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Theorem usg2spthonot0 25617
 Description: A simple path of length 2 between two vertices as ordered triple corresponds to two adjacent edges in an undirected simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
usg2spthonot0 USGrph 2SPathOnOt

Proof of Theorem usg2spthonot0
StepHypRef Expression
1 ne0i 3737 . . . . 5 2SPathOnOt 2SPathOnOt
2 2spontn0vne 25615 . . . . 5 2SPathOnOt
31, 2syl 17 . . . 4 2SPathOnOt
4 simpl 459 . . . . . . . . . . 11 USGrph USGrph
54adantl 468 . . . . . . . . . 10 USGrph USGrph
6 3simpb 1006 . . . . . . . . . . . 12
76adantl 468 . . . . . . . . . . 11 USGrph
87adantl 468 . . . . . . . . . 10 USGrph
9 simpl 459 . . . . . . . . . 10 USGrph
10 2pthwlkonot 25613 . . . . . . . . . 10 USGrph 2SPathOnOt 2WalksOnOt
115, 8, 9, 10syl3anc 1268 . . . . . . . . 9 USGrph 2SPathOnOt 2WalksOnOt
1211eleq2d 2514 . . . . . . . 8 USGrph 2SPathOnOt 2WalksOnOt
13 usgrav 25065 . . . . . . . . . . . 12 USGrph
1413, 6anim12i 570 . . . . . . . . . . 11 USGrph
1514adantl 468 . . . . . . . . . 10 USGrph
16 el2wlkonotot1 25602 . . . . . . . . . 10 2WalksOnOt 2WalksOnOt
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 USGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
18 df-3an 987 . . . . . . . . 9 2WalksOnOt 2WalksOnOt
1917, 18syl6bb 265 . . . . . . . 8 USGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
2012, 19bitrd 257 . . . . . . 7 USGrph 2SPathOnOt 2WalksOnOt
21 simpll 760 . . . . . . . . . . . . 13
22 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14
2322adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13
24 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13
2521, 23, 243jca 1188 . . . . . . . . . . . 12
2625ex 436 . . . . . . . . . . 11
2726adantr 467 . . . . . . . . . 10 2WalksOnOt
2827com12 32 . . . . . . . . 9 2WalksOnOt
2928adantr 467 . . . . . . . 8 USGrph 2WalksOnOt
305adantl 468 . . . . . . . . . . . 12 USGrph USGrph
31 simprrr 775 . . . . . . . . . . . . 13 USGrph
32 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3332adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15
34 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3534adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15
3633, 353anbi13d 1341 . . . . . . . . . . . . . 14
3736adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13 USGrph
3831, 37mpbird 236 . . . . . . . . . . . 12 USGrph
39 usg2wlkonot 25611 . . . . . . . . . . . 12 USGrph 2WalksOnOt
4030, 38, 39syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11 USGrph 2WalksOnOt
41 preq1 4051 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4241adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15
4342eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . 14
44 preq2 4052 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4544adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15
4645eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . 14
4743, 46anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . 13
4847biimpd 211 . . . . . . . . . . . 12
4948adantr 467 . . . . . . . . . . 11 USGrph
5040, 49sylbid 219 . . . . . . . . . 10 USGrph 2WalksOnOt
5150impancom 442 . . . . . . . . 9 2WalksOnOt USGrph
5251com12 32 . . . . . . . 8 USGrph 2WalksOnOt
5329, 52jcad 536 . . . . . . 7 USGrph 2WalksOnOt
5420, 53sylbid 219 . . . . . 6 USGrph 2SPathOnOt
5554ex 436 . . . . 5 USGrph 2SPathOnOt
5655com23 81 . . . 4 2SPathOnOt USGrph
573, 56mpcom 37 . . 3 2SPathOnOt USGrph
5857com12 32 . 2 USGrph 2SPathOnOt
59 simpll 760 . . . . . . . 8 USGrph USGrph
60 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15
6160eqcoms 2459 . . . . . . . . . . . . . 14
6261adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13
63 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15
6463eqcoms 2459 . . . . . . . . . . . . . 14
6564adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13
6662, 653anbi13d 1341 . . . . . . . . . . . 12
6766biimpd 211 . . . . . . . . . . 11
6867adantld 469 . . . . . . . . . 10 USGrph
69683adant3 1028 . . . . . . . . 9 USGrph
7069impcom 432 . . . . . . . 8 USGrph
7159, 70, 39syl2anc 667 . . . . . . 7 USGrph 2WalksOnOt
72473adant3 1028 . . . . . . . 8
7372adantl 468 . . . . . . 7 USGrph
7471, 73bitr2d 258 . . . . . 6 USGrph 2WalksOnOt
7574pm5.32da 647 . . . . 5 USGrph 2WalksOnOt
76 df-3an 987 . . . . . . . 8
77 ancom 452 . . . . . . . 8
7876, 77bitri 253 . . . . . . 7
7978anbi1i 701 . . . . . 6 2WalksOnOt 2WalksOnOt
80 anass 655 . . . . . 6 2WalksOnOt 2WalksOnOt
8118bicomi 206 . . . . . . 7 2WalksOnOt 2WalksOnOt
8281anbi2i 700 . . . . . 6 2WalksOnOt 2WalksOnOt
8379, 80, 823bitri 275 . . . . 5 2WalksOnOt 2WalksOnOt
8475, 83syl6bb 265 . . . 4 USGrph 2WalksOnOt
8514, 16syl 17 . . . . . 6 USGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
8685bicomd 205 . . . . 5 USGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
8786anbi2d 710 . . . 4 USGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
8884, 87bitrd 257 . . 3 USGrph 2WalksOnOt
89 simpll 760 . . . . . . 7 USGrph USGrph
907adantr 467 . . . . . . 7 USGrph
91 simpr 463 . . . . . . 7 USGrph
9210eqcomd 2457 . . . . . . 7 USGrph 2WalksOnOt 2SPathOnOt
9389, 90, 91, 92syl3anc 1268 . . . . . 6 USGrph 2WalksOnOt 2SPathOnOt
9493eleq2d 2514 . . . . 5 USGrph 2WalksOnOt 2SPathOnOt
9594biimpd 211 . . . 4 USGrph 2WalksOnOt 2SPathOnOt
9695expimpd 608 . . 3 USGrph 2WalksOnOt 2SPathOnOt
9788, 96sylbid 219 . 2 USGrph 2SPathOnOt
9858, 97impbid 194 1 USGrph 2SPathOnOt
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  cvv 3045  c0 3731  cpr 3970  cotp 3976   class class class wbr 4402   crn 4835  (class class class)co 6290   USGrph cusg 25057   2WalksOnOt c2wlkonot 25583   2SPathOnOt c2pthonot 25585 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-ot 3977  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12516  df-word 12664  df-usgra 25060  df-wlk 25236  df-trail 25237  df-pth 25238  df-spth 25239  df-wlkon 25242  df-spthon 25245  df-2wlkonot 25586  df-2spthonot 25588 This theorem is referenced by:  usg2spthonot1  25618
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