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Theorem usg2spot2nb 24937
Description: The set of paths of length 2 with a given vertex in the middle for a finite graph is the union of all paths of length 2 from one neighbor to another neighbor of this vertex via this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Mar-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
usgreghash2spot.m  |-  M  =  ( a  e.  V  |->  { t  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  a ) } )
Assertion
Ref Expression
usg2spot2nb  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( M `  N )  =  U_ x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) U_ y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) {
<. x ,  N , 
y >. } )
Distinct variable groups:    t, E, x, y    N, a, t, x, y    V, a, t, x, y    E, a
Allowed substitution hints:    M( x, y, t, a)

Proof of Theorem usg2spot2nb
Dummy variables  m  p  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 999 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  N  e.  V )
2 3xpexg 6588 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( V  X.  V
)  X.  V )  e.  _V )
3 rabexg 4587 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  X.  V
)  X.  V )  e.  _V  ->  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  e.  _V )
42, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( V  e.  Fin  ->  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  e.  _V )
543ad2ant2 1019 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  e.  _V )
6 eqeq2 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  N  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  a  <->  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) )
76anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  N  ->  (
( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  a )  <->  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  N ) ) )
87rabbidv 3087 . . . . . . 7  |-  ( a  =  N  ->  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  a ) }  =  {
t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) } )
9 usgreghash2spot.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( a  e.  V  |->  { t  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  a ) } )
108, 9fvmptg 5939 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  V  /\  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  e.  _V )  ->  ( M `  N )  =  {
t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) } )
1110eleq2d 2513 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  V  /\  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( M `  N
)  <->  z  e.  {
t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) } ) )
121, 5, 11syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  ( M `
 N )  <->  z  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) } ) )
13 eleq1 2515 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  z  ->  (
t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  z  e.  ( V 2SPathOnOt  E ) ) )
14 fveq2 5856 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  z  ->  ( 1st `  t )  =  ( 1st `  z
) )
1514fveq2d 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  z  ->  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  ( 2nd `  ( 1st `  z ) ) )
1615eqeq1d 2445 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  z  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  N  <->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )
1713, 16anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( t  =  z  ->  (
( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N )  <->  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N ) ) )
1817elrab 3243 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  N ) }  <-> 
( z  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  /\  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N ) ) )
1918a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  <->  ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N ) ) ) )
20 usgrav 24210 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
21 el2spthsoton 24751 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  z  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  z  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
23223ad2ant1 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  z  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
24 usg2spthonot1 24762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V )
)  ->  ( z  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
25243ad2antl1 1159 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V )
)  ->  ( z  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
26252rexbidva 2960 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  z  e.  ( x
( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
2723, 26bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
2827anbi1d 704 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  <->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
2928anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( z  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  /\  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N ) )  <-> 
( z  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  /\  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) ) )
30 r19.41vv 2997 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
31 ancom 450 . . . . . . 7  |-  ( ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E. m  e.  V  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
32 r19.41vv 2997 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  <->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )
3332anbi2i 694 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )  <->  ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
3430, 31, 333bitrri 272 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  /\  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
35 elsn 4028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  z  =  <. x ,  N ,  y >.
)
3635bicomi 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  <->  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } )
3736anbi2i 694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  <->  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  e. 
{ <. x ,  N ,  y >. } ) )
3837anbi2i 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  <->  ( (
( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  e.  { <. x ,  N , 
y >. } ) ) )
3938a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  <->  ( (
( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  e.  { <. x ,  N , 
y >. } ) ) ) )
40 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  ( 1st `  z )  =  ( 1st `  <. x ,  m ,  y
>. ) )
4140fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  m ,  y >. )
) )
42 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  x  e. 
_V
43 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  m  e. 
_V
44 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  y  e. 
_V
45 ot2ndg 6800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( x  e.  _V  /\  m  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  m ,  y
>. ) )  =  m )
4642, 43, 44, 45mp3an 1325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  m ,  y
>. ) )  =  m
4741, 46syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  m )
4847eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N  <->  m  =  N ) )
49 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  N  e.  V )
50 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  y  e.  V )
51 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  ->  { N ,  y }  e.  ran  E )
5251ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  { N ,  y }  e.  ran  E )
5349, 50, 523jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) )
54 nesym 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  y  =  x )
5554biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( x  =/=  y  ->  -.  y  =  x )
5655ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  -.  y  =  x )
5753, 56jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  (
( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x ) )
58 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  x  e.  V )
59 prcom 4093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  { x ,  N }  =  { N ,  x }
6059eleq1i 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( { x ,  N }  e.  ran  E  <->  { N ,  x }  e.  ran  E )
6160biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( { x ,  N }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E )
6261adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  { N ,  x }  e.  ran  E )
6362ad5antlr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  { N ,  x }  e.  ran  E )
6449, 58, 633jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) )
65 simp-5l 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  z  =  <. x ,  N ,  y >. )
6657, 64, 65jca32 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) )
6766exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( z  = 
<. x ,  N , 
y >.  /\  ( {
x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  N  e.  V )  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) )
6867exp41 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  (
( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( N  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) )
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( m  =  N  ->  (
z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( N  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) ) )
70 oteq2 4212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( m  =  N  ->  <. x ,  m ,  y >.  =  <. x ,  N ,  y >. )
7170eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( m  =  N  ->  (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  <->  z  =  <. x ,  N ,  y >. )
)
72 preq2 4095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( m  =  N  ->  { x ,  m }  =  {
x ,  N }
)
7372eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( m  =  N  ->  ( { x ,  m }  e.  ran  E  <->  { x ,  N }  e.  ran  E ) )
74 preq1 4094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( m  =  N  ->  { m ,  y }  =  { N ,  y } )
7574eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( m  =  N  ->  ( { m ,  y }  e.  ran  E  <->  { N ,  y }  e.  ran  E ) )
7673, 75anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( m  =  N  ->  (
( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  <->  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) ) )
77 eleq1 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( m  =  N  ->  (
m  e.  V  <->  N  e.  V ) )
7877imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( m  =  N  ->  (
( m  e.  V  ->  ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) )  <->  ( N  e.  V  ->  ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) ) )
7978imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( m  =  N  ->  (
( x  =/=  y  ->  ( m  e.  V  ->  ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) )  <->  ( x  =/=  y  ->  ( N  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) )
8076, 79imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( m  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) )  <->  ( ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) ) ) ) )
8169, 71, 803imtr4d 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( m  =  N  ->  (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  ( ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( m  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) ) )
8281com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  (
m  =  N  -> 
( ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( m  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) ) )
8348, 82sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N  ->  (
( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( m  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) ) )
8483com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  (
x  =/=  y  -> 
( ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N  ->  ( m  e.  V  ->  ( (
y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) ) ) ) )
8584imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N  ->  ( m  e.  V  ->  ( (
y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) ) )
8685com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N  ->  (
m  e.  V  -> 
( ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) )
8786adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N  ->  (
m  e.  V  -> 
( ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) )
8887imp41 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  /\  z  e.  (
( V  X.  V
)  X.  V ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  m  e.  V )  /\  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) )
8988com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  V  ->  (
( ( ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  m  e.  V )  /\  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) )
90893ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  m  e.  V )  /\  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) )
9190expdcom 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  m  e.  V )  ->  (
( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) )
9291rexlimdva 2935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  ->  ( E. m  e.  V  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) )
9392ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N  ->  ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) )
9493com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N  ->  ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  /\  z  e.  (
( V  X.  V
)  X.  V ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) )
9594imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  ->  ( (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) )
9695expcomd 438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  ->  ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  ->  ( (
y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) )
9796imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) )
9897expdcom 439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  V  ->  (
x  e.  V  -> 
( ( ( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) )
9998com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  V  ->  (
( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
x  e.  V  -> 
( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) )
10099imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )  -> 
( x  e.  V  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) )
101100impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) )
102101com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) )
103 simprl2 1043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  ->  x  e.  V )
104 simpll2 1037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  -> 
y  e.  V )
105 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  V  ->  N  e.  V )
106 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( { N , 
y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  z  =  <. x ,  N ,  y >. )
10754bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( -.  y  =  x  <->  x  =/=  y )
108107biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( -.  y  =  x  ->  x  =/=  y )
109106, 108anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  /\  -.  y  =  x )  ->  ( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  /\  x  =/=  y
) )
110 prcom 4093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  { N ,  x }  =  {
x ,  N }
111110eleq1i 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( { N ,  x }  e.  ran  E  <->  { x ,  N }  e.  ran  E )
112111biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  { x ,  N }  e.  ran  E )
113112anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( { N ,  x }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )
114113ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  ->  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )
115114adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( { N , 
y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) )
116115adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  /\  -.  y  =  x )  ->  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )
117109, 116jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  /\  -.  y  =  x )  ->  ( ( z  = 
<. x ,  N , 
y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) ) )
11871anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  =  N  ->  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  <->  ( z  = 
<. x ,  N , 
y >.  /\  x  =/=  y ) ) )
119118, 76anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  <->  ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
120117, 119syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >.
)  /\  -.  y  =  x )  ->  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
121120adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  V  /\  m  =  N )  ->  ( ( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  /\  -.  y  =  x )  ->  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
122105, 121rspcimedv 3198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  V  ->  (
( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >.
)  /\  -.  y  =  x )  ->  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
123122expdcom 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( { N , 
y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( N  e.  V  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) )
124123exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { N ,  y }  e.  ran  E  -> 
( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  ( z  = 
<. x ,  N , 
y >.  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( N  e.  V  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) )
125124com15 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  V  ->  ( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  (
z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( { N ,  y }  e.  ran  E  ->  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) )
126125imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( { N ,  y }  e.  ran  E  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
1271263adant2 1016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( { N ,  y }  e.  ran  E  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
128127imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  ->  ( -.  y  =  x  -> 
( { N , 
y }  e.  ran  E  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) )
129128com13 80 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { N ,  y }  e.  ran  E  -> 
( -.  y  =  x  ->  ( (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  ->  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) )
1301293ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  ->  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) )
131130imp31 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) )
132 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( 1st `  z )  =  ( 1st `  <. x ,  N ,  y
>. ) )
133132fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  N ,  y >. )
) )
134 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  x  e.  V )
135 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  N  e.  V )
136 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  y  e.  V )
137134, 135, 1363jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  (
x  e.  V  /\  N  e.  V  /\  y  e.  V )
)
138 ot2ndg 6800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  V  /\  N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  N ,  y >. )
)  =  N )
139137, 138syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  N ,  y
>. ) )  =  N )
140133, 139sylan9eqr 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >. )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N )
141140exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  V  ->  (
( N  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
142141com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  V  ->  (
z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
1431423ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
144143imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N ) )
145144com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )
1461453adant3 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >.
)  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )
147146adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )
148147imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  -> 
( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N )
149 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  <. x ,  N ,  y >.  =  <. x ,  N ,  y >. )
150 otel3xp 5025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
<. x ,  N , 
y >.  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( x  e.  V  /\  N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  <. x ,  N ,  y >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )
151149, 137, 150syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  <. x ,  N ,  y >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )
152151adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >. )  -> 
<. x ,  N , 
y >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V ) )
153 eleq1 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  (
z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  <->  <. x ,  N ,  y >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
154153adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >. )  ->  ( z  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  <->  <. x ,  N , 
y >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V ) ) )
155152, 154mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >. )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V ) )
156155exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  V  ->  (
( N  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )
157156com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  V  ->  (
z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )
1581573ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )
159158imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V ) ) )
160159com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
1611603adant3 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >.
)  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
162161adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
163162imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  -> 
z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V ) )
164131, 148, 163jca31 534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  -> 
( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
165103, 104, 164jca32 535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  -> 
( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
166102, 165impbid1 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <-> 
( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) )
167 eldif 3471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } )  <->  ( y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  /\  -.  y  e.  { x } ) )
168 nbgrael 24298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( y  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  <->  ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) ) )
16920, 168syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V USGrph  E  ->  ( y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  <->  ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) ) )
1701693ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  <->  ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) ) )
171 elsn 4028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  { x }  <->  y  =  x )
172171a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
y  e.  { x } 
<->  y  =  x ) )
173172notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( -.  y  e.  { x } 
<->  -.  y  =  x ) )
174170, 173anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( y  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  -.  y  e.  { x } )  <-> 
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )
) )
175167, 174syl5bb 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
y  e.  ( (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } )  <->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x ) ) )
176 nbgrael 24298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  <->  ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
17720, 176syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  <->  ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
1781773ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  <->  ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
179178anbi1d 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } )  <->  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) ) )
180175, 179anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } )  /\  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) )  <-> 
( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  e. 
{ <. x ,  N ,  y >. } ) ) ) )
18139, 166, 1803bitr4d 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <-> 
( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } )  /\  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) ) )
1821812exbidv 1703 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( E. x E. y ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <->  E. x E. y ( y  e.  ( (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } )  /\  (
x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) ) )
183 df-rex 2799 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  V  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  E. y
( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )
184183rexbii 2945 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  E. x  e.  V  E. y
( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )
185 df-rex 2799 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  V  E. y ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )  <->  E. x
( x  e.  V  /\  E. y ( y  e.  V  /\  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
186 19.42v 1761 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <-> 
( x  e.  V  /\  E. y ( y  e.  V  /\  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
187186bicomi 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  V  /\  E. y ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <->  E. y ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
188187exbii 1654 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( x  e.  V  /\  E. y
( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <->  E. x E. y ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
189184, 185, 1883bitri 271 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  E. x E. y ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
190 df-rex 2799 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  E. x ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  /\  E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } ) z  e. 
{ <. x ,  N ,  y >. } ) )
191 r19.42v 2998 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  ( (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } ) ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  /\  z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } )  <-> 
( x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) )
192 df-rex 2799 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  ( (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } ) ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  /\  z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } )  <->  E. y ( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } )  /\  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) )
193191, 192bitr3i 251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } )  <->  E. y
( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } )  /\  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) )
194193exbii 1654 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  /\  E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } ) z  e. 
{ <. x ,  N ,  y >. } )  <->  E. x E. y ( y  e.  ( (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } )  /\  (
x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) )
195190, 194bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  E. x E. y
( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } )  /\  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) )
196182, 189, 1953bitr4g 288 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) )
19734, 196syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( z  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  /\  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )  <->  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) )
19819, 29, 1973bitrd 279 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  <->  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) )
199 vex 3098 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
200 eleq1 2515 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  z  ->  (
p  e.  { <. x ,  N ,  y
>. }  <->  z  e.  { <. x ,  N , 
y >. } ) )
2012002rexbidv 2961 . . . . . . 7  |-  ( p  =  z  ->  ( E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  E. x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) )
202199, 201elab 3232 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { p  |  E. x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } }  <->  E. x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } )
203202bicomi 202 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  z  e.  { p  |  E. x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } } )
204203a1i 11 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  z  e.  { p  |  E. x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } } ) )
20512, 198, 2043bitrd 279 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  ( M `
 N )  <->  z  e.  { p  |  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } } ) )
206205eqrdv 2440 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( M `  N )  =  { p  |  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } } )
207 dfiunv2 4351 . 2  |-  U_ x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) U_ y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) {
<. x ,  N , 
y >. }  =  {
p  |  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } }
208206, 207syl6eqr 2502 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( M `  N )  =  U_ x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) U_ y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) {
<. x ,  N , 
y >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804   {cab 2428    =/= wne 2638   E.wrex 2794   {crab 2797   _Vcvv 3095    \ cdif 3458   {csn 4014   {cpr 4016   <.cop 4020   <.cotp 4022   U_ciun 4315   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495    X. cxp 4987   ran crn 4990   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   1stc1st 6783   2ndc2nd 6784   Fincfn 7518   USGrph cusg 24202   Neighbors cnbgra 24289   2SPathOnOt c2spthot 24728   2SPathOnOt c2pthonot 24729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-ot 4023  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-hash 12385  df-word 12521  df-usgra 24205  df-nbgra 24292  df-wlk 24380  df-trail 24381  df-pth 24382  df-spth 24383  df-wlkon 24386  df-spthon 24389  df-2wlkonot 24730  df-2spthonot 24732  df-2spthsot 24733
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