Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usg2wlk Structured version   Unicode version

Theorem usg2wlk 30309
Description: In an undirected simple graph, two adjacent edges form a walk between two (different) vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
usg2wlk  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E )  ->  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  B  =  ( p `  1 )  /\  C  =  ( p `  2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, f, p    B, f, p    C, f, p    f, E, p   
f, V, p

Proof of Theorem usg2wlk
StepHypRef Expression
1 prex 4534 . . 3  |-  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  e.  _V
2 tpex 6379 . . 3  |-  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  e.  _V
31, 2pm3.2i 455 . 2  |-  ( {
<. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  e.  _V  /\  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  e.  _V )
4 eqid 2443 . . . 4  |-  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }
5 eqid 2443 . . . 4  |-  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }
64, 5usgra2adedgwlk 30306 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E )  -> 
( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ( V Walks  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2  /\  ( A  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } `  0
)  /\  B  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } `  1 )  /\  C  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } `  2 ) ) ) ) )
763impib 1185 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ( V Walks  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2  /\  ( A  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } `  0
)  /\  B  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } `  1 )  /\  C  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } `  2 ) ) ) )
8 breq12 4297 . . . 4  |-  ( ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  /\  p  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )  ->  (
f ( V Walks  E
) p  <->  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ( V Walks  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } ) )
9 fveq2 5691 . . . . . 6  |-  ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ->  ( # `  f
)  =  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } ) )
109eqeq1d 2451 . . . . 5  |-  ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ->  ( ( # `  f )  =  2  <-> 
( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2 ) )
1110adantr 465 . . . 4  |-  ( ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  /\  p  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )  ->  (
( # `  f )  =  2  <->  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2 ) )
12 fveq1 5690 . . . . . . 7  |-  ( p  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  ->  (
p `  0 )  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } `  0 ) )
1312eqeq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( p  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  ->  ( A  =  ( p `  0 )  <->  A  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } `  0 ) ) )
14 fveq1 5690 . . . . . . 7  |-  ( p  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  ->  (
p `  1 )  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } `  1 ) )
1514eqeq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( p  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  ->  ( B  =  ( p `  1 )  <->  B  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } `  1 ) ) )
16 fveq1 5690 . . . . . . 7  |-  ( p  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  ->  (
p `  2 )  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } `  2 ) )
1716eqeq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( p  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  ->  ( C  =  ( p `  2 )  <->  C  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } `  2 ) ) )
1813, 15, 173anbi123d 1289 . . . . 5  |-  ( p  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  ->  (
( A  =  ( p `  0 )  /\  B  =  ( p `  1 )  /\  C  =  ( p `  2 ) )  <->  ( A  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } `  0
)  /\  B  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } `  1 )  /\  C  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } `  2 ) ) ) )
1918adantl 466 . . . 4  |-  ( ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  /\  p  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )  ->  (
( A  =  ( p `  0 )  /\  B  =  ( p `  1 )  /\  C  =  ( p `  2 ) )  <->  ( A  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } `  0
)  /\  B  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } `  1 )  /\  C  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } `  2 ) ) ) )
208, 11, 193anbi123d 1289 . . 3  |-  ( ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  /\  p  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )  ->  (
( f ( V Walks 
E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  B  =  ( p `  1 )  /\  C  =  ( p `  2 ) ) )  <->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ( V Walks  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2  /\  ( A  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } `  0
)  /\  B  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } `  1 )  /\  C  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } `  2 ) ) ) ) )
2120spc2egv 3059 . 2  |-  ( ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  e.  _V  /\  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  e.  _V )  ->  ( ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ( V Walks  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2  /\  ( A  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } `  0
)  /\  B  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } `  1 )  /\  C  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } `  2 ) ) )  ->  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  B  =  ( p `  1 )  /\  C  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
223, 7, 21mpsyl 63 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E )  ->  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  B  =  ( p `  1 )  /\  C  =  ( p `  2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   _Vcvv 2972   {cpr 3879   {ctp 3881   <.cop 3883   class class class wbr 4292   `'ccnv 4839   ran crn 4841   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   0cc0 9282   1c1 9283   2c2 10371   #chash 12103   USGrph cusg 23264   Walks cwalk 23405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-hash 12104  df-word 12229  df-usgra 23266  df-wlk 23415
This theorem is referenced by:  usg2wlkonot  30402
  Copyright terms: Public domain W3C validator