksOnOt Walks
323adantr2 1156 . . 3 2WalksOnOt Walks
41, 3sylan 471 . 2 USGrph 2WalksOnOt Walks
5 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
6 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
75, 6pm3.2i 455 . . . . . . . . . . 11
8 is2wlk 24694 . . . . . . . . . . 11 Walks ..^
91, 7, 8sylancl 662 . . . . . . . . . 10 USGrph Walks ..^
10 preq12 4113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11103adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1211eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15
13 preq12 4113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
14133adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1514eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15
1612, 15anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14
1716bicomd 201 . . . . . . . . . . . . 13
18173anbi3d 1305 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
19 usgrafun 24476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 USGrph
20 c0ex 9607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2120prid1 4140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
22 fzo0to2pr 11902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^
2321, 22eleqtrri 2544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
24 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^ ..^
2523, 24mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
26 fvelrn 6025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2725, 26sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
28 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2927, 28syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
30 1ex 9608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3130prid2 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3231, 22eleqtrri 2544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
33 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^ ..^
3432, 33mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
35 fvelrn 6025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3634, 35sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
37 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3836, 37syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
3929, 38anim12d 563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
4019, 39sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 USGrph ..^
4140a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . 16 USGrph ..^
4241expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ USGrph
4342com24 87 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ USGrph
4443a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ USGrph
45443imp 1190 . . . . . . . . . . . 12 ..^ USGrph
4618, 45syl6bi 228 . . . . . . . . . . 11 ..^ USGrph
4746com14 88 . . . . . . . . . 10 USGrph ..^
489, 47sylbid 215 . . . . . . . . 9 USGrph Walks
4948com14 88 . . . . . . . 8 Walks USGrph
5049expdcom 439 . . . . . . 7 Walks USGrph
51503imp 1190 . . . . . 6 Walks USGrph
5251com13 80 . . . . 5 USGrph Walks
5352imp 429 . . . 4 USGrph Walks
5453exlimdvv 1726 . . 3 USGrph Walks
55 usg2wlk 24744 . . . . 5 USGrph Walks
56553expib 1199 . . . 4 USGrph Walks
5756adantr 465 . . 3 USGrph Walks
5854, 57impbid 191 . 2 USGrph Walks
594, 58bitrd 253 1 USGrph 2WalksOnOt
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1395  wex 1613   wcel 1819  cvv 3109  cpr 4034  cotp 4040   class class class wbr 4456   cdm 5008   crn 5009   wfun 5588  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296  cc0 9509  c1 9510  c2 10606  cfz 11697  ..^cfzo 11821  chash 12408   USGrph cusg 24457   Walks cwalk 24625   2WalksOnOt c2wlkonot 24982 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-hash 12409  df-word 12546  df-usgra 24460  df-wlk 24635  df-wlkon 24641  df-2wlkonot 24985 This theorem is referenced by:  usg2spthonot  25015  usg2spthonot0  25016  frg2woteu  25182  frg2woteqm  25186
 Copyright terms: Public domain W3C validator