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Theorem usg2spot2nb 25793
Description: The set of paths of length 2 with a given vertex in the middle for a finite graph is the union of all paths of length 2 from one neighbor to another neighbor of this vertex via this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Mar-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
usgreghash2spot.m  |-  M  =  ( a  e.  V  |->  { t  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  a ) } )
Assertion
Ref Expression
usg2spot2nb  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( M `  N )  =  U_ x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) U_ y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) {
<. x ,  N , 
y >. } )
Distinct variable groups:    t, E, x, y    N, a, t, x, y    V, a, t, x, y    E, a
Allowed substitution hints:    M( x, y, t, a)

Proof of Theorem usg2spot2nb
Dummy variables  m  p  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1010 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  N  e.  V )
2 3xpexg 6594 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( V  X.  V
)  X.  V )  e.  _V )
3 rabexg 4553 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  X.  V
)  X.  V )  e.  _V  ->  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  e.  _V )
42, 3syl 17 . . . . . 6  |-  ( V  e.  Fin  ->  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  e.  _V )
543ad2ant2 1030 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  e.  _V )
6 eqeq2 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  N  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  a  <->  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) )
76anbi2d 710 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  N  ->  (
( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  a )  <->  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  N ) ) )
87rabbidv 3036 . . . . . . 7  |-  ( a  =  N  ->  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  a ) }  =  {
t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) } )
9 usgreghash2spot.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( a  e.  V  |->  { t  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  a ) } )
108, 9fvmptg 5946 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  V  /\  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  e.  _V )  ->  ( M `  N )  =  {
t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) } )
1110eleq2d 2514 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  V  /\  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( M `  N
)  <->  z  e.  {
t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) } ) )
121, 5, 11syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  ( M `
 N )  <->  z  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) } ) )
13 eleq1 2517 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  z  ->  (
t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  z  e.  ( V 2SPathOnOt  E ) ) )
14 fveq2 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  z  ->  ( 1st `  t )  =  ( 1st `  z
) )
1514fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  z  ->  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  ( 2nd `  ( 1st `  z ) ) )
1615eqeq1d 2453 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  z  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  N  <->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )
1713, 16anbi12d 717 . . . . . . 7  |-  ( t  =  z  ->  (
( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N )  <->  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N ) ) )
1817elrab 3196 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  N ) }  <-> 
( z  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  /\  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N ) ) )
1918a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  <->  ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N ) ) ) )
20 usgrav 25065 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
21 el2spthsoton 25607 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  z  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  z  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
23223ad2ant1 1029 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  z  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
24 usg2spthonot1 25618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V )
)  ->  ( z  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
25243ad2antl1 1170 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V )
)  ->  ( z  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
26252rexbidva 2907 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  z  e.  ( x
( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
2723, 26bitrd 257 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
2827anbi1d 711 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  <->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
2928anbi2d 710 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( z  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  /\  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N ) )  <-> 
( z  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  /\  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) ) )
30 r19.41vv 2944 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
31 ancom 452 . . . . . . 7  |-  ( ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E. m  e.  V  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
32 r19.41vv 2944 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  <->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )
3332anbi2i 700 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )  <->  ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
3430, 31, 333bitrri 276 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  /\  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
35 elsn 3982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  z  =  <. x ,  N ,  y >.
)
3635bicomi 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  <->  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } )
3736anbi2i 700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  <->  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  e. 
{ <. x ,  N ,  y >. } ) )
3837anbi2i 700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  <->  ( (
( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  e.  { <. x ,  N , 
y >. } ) ) )
3938a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  <->  ( (
( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  e.  { <. x ,  N , 
y >. } ) ) ) )
40 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  ( 1st `  z )  =  ( 1st `  <. x ,  m ,  y
>. ) )
4140fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  m ,  y >. )
) )
42 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  x  e. 
_V
43 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  m  e. 
_V
44 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  y  e. 
_V
45 ot2ndg 6808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( x  e.  _V  /\  m  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  m ,  y
>. ) )  =  m )
4642, 43, 44, 45mp3an 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  m ,  y
>. ) )  =  m
4741, 46syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  m )
4847eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N  <->  m  =  N ) )
49 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  N  e.  V )
50 simplrl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  y  e.  V )
51 simplrr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  ->  { N ,  y }  e.  ran  E )
5251ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  { N ,  y }  e.  ran  E )
5349, 50, 523jca 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) )
54 nesym 2680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  y  =  x )
5554biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( x  =/=  y  ->  -.  y  =  x )
5655ad4antlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  -.  y  =  x )
5753, 56jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  (
( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x ) )
58 simplrr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  x  e.  V )
59 prcom 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  { x ,  N }  =  { N ,  x }
6059eleq1i 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( { x ,  N }  e.  ran  E  <->  { N ,  x }  e.  ran  E )
6160biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( { x ,  N }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E )
6261adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  { N ,  x }  e.  ran  E )
6362ad5antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  { N ,  x }  e.  ran  E )
6449, 58, 633jca 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) )
65 simp-5l 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  z  =  <. x ,  N ,  y >. )
6657, 64, 65jca32 538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) )
6766exp31 609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( z  = 
<. x ,  N , 
y >.  /\  ( {
x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  N  e.  V )  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) )
6867exp41 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  (
( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( N  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) )
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( m  =  N  ->  (
z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( N  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) ) )
70 oteq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( m  =  N  ->  <. x ,  m ,  y >.  =  <. x ,  N ,  y >. )
7170eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( m  =  N  ->  (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  <->  z  =  <. x ,  N ,  y >. )
)
72 preq2 4052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( m  =  N  ->  { x ,  m }  =  {
x ,  N }
)
7372eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( m  =  N  ->  ( { x ,  m }  e.  ran  E  <->  { x ,  N }  e.  ran  E ) )
74 preq1 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( m  =  N  ->  { m ,  y }  =  { N ,  y } )
7574eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( m  =  N  ->  ( { m ,  y }  e.  ran  E  <->  { N ,  y }  e.  ran  E ) )
7673, 75anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( m  =  N  ->  (
( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  <->  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) ) )
77 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( m  =  N  ->  (
m  e.  V  <->  N  e.  V ) )
7877imbi1d 319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( m  =  N  ->  (
( m  e.  V  ->  ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) )  <->  ( N  e.  V  ->  ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) ) )
7978imbi2d 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( m  =  N  ->  (
( x  =/=  y  ->  ( m  e.  V  ->  ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) )  <->  ( x  =/=  y  ->  ( N  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) )
8076, 79imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( m  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) )  <->  ( ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) ) ) ) )
8169, 71, 803imtr4d 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( m  =  N  ->  (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  ( ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( m  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) ) )
8281com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  (
m  =  N  -> 
( ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( m  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) ) )
8348, 82sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N  ->  (
( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( m  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) ) )
8483com24 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  (
x  =/=  y  -> 
( ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N  ->  ( m  e.  V  ->  ( (
y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) ) ) ) )
8584imp31 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N  ->  ( m  e.  V  ->  ( (
y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) ) )
8685com14 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N  ->  (
m  e.  V  -> 
( ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) )
8786adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N  ->  (
m  e.  V  -> 
( ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) )
8887imp41 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  /\  z  e.  (
( V  X.  V
)  X.  V ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  m  e.  V )  /\  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) )
8988com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  V  ->  (
( ( ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  m  e.  V )  /\  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) )
90893ad2ant3 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  m  e.  V )  /\  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) )
9190expdcom 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  m  e.  V )  ->  (
( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) )
9291rexlimdva 2879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  ->  ( E. m  e.  V  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) )
9392ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N  ->  ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) )
9493com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N  ->  ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  /\  z  e.  (
( V  X.  V
)  X.  V ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) )
9594imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  ->  ( (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) )
9695expcomd 440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  ->  ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  ->  ( (
y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) )
9796imp 431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) )
9897expdcom 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  V  ->  (
x  e.  V  -> 
( ( ( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) )
9998com23 81 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  V  ->  (
( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
x  e.  V  -> 
( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) )
10099imp 431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )  -> 
( x  e.  V  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) )
101100impcom 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) )
102101com12 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) )
103 simprl2 1054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  ->  x  e.  V )
104 simpll2 1048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  -> 
y  e.  V )
105 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  V  ->  N  e.  V )
106 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( { N , 
y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  z  =  <. x ,  N ,  y >. )
10754bicomi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( -.  y  =  x  <->  x  =/=  y )
108107biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( -.  y  =  x  ->  x  =/=  y )
109106, 108anim12i 570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  /\  -.  y  =  x )  ->  ( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  /\  x  =/=  y
) )
110 prcom 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  { N ,  x }  =  {
x ,  N }
111110eleq1i 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( { N ,  x }  e.  ran  E  <->  { x ,  N }  e.  ran  E )
112111biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  { x ,  N }  e.  ran  E )
113112anim1i 572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( { N ,  x }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )
114113ancoms 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  ->  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )
115114adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( { N , 
y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) )
116115adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  /\  -.  y  =  x )  ->  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )
117109, 116jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  /\  -.  y  =  x )  ->  ( ( z  = 
<. x ,  N , 
y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) ) )
11871anbi1d 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  =  N  ->  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  <->  ( z  = 
<. x ,  N , 
y >.  /\  x  =/=  y ) ) )
119118, 76anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  <->  ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
120117, 119syl5ibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >.
)  /\  -.  y  =  x )  ->  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
121120adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  V  /\  m  =  N )  ->  ( ( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  /\  -.  y  =  x )  ->  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
122105, 121rspcimedv 3152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  V  ->  (
( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >.
)  /\  -.  y  =  x )  ->  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
123122expdcom 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( { N , 
y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( N  e.  V  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) )
124123exp31 609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { N ,  y }  e.  ran  E  -> 
( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  ( z  = 
<. x ,  N , 
y >.  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( N  e.  V  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) )
125124com15 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  V  ->  ( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  (
z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( { N ,  y }  e.  ran  E  ->  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) )
126125imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( { N ,  y }  e.  ran  E  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
1271263adant2 1027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( { N ,  y }  e.  ran  E  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
128127imp 431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  ->  ( -.  y  =  x  -> 
( { N , 
y }  e.  ran  E  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) )
129128com13 83 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { N ,  y }  e.  ran  E  -> 
( -.  y  =  x  ->  ( (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  ->  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) )
1301293ad2ant3 1031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  ->  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) )
131130imp31 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) )
132 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( 1st `  z )  =  ( 1st `  <. x ,  N ,  y
>. ) )
133132fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  N ,  y >. )
) )
134 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  x  e.  V )
135 simprl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  N  e.  V )
136 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  y  e.  V )
137134, 135, 1363jca 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  (
x  e.  V  /\  N  e.  V  /\  y  e.  V )
)
138 ot2ndg 6808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  V  /\  N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  N ,  y >. )
)  =  N )
139137, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  N ,  y
>. ) )  =  N )
140133, 139sylan9eqr 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >. )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N )
141140exp31 609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  V  ->  (
( N  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
142141com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  V  ->  (
z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
1431423ad2ant2 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
144143imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N ) )
145144com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )
1461453adant3 1028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >.
)  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )
147146adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )
148147imp 431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  -> 
( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N )
149 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  <. x ,  N ,  y >.  =  <. x ,  N ,  y >. )
150 otel3xp 4870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
<. x ,  N , 
y >.  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( x  e.  V  /\  N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  <. x ,  N ,  y >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )
151149, 137, 150syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  <. x ,  N ,  y >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )
152151adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >. )  -> 
<. x ,  N , 
y >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V ) )
153 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  (
z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  <->  <. x ,  N ,  y >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
154153adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >. )  ->  ( z  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  <->  <. x ,  N , 
y >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V ) ) )
155152, 154mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >. )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V ) )
156155exp31 609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  V  ->  (
( N  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )
157156com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  V  ->  (
z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )
1581573ad2ant2 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )
159158imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V ) ) )
160159com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
1611603adant3 1028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >.
)  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
162161adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
163162imp 431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  -> 
z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V ) )
164131, 148, 163jca31 537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  -> 
( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
165103, 104, 164jca32 538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  -> 
( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
166102, 165impbid1 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <-> 
( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) )
167 eldif 3414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } )  <->  ( y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  /\  -.  y  e.  { x } ) )
168 nbgrael 25154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( y  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  <->  ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) ) )
16920, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V USGrph  E  ->  ( y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  <->  ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) ) )
1701693ad2ant1 1029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  <->  ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) ) )
171 elsn 3982 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  { x }  <->  y  =  x )
172171a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
y  e.  { x } 
<->  y  =  x ) )
173172notbid 296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( -.  y  e.  { x } 
<->  -.  y  =  x ) )
174170, 173anbi12d 717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( y  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  -.  y  e.  { x } )  <-> 
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )
) )
175167, 174syl5bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
y  e.  ( (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } )  <->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x ) ) )
176 nbgrael 25154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  <->  ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
17720, 176syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  <->  ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
1781773ad2ant1 1029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  <->  ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
179178anbi1d 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } )  <->  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) ) )
180175, 179anbi12d 717 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } )  /\  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) )  <-> 
( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  e. 
{ <. x ,  N ,  y >. } ) ) ) )
18139, 166, 1803bitr4d 289 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <-> 
( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } )  /\  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) ) )
1821812exbidv 1770 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( E. x E. y ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <->  E. x E. y ( y  e.  ( (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } )  /\  (
x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) ) )
183 df-rex 2743 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  V  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  E. y
( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )
184183rexbii 2889 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  E. x  e.  V  E. y
( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )
185 df-rex 2743 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  V  E. y ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )  <->  E. x
( x  e.  V  /\  E. y ( y  e.  V  /\  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
186 19.42v 1834 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <-> 
( x  e.  V  /\  E. y ( y  e.  V  /\  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
187186bicomi 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  V  /\  E. y ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <->  E. y ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
188187exbii 1718 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( x  e.  V  /\  E. y
( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <->  E. x E. y ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
189184, 185, 1883bitri 275 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  E. x E. y ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
190 df-rex 2743 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  E. x ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  /\  E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } ) z  e. 
{ <. x ,  N ,  y >. } ) )
191 r19.42v 2945 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  ( (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } ) ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  /\  z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } )  <-> 
( x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) )
192 df-rex 2743 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  ( (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } ) ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  /\  z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } )  <->  E. y ( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } )  /\  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) )
193191, 192bitr3i 255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } )  <->  E. y
( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } )  /\  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) )
194193exbii 1718 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  /\  E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } ) z  e. 
{ <. x ,  N ,  y >. } )  <->  E. x E. y ( y  e.  ( (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } )  /\  (
x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) )
195190, 194bitri 253 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  E. x E. y
( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } )  /\  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) )
196182, 189, 1953bitr4g 292 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) )
19734, 196syl5bb 261 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( z  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  /\  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )  <->  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) )
19819, 29, 1973bitrd 283 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  <->  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) )
199 vex 3048 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
200 eleq1 2517 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  z  ->  (
p  e.  { <. x ,  N ,  y
>. }  <->  z  e.  { <. x ,  N , 
y >. } ) )
2012002rexbidv 2908 . . . . . . 7  |-  ( p  =  z  ->  ( E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  E. x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) )
202199, 201elab 3185 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { p  |  E. x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } }  <->  E. x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } )
203202bicomi 206 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  z  e.  { p  |  E. x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } } )
204203a1i 11 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  z  e.  { p  |  E. x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } } ) )
20512, 198, 2043bitrd 283 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  ( M `
 N )  <->  z  e.  { p  |  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } } ) )
206205eqrdv 2449 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( M `  N )  =  { p  |  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } } )
207 dfiunv2 4314 . 2  |-  U_ x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) U_ y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) {
<. x ,  N , 
y >. }  =  {
p  |  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } }
208206, 207syl6eqr 2503 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( M `  N )  =  U_ x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) U_ y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) {
<. x ,  N , 
y >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887   {cab 2437    =/= wne 2622   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045    \ cdif 3401   {csn 3968   {cpr 3970   <.cop 3974   <.cotp 3976   U_ciun 4278   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461    X. cxp 4832   ran crn 4835   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   1stc1st 6791   2ndc2nd 6792   Fincfn 7569   USGrph cusg 25057   Neighbors cnbgra 25145   2SPathOnOt c2spthot 25584   2SPathOnOt c2pthonot 25585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-ot 3977  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12516  df-word 12664  df-usgra 25060  df-nbgra 25148  df-wlk 25236  df-trail 25237  df-pth 25238  df-spth 25239  df-wlkon 25242  df-spthon 25245  df-2wlkonot 25586  df-2spthonot 25588  df-2spthsot 25589
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