Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usg2spot2nb Structured version   Unicode version

Theorem usg2spot2nb 30567
Description: The set of paths of length 2 with a given vertex in the middle for a finite graph is the union of all paths of length 2 from one neighbor to another neighbor of this vertex via this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Mar-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
usgreghash2spot.m  |-  M  =  ( a  e.  V  |->  { t  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  a ) } )
Assertion
Ref Expression
usg2spot2nb  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( M `  N )  =  U_ x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) U_ y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) {
<. x ,  N , 
y >. } )
Distinct variable groups:    t, E, x, y    N, a, t, x, y    V, a, t, x, y    E, a
Allowed substitution hints:    M( x, y, t, a)

Proof of Theorem usg2spot2nb
Dummy variables  m  p  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 985 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  N  e.  V )
2 3xpexg 30029 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( V  X.  V
)  X.  V )  e.  _V )
3 rabexg 4439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  X.  V
)  X.  V )  e.  _V  ->  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  e.  _V )
42, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( V  e.  Fin  ->  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  e.  _V )
543ad2ant2 1005 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  e.  _V )
6 eqeq2 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  N  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  a  <->  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) )
76anbi2d 698 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  N  ->  (
( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  a )  <->  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  N ) ) )
87rabbidv 2962 . . . . . . 7  |-  ( a  =  N  ->  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  a ) }  =  {
t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) } )
9 usgreghash2spot.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( a  e.  V  |->  { t  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  a ) } )
108, 9fvmptg 5769 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  V  /\  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  e.  _V )  ->  ( M `  N )  =  {
t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) } )
1110eleq2d 2508 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  V  /\  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( M `  N
)  <->  z  e.  {
t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) } ) )
121, 5, 11syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  ( M `
 N )  <->  z  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) } ) )
13 eleq1 2501 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  z  ->  (
t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  z  e.  ( V 2SPathOnOt  E ) ) )
14 fveq2 5688 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  z  ->  ( 1st `  t )  =  ( 1st `  z
) )
1514fveq2d 5692 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  z  ->  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  ( 2nd `  ( 1st `  z ) ) )
1615eqeq1d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  z  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  N  <->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )
1713, 16anbi12d 705 . . . . . . 7  |-  ( t  =  z  ->  (
( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N )  <->  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N ) ) )
1817elrab 3114 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  N ) }  <-> 
( z  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  /\  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N ) ) )
1918a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  <->  ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N ) ) ) )
20 usgrav 23189 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
21 el2spthsoton 30307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  z  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  z  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
23223ad2ant1 1004 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  z  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
24 usg2spthonot1 30318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V )
)  ->  ( z  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
25243ad2antl1 1145 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V )
)  ->  ( z  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
26252rexbidva 2754 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  z  e.  ( x
( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
2723, 26bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
2827anbi1d 699 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  <->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
2928anbi2d 698 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( z  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  /\  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N ) )  <-> 
( z  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  /\  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) ) )
30 r19.41vv 2872 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
31 ancom 448 . . . . . . 7  |-  ( ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E. m  e.  V  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
32 r19.41vv 2872 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  <->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )
3332anbi2i 689 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )  <->  ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
3430, 31, 333bitrri 272 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  /\  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
35 elsn 3888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  z  =  <. x ,  N ,  y >.
)
3635bicomi 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  <->  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } )
3736anbi2i 689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  <->  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  e. 
{ <. x ,  N ,  y >. } ) )
3837anbi2i 689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  <->  ( (
( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  e.  { <. x ,  N , 
y >. } ) ) )
3938a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  <->  ( (
( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  e.  { <. x ,  N , 
y >. } ) ) ) )
40 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  ( 1st `  z )  =  ( 1st `  <. x ,  m ,  y
>. ) )
4140fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  m ,  y >. )
) )
42 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  x  e. 
_V
43 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  m  e. 
_V
44 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  y  e. 
_V
45 ot2ndg 6591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( x  e.  _V  /\  m  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  m ,  y
>. ) )  =  m )
4642, 43, 44, 45mp3an 1309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  m ,  y
>. ) )  =  m
4741, 46syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  m )
4847eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N  <->  m  =  N ) )
49 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  N  e.  V )
50 simplrl 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  y  e.  V )
51 simplrr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  ->  { N ,  y }  e.  ran  E )
5251ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  { N ,  y }  e.  ran  E )
5349, 50, 523jca 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) )
54 necom 2691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  =/=  y  <->  y  =/=  x )
55 df-ne 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( y  =/=  x  <->  -.  y  =  x )
5654, 55bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  y  =  x )
5756biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( x  =/=  y  ->  -.  y  =  x )
5857ad4antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  -.  y  =  x )
5953, 58jca 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  (
( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x ) )
60 simplrr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  x  e.  V )
61 prcom 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  { x ,  N }  =  { N ,  x }
6261eleq1i 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( { x ,  N }  e.  ran  E  <->  { N ,  x }  e.  ran  E )
6362biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( { x ,  N }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E )
6463adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  { N ,  x }  e.  ran  E )
6564ad5antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  { N ,  x }  e.  ran  E )
6649, 60, 653jca 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) )
67 simp-5l 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  z  =  <. x ,  N ,  y >. )
6859, 66, 67jca32 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) )
6968exp31 601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( z  = 
<. x ,  N , 
y >.  /\  ( {
x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  N  e.  V )  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) )
7069exp41 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  (
( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( N  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) )
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( m  =  N  ->  (
z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( N  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) ) )
72 oteq2 4066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( m  =  N  ->  <. x ,  m ,  y >.  =  <. x ,  N ,  y >. )
7372eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( m  =  N  ->  (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  <->  z  =  <. x ,  N ,  y >. )
)
74 preq2 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( m  =  N  ->  { x ,  m }  =  {
x ,  N }
)
7574eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( m  =  N  ->  ( { x ,  m }  e.  ran  E  <->  { x ,  N }  e.  ran  E ) )
76 preq1 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( m  =  N  ->  { m ,  y }  =  { N ,  y } )
7776eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( m  =  N  ->  ( { m ,  y }  e.  ran  E  <->  { N ,  y }  e.  ran  E ) )
7875, 77anbi12d 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( m  =  N  ->  (
( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  <->  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) ) )
79 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( m  =  N  ->  (
m  e.  V  <->  N  e.  V ) )
8079imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( m  =  N  ->  (
( m  e.  V  ->  ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) )  <->  ( N  e.  V  ->  ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) ) )
8180imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( m  =  N  ->  (
( x  =/=  y  ->  ( m  e.  V  ->  ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) )  <->  ( x  =/=  y  ->  ( N  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) )
8278, 81imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( m  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) )  <->  ( ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) ) ) ) )
8371, 73, 823imtr4d 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( m  =  N  ->  (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  ( ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( m  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) ) )
8483com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  (
m  =  N  -> 
( ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( m  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) ) )
8548, 84sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N  ->  (
( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( m  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) ) )
8685com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  (
x  =/=  y  -> 
( ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N  ->  ( m  e.  V  ->  ( (
y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) ) ) ) )
8786imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N  ->  ( m  e.  V  ->  ( (
y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) ) )
8887com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N  ->  (
m  e.  V  -> 
( ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) )
8988adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N  ->  (
m  e.  V  -> 
( ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) )
9089imp41 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  /\  z  e.  (
( V  X.  V
)  X.  V ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  m  e.  V )  /\  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) )
9190com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  V  ->  (
( ( ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  m  e.  V )  /\  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) )
92913ad2ant3 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  m  e.  V )  /\  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) )
9392exp3acom3r 1419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  m  e.  V )  ->  (
( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) )
9493rexlimdva 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  ->  ( E. m  e.  V  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) )
9594ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N  ->  ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) )
9695com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N  ->  ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  /\  z  e.  (
( V  X.  V
)  X.  V ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) )
9796imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  ->  ( (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) )
9897exp3acom23 1420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  ->  ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  ->  ( (
y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) )
9998imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) )
10099exp3acom3r 1419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  V  ->  (
x  e.  V  -> 
( ( ( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) )
101100com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  V  ->  (
( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
x  e.  V  -> 
( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) )
102101imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )  -> 
( x  e.  V  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) )
103102impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) )
104103com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) )
105 simprl2 1029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  ->  x  e.  V )
106 simpll2 1023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  -> 
y  e.  V )
107 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  V  ->  N  e.  V )
108 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( { N , 
y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  z  =  <. x ,  N ,  y >. )
10956bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( -.  y  =  x  <->  x  =/=  y )
110109biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( -.  y  =  x  ->  x  =/=  y )
111108, 110anim12i 563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  /\  -.  y  =  x )  ->  ( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  /\  x  =/=  y
) )
112 prcom 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  { N ,  x }  =  {
x ,  N }
113112eleq1i 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( { N ,  x }  e.  ran  E  <->  { x ,  N }  e.  ran  E )
114113biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  { x ,  N }  e.  ran  E )
115114anim1i 565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( { N ,  x }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )
116115ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  ->  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )
117116adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( { N , 
y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) )
118117adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  /\  -.  y  =  x )  ->  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )
119111, 118jca 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  /\  -.  y  =  x )  ->  ( ( z  = 
<. x ,  N , 
y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) ) )
12073anbi1d 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  =  N  ->  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  <->  ( z  = 
<. x ,  N , 
y >.  /\  x  =/=  y ) ) )
121120, 78anbi12d 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  <->  ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
122119, 121syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >.
)  /\  -.  y  =  x )  ->  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
123122adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  V  /\  m  =  N )  ->  ( ( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  /\  -.  y  =  x )  ->  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
124107, 123rspcimedv 3072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  V  ->  (
( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >.
)  /\  -.  y  =  x )  ->  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
125124exp3acom3r 1419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( { N , 
y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( N  e.  V  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) )
126125exp31 601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { N ,  y }  e.  ran  E  -> 
( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  ( z  = 
<. x ,  N , 
y >.  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( N  e.  V  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) )
127126com15 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  V  ->  ( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  (
z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( { N ,  y }  e.  ran  E  ->  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) )
128127imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( { N ,  y }  e.  ran  E  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
1291283adant2 1002 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( { N ,  y }  e.  ran  E  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
130129imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  ->  ( -.  y  =  x  -> 
( { N , 
y }  e.  ran  E  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) )
131130com13 80 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { N ,  y }  e.  ran  E  -> 
( -.  y  =  x  ->  ( (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  ->  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) )
1321313ad2ant3 1006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  ->  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) )
133132imp31 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) )
134 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( 1st `  z )  =  ( 1st `  <. x ,  N ,  y
>. ) )
135134fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  N ,  y >. )
) )
136 simpl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  x  e.  V )
137 simprl 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  N  e.  V )
138 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  y  e.  V )
139136, 137, 1383jca 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  (
x  e.  V  /\  N  e.  V  /\  y  e.  V )
)
140 ot2ndg 6591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  V  /\  N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  N ,  y >. )
)  =  N )
141139, 140syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  N ,  y
>. ) )  =  N )
142135, 141sylan9eqr 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >. )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N )
143142exp31 601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  V  ->  (
( N  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
144143com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  V  ->  (
z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
1451443ad2ant2 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
146145imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N ) )
147146com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )
1481473adant3 1003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >.
)  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )
149148adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )
150149imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  -> 
( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N )
151 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  <. x ,  N ,  y >.  =  <. x ,  N ,  y >. )
152 otel3xp 30037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
<. x ,  N , 
y >.  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( x  e.  V  /\  N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  <. x ,  N ,  y >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )
153151, 139, 152syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  <. x ,  N ,  y >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )
154153adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >. )  -> 
<. x ,  N , 
y >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V ) )
155 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  (
z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  <->  <. x ,  N ,  y >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
156155adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >. )  ->  ( z  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  <->  <. x ,  N , 
y >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V ) ) )
157154, 156mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >. )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V ) )
158157exp31 601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  V  ->  (
( N  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )
159158com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  V  ->  (
z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )
1601593ad2ant2 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )
161160imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V ) ) )
162161com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
1631623adant3 1003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >.
)  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
164163adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
165164imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  -> 
z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V ) )
166133, 150, 165jca31 531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  -> 
( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
167105, 106, 166jca32 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  -> 
( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
168104, 167impbid1 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <-> 
( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) )
169 eldif 3335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } )  <->  ( y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  /\  -.  y  e.  { x } ) )
170 nbgrael 23256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( y  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  <->  ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) ) )
17120, 170syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V USGrph  E  ->  ( y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  <->  ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) ) )
1721713ad2ant1 1004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  <->  ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) ) )
173 elsn 3888 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  { x }  <->  y  =  x )
174173a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
y  e.  { x } 
<->  y  =  x ) )
175174notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( -.  y  e.  { x } 
<->  -.  y  =  x ) )
176172, 175anbi12d 705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( y  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  -.  y  e.  { x } )  <-> 
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )
) )
177169, 176syl5bb 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
y  e.  ( (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } )  <->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x ) ) )
178 nbgrael 23256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  <->  ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
17920, 178syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  <->  ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
1801793ad2ant1 1004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  <->  ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
181180anbi1d 699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } )  <->  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) ) )
182177, 181anbi12d 705 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } )  /\  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) )  <-> 
( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  e. 
{ <. x ,  N ,  y >. } ) ) ) )
18339, 168, 1823bitr4d 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <-> 
( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } )  /\  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) ) )
1841832exbidv 1687 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( E. x E. y ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <->  E. x E. y ( y  e.  ( (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } )  /\  (
x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) ) )
185 df-rex 2719 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  V  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  E. y
( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )
186185rexbii 2738 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  E. x  e.  V  E. y
( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )
187 df-rex 2719 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  V  E. y ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )  <->  E. x
( x  e.  V  /\  E. y ( y  e.  V  /\  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
188 19.42v 1928 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <-> 
( x  e.  V  /\  E. y ( y  e.  V  /\  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
189188bicomi 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  V  /\  E. y ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <->  E. y ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
190189exbii 1639 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( x  e.  V  /\  E. y
( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <->  E. x E. y ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
191186, 187, 1903bitri 271 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  E. x E. y ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
192 df-rex 2719 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  E. x ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  /\  E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } ) z  e. 
{ <. x ,  N ,  y >. } ) )
193 r19.42v 2873 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  ( (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } ) ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  /\  z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } )  <-> 
( x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) )
194 df-rex 2719 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  ( (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } ) ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  /\  z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } )  <->  E. y ( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } )  /\  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) )
195193, 194bitr3i 251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } )  <->  E. y
( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } )  /\  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) )
196195exbii 1639 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  /\  E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } ) z  e. 
{ <. x ,  N ,  y >. } )  <->  E. x E. y ( y  e.  ( (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } )  /\  (
x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) )
197192, 196bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  E. x E. y
( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } )  /\  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) )
198184, 191, 1973bitr4g 288 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) )
19934, 198syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( z  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  /\  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )  <->  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) )
20019, 29, 1993bitrd 279 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  <->  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) )
201 vex 2973 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
202 eleq1 2501 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  z  ->  (
p  e.  { <. x ,  N ,  y
>. }  <->  z  e.  { <. x ,  N , 
y >. } ) )
2032022rexbidv 2756 . . . . . . 7  |-  ( p  =  z  ->  ( E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  E. x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) )
204201, 203elab 3103 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { p  |  E. x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } }  <->  E. x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } )
205204bicomi 202 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  z  e.  { p  |  E. x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } } )
206205a1i 11 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  z  e.  { p  |  E. x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } } ) )
20712, 200, 2063bitrd 279 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  ( M `
 N )  <->  z  e.  { p  |  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } } ) )
208207eqrdv 2439 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( M `  N )  =  { p  |  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } } )
209 dfiunv2 4203 . 2  |-  U_ x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) U_ y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) {
<. x ,  N , 
y >. }  =  {
p  |  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } }
210208, 209syl6eqr 2491 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( M `  N )  =  U_ x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) U_ y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) {
<. x ,  N , 
y >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761   {cab 2427    =/= wne 2604   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970    \ cdif 3322   {csn 3874   {cpr 3876   <.cop 3880   <.cotp 3882   U_ciun 4168   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347    X. cxp 4834   ran crn 4837   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   1stc1st 6574   2ndc2nd 6575   Fincfn 7306   USGrph cusg 23183   Neighbors cnbgra 23248   2SPathOnOt c2spthot 30284   2SPathOnOt c2pthonot 30285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-ot 3883  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-hash 12100  df-word 12225  df-usgra 23185  df-nbgra 23251  df-wlk 23334  df-trail 23335  df-pth 23336  df-spth 23337  df-wlkon 23340  df-spthon 23343  df-2wlkonot 30286  df-2spthonot 30288  df-2spthsot 30289
This theorem is referenced by:  usgreghash2spotv  30568
  Copyright terms: Public domain W3C validator