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Theorem usg2spot2nb 30658
Description: The set of paths of length 2 with a given vertex in the middle for a finite graph is the union of all paths of length 2 from one neighbor to another neighbor of this vertex via this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Mar-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
usgreghash2spot.m  |-  M  =  ( a  e.  V  |->  { t  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  a ) } )
Assertion
Ref Expression
usg2spot2nb  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( M `  N )  =  U_ x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) U_ y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) {
<. x ,  N , 
y >. } )
Distinct variable groups:    t, E, x, y    N, a, t, x, y    V, a, t, x, y    E, a
Allowed substitution hints:    M( x, y, t, a)

Proof of Theorem usg2spot2nb
Dummy variables  m  p  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 990 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  N  e.  V )
2 3xpexg 30120 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( V  X.  V
)  X.  V )  e.  _V )
3 rabexg 4442 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  X.  V
)  X.  V )  e.  _V  ->  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  e.  _V )
42, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( V  e.  Fin  ->  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  e.  _V )
543ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  e.  _V )
6 eqeq2 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  N  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  a  <->  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) )
76anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  N  ->  (
( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  a )  <->  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  N ) ) )
87rabbidv 2964 . . . . . . 7  |-  ( a  =  N  ->  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  a ) }  =  {
t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) } )
9 usgreghash2spot.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( a  e.  V  |->  { t  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  a ) } )
108, 9fvmptg 5772 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  V  /\  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  e.  _V )  ->  ( M `  N )  =  {
t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) } )
1110eleq2d 2510 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  V  /\  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( M `  N
)  <->  z  e.  {
t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) } ) )
121, 5, 11syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  ( M `
 N )  <->  z  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) } ) )
13 eleq1 2503 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  z  ->  (
t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  z  e.  ( V 2SPathOnOt  E ) ) )
14 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  z  ->  ( 1st `  t )  =  ( 1st `  z
) )
1514fveq2d 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  z  ->  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  ( 2nd `  ( 1st `  z ) ) )
1615eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  z  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  N  <->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )
1713, 16anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( t  =  z  ->  (
( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N )  <->  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N ) ) )
1817elrab 3117 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  N ) }  <-> 
( z  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  /\  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N ) ) )
1918a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  <->  ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N ) ) ) )
20 usgrav 23270 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
21 el2spthsoton 30398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  z  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  z  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
23223ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  z  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
24 usg2spthonot1 30409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V )
)  ->  ( z  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
25243ad2antl1 1150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V )
)  ->  ( z  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
26252rexbidva 2756 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  z  e.  ( x
( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
2723, 26bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
2827anbi1d 704 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  <->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
2928anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( z  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  /\  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N ) )  <-> 
( z  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  /\  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) ) )
30 r19.41vv 2874 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
31 ancom 450 . . . . . . 7  |-  ( ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E. m  e.  V  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
32 r19.41vv 2874 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  <->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )
3332anbi2i 694 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )  <->  ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
3430, 31, 333bitrri 272 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  /\  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
35 elsn 3891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  z  =  <. x ,  N ,  y >.
)
3635bicomi 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  <->  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } )
3736anbi2i 694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  <->  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  e. 
{ <. x ,  N ,  y >. } ) )
3837anbi2i 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  <->  ( (
( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  e.  { <. x ,  N , 
y >. } ) ) )
3938a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  <->  ( (
( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  e.  { <. x ,  N , 
y >. } ) ) ) )
40 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  ( 1st `  z )  =  ( 1st `  <. x ,  m ,  y
>. ) )
4140fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  m ,  y >. )
) )
42 vex 2975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  x  e. 
_V
43 vex 2975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  m  e. 
_V
44 vex 2975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  y  e. 
_V
45 ot2ndg 6592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( x  e.  _V  /\  m  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  m ,  y
>. ) )  =  m )
4642, 43, 44, 45mp3an 1314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  m ,  y
>. ) )  =  m
4741, 46syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  m )
4847eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N  <->  m  =  N ) )
49 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  N  e.  V )
50 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  y  e.  V )
51 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  ->  { N ,  y }  e.  ran  E )
5251ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  { N ,  y }  e.  ran  E )
5349, 50, 523jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) )
54 necom 2693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  =/=  y  <->  y  =/=  x )
55 df-ne 2608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( y  =/=  x  <->  -.  y  =  x )
5654, 55bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  y  =  x )
5756biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( x  =/=  y  ->  -.  y  =  x )
5857ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  -.  y  =  x )
5953, 58jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  (
( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x ) )
60 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  x  e.  V )
61 prcom 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  { x ,  N }  =  { N ,  x }
6261eleq1i 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( { x ,  N }  e.  ran  E  <->  { N ,  x }  e.  ran  E )
6362biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( { x ,  N }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E )
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  { N ,  x }  e.  ran  E )
6564ad5antlr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  { N ,  x }  e.  ran  E )
6649, 60, 653jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) )
67 simp-5l 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  z  =  <. x ,  N ,  y >. )
6859, 66, 67jca32 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) )
6968exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( z  = 
<. x ,  N , 
y >.  /\  ( {
x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  N  e.  V )  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) )
7069exp41 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  (
( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( N  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) )
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( m  =  N  ->  (
z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( N  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) ) )
72 oteq2 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( m  =  N  ->  <. x ,  m ,  y >.  =  <. x ,  N ,  y >. )
7372eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( m  =  N  ->  (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  <->  z  =  <. x ,  N ,  y >. )
)
74 preq2 3955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( m  =  N  ->  { x ,  m }  =  {
x ,  N }
)
7574eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( m  =  N  ->  ( { x ,  m }  e.  ran  E  <->  { x ,  N }  e.  ran  E ) )
76 preq1 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( m  =  N  ->  { m ,  y }  =  { N ,  y } )
7776eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( m  =  N  ->  ( { m ,  y }  e.  ran  E  <->  { N ,  y }  e.  ran  E ) )
7875, 77anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( m  =  N  ->  (
( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  <->  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) ) )
79 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( m  =  N  ->  (
m  e.  V  <->  N  e.  V ) )
8079imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( m  =  N  ->  (
( m  e.  V  ->  ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) )  <->  ( N  e.  V  ->  ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) ) )
8180imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( m  =  N  ->  (
( x  =/=  y  ->  ( m  e.  V  ->  ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) )  <->  ( x  =/=  y  ->  ( N  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) )
8278, 81imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( m  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) )  <->  ( ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) ) ) ) )
8371, 73, 823imtr4d 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( m  =  N  ->  (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  ( ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( m  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) ) )
8483com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  (
m  =  N  -> 
( ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( m  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) ) )
8548, 84sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N  ->  (
( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( m  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) ) )
8685com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  (
x  =/=  y  -> 
( ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N  ->  ( m  e.  V  ->  ( (
y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) ) ) ) )
8786imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N  ->  ( m  e.  V  ->  ( (
y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) ) )
8887com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N  ->  (
m  e.  V  -> 
( ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) )
8988adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N  ->  (
m  e.  V  -> 
( ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) )
9089imp41 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  /\  z  e.  (
( V  X.  V
)  X.  V ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  m  e.  V )  /\  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) )
9190com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  V  ->  (
( ( ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  m  e.  V )  /\  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) )
92913ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  m  e.  V )  /\  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) )
9392expdcom 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  m  e.  V )  ->  (
( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) )
9493rexlimdva 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  ->  ( E. m  e.  V  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) )
9594ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N  ->  ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) )
9695com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N  ->  ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  /\  z  e.  (
( V  X.  V
)  X.  V ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) )
9796imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  ->  ( (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) )
9897expcomd 438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  ->  ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  ->  ( (
y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) )
9998imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) )
10099expdcom 439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  V  ->  (
x  e.  V  -> 
( ( ( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) )
101100com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  V  ->  (
( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
x  e.  V  -> 
( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) )
102101imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )  -> 
( x  e.  V  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) )
103102impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) )
104103com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) )
105 simprl2 1034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  ->  x  e.  V )
106 simpll2 1028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  -> 
y  e.  V )
107 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  V  ->  N  e.  V )
108 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( { N , 
y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  z  =  <. x ,  N ,  y >. )
10956bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( -.  y  =  x  <->  x  =/=  y )
110109biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( -.  y  =  x  ->  x  =/=  y )
111108, 110anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  /\  -.  y  =  x )  ->  ( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  /\  x  =/=  y
) )
112 prcom 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  { N ,  x }  =  {
x ,  N }
113112eleq1i 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( { N ,  x }  e.  ran  E  <->  { x ,  N }  e.  ran  E )
114113biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  { x ,  N }  e.  ran  E )
115114anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( { N ,  x }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )
116115ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  ->  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )
117116adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( { N , 
y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) )
118117adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  /\  -.  y  =  x )  ->  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )
119111, 118jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  /\  -.  y  =  x )  ->  ( ( z  = 
<. x ,  N , 
y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) ) )
12073anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  =  N  ->  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  <->  ( z  = 
<. x ,  N , 
y >.  /\  x  =/=  y ) ) )
121120, 78anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  <->  ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
122119, 121syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >.
)  /\  -.  y  =  x )  ->  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
123122adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  V  /\  m  =  N )  ->  ( ( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  /\  -.  y  =  x )  ->  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
124107, 123rspcimedv 3075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  V  ->  (
( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >.
)  /\  -.  y  =  x )  ->  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
125124expdcom 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( { N , 
y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( N  e.  V  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) )
126125exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { N ,  y }  e.  ran  E  -> 
( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  ( z  = 
<. x ,  N , 
y >.  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( N  e.  V  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) )
127126com15 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  V  ->  ( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  (
z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( { N ,  y }  e.  ran  E  ->  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) )
128127imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( { N ,  y }  e.  ran  E  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
1291283adant2 1007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( { N ,  y }  e.  ran  E  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
130129imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  ->  ( -.  y  =  x  -> 
( { N , 
y }  e.  ran  E  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) )
131130com13 80 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { N ,  y }  e.  ran  E  -> 
( -.  y  =  x  ->  ( (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  ->  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) )
1321313ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  ->  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) )
133132imp31 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) )
134 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( 1st `  z )  =  ( 1st `  <. x ,  N ,  y
>. ) )
135134fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  N ,  y >. )
) )
136 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  x  e.  V )
137 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  N  e.  V )
138 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  y  e.  V )
139136, 137, 1383jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  (
x  e.  V  /\  N  e.  V  /\  y  e.  V )
)
140 ot2ndg 6592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  V  /\  N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  N ,  y >. )
)  =  N )
141139, 140syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  N ,  y
>. ) )  =  N )
142135, 141sylan9eqr 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >. )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N )
143142exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  V  ->  (
( N  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
144143com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  V  ->  (
z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
1451443ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
146145imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N ) )
147146com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )
1481473adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >.
)  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )
149148adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )
150149imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  -> 
( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N )
151 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  <. x ,  N ,  y >.  =  <. x ,  N ,  y >. )
152 otel3xp 30128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
<. x ,  N , 
y >.  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( x  e.  V  /\  N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  <. x ,  N ,  y >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )
153151, 139, 152syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  <. x ,  N ,  y >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )
154153adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >. )  -> 
<. x ,  N , 
y >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V ) )
155 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  (
z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  <->  <. x ,  N ,  y >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
156155adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >. )  ->  ( z  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  <->  <. x ,  N , 
y >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V ) ) )
157154, 156mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >. )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V ) )
158157exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  V  ->  (
( N  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )
159158com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  V  ->  (
z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )
1601593ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )
161160imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V ) ) )
162161com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
1631623adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >.
)  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
164163adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
165164imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  -> 
z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V ) )
166133, 150, 165jca31 534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  -> 
( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
167105, 106, 166jca32 535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  -> 
( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
168104, 167impbid1 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <-> 
( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) )
169 eldif 3338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } )  <->  ( y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  /\  -.  y  e.  { x } ) )
170 nbgrael 23337 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( y  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  <->  ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) ) )
17120, 170syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V USGrph  E  ->  ( y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  <->  ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) ) )
1721713ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  <->  ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) ) )
173 elsn 3891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  { x }  <->  y  =  x )
174173a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
y  e.  { x } 
<->  y  =  x ) )
175174notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( -.  y  e.  { x } 
<->  -.  y  =  x ) )
176172, 175anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( y  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  -.  y  e.  { x } )  <-> 
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )
) )
177169, 176syl5bb 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
y  e.  ( (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } )  <->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x ) ) )
178 nbgrael 23337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  <->  ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
17920, 178syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  <->  ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
1801793ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  <->  ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
181180anbi1d 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } )  <->  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) ) )
182177, 181anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } )  /\  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) )  <-> 
( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  e. 
{ <. x ,  N ,  y >. } ) ) ) )
18339, 168, 1823bitr4d 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <-> 
( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } )  /\  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) ) )
1841832exbidv 1682 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( E. x E. y ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <->  E. x E. y ( y  e.  ( (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } )  /\  (
x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) ) )
185 df-rex 2721 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  V  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  E. y
( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )
186185rexbii 2740 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  E. x  e.  V  E. y
( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )
187 df-rex 2721 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  V  E. y ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )  <->  E. x
( x  e.  V  /\  E. y ( y  e.  V  /\  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
188 19.42v 1924 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <-> 
( x  e.  V  /\  E. y ( y  e.  V  /\  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
189188bicomi 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  V  /\  E. y ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <->  E. y ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
190189exbii 1634 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( x  e.  V  /\  E. y
( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <->  E. x E. y ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
191186, 187, 1903bitri 271 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  E. x E. y ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
192 df-rex 2721 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  E. x ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  /\  E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } ) z  e. 
{ <. x ,  N ,  y >. } ) )
193 r19.42v 2875 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  ( (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } ) ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  /\  z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } )  <-> 
( x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) )
194 df-rex 2721 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  ( (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } ) ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  /\  z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } )  <->  E. y ( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } )  /\  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) )
195193, 194bitr3i 251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } )  <->  E. y
( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } )  /\  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) )
196195exbii 1634 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  /\  E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } ) z  e. 
{ <. x ,  N ,  y >. } )  <->  E. x E. y ( y  e.  ( (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } )  /\  (
x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) )
197192, 196bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  E. x E. y
( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } )  /\  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) )
198184, 191, 1973bitr4g 288 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) )
19934, 198syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( z  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  /\  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )  <->  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) )
20019, 29, 1993bitrd 279 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  <->  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) )
201 vex 2975 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
202 eleq1 2503 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  z  ->  (
p  e.  { <. x ,  N ,  y
>. }  <->  z  e.  { <. x ,  N , 
y >. } ) )
2032022rexbidv 2758 . . . . . . 7  |-  ( p  =  z  ->  ( E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  E. x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) )
204201, 203elab 3106 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { p  |  E. x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } }  <->  E. x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } )
205204bicomi 202 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  z  e.  { p  |  E. x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } } )
206205a1i 11 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  z  e.  { p  |  E. x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } } ) )
20712, 200, 2063bitrd 279 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  ( M `
 N )  <->  z  e.  { p  |  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } } ) )
208207eqrdv 2441 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( M `  N )  =  { p  |  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } } )
209 dfiunv2 4206 . 2  |-  U_ x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) U_ y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) {
<. x ,  N , 
y >. }  =  {
p  |  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } }
210208, 209syl6eqr 2493 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( M `  N )  =  U_ x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) U_ y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) {
<. x ,  N , 
y >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   {cab 2429    =/= wne 2606   E.wrex 2716   {crab 2719   _Vcvv 2972    \ cdif 3325   {csn 3877   {cpr 3879   <.cop 3883   <.cotp 3885   U_ciun 4171   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350    X. cxp 4838   ran crn 4841   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   1stc1st 6575   2ndc2nd 6576   Fincfn 7310   USGrph cusg 23264   Neighbors cnbgra 23329   2SPathOnOt c2spthot 30375   2SPathOnOt c2pthonot 30376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-ot 3886  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-hash 12104  df-word 12229  df-usgra 23266  df-nbgra 23332  df-wlk 23415  df-trail 23416  df-pth 23417  df-spth 23418  df-wlkon 23421  df-spthon 23424  df-2wlkonot 30377  df-2spthonot 30379  df-2spthsot 30380
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