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Theorem usg2spot2nb 25267
Description: The set of paths of length 2 with a given vertex in the middle for a finite graph is the union of all paths of length 2 from one neighbor to another neighbor of this vertex via this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Mar-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
usgreghash2spot.m  |-  M  =  ( a  e.  V  |->  { t  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  a ) } )
Assertion
Ref Expression
usg2spot2nb  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( M `  N )  =  U_ x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) U_ y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) {
<. x ,  N , 
y >. } )
Distinct variable groups:    t, E, x, y    N, a, t, x, y    V, a, t, x, y    E, a
Allowed substitution hints:    M( x, y, t, a)

Proof of Theorem usg2spot2nb
Dummy variables  m  p  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 996 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  N  e.  V )
2 3xpexg 6576 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( V  X.  V
)  X.  V )  e.  _V )
3 rabexg 4587 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  X.  V
)  X.  V )  e.  _V  ->  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  e.  _V )
42, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( V  e.  Fin  ->  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  e.  _V )
543ad2ant2 1016 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  e.  _V )
6 eqeq2 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  N  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  a  <->  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) )
76anbi2d 701 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  N  ->  (
( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  a )  <->  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  N ) ) )
87rabbidv 3098 . . . . . . 7  |-  ( a  =  N  ->  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  a ) }  =  {
t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) } )
9 usgreghash2spot.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( a  e.  V  |->  { t  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  a ) } )
108, 9fvmptg 5929 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  V  /\  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  e.  _V )  ->  ( M `  N )  =  {
t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) } )
1110eleq2d 2524 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  V  /\  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( M `  N
)  <->  z  e.  {
t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) } ) )
121, 5, 11syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  ( M `
 N )  <->  z  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) } ) )
13 eleq1 2526 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  z  ->  (
t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  z  e.  ( V 2SPathOnOt  E ) ) )
14 fveq2 5848 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  z  ->  ( 1st `  t )  =  ( 1st `  z
) )
1514fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  z  ->  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  ( 2nd `  ( 1st `  z ) ) )
1615eqeq1d 2456 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  z  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  N  <->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )
1713, 16anbi12d 708 . . . . . . 7  |-  ( t  =  z  ->  (
( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N )  <->  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N ) ) )
1817elrab 3254 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t ) )  =  N ) }  <-> 
( z  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  /\  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N ) ) )
1918a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  <->  ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N ) ) ) )
20 usgrav 24540 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
21 el2spthsoton 25081 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  z  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  z  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
23223ad2ant1 1015 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  z  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
24 usg2spthonot1 25092 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V )
)  ->  ( z  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
25243ad2antl1 1156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V )
)  ->  ( z  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
26252rexbidva 2971 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  z  e.  ( x
( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
2723, 26bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
2827anbi1d 702 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  <->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
2928anbi2d 701 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( z  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  /\  ( z  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N ) )  <-> 
( z  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  /\  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) ) )
30 r19.41vv 3008 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
31 ancom 448 . . . . . . 7  |-  ( ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E. m  e.  V  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
32 r19.41vv 3008 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  <->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )
3332anbi2i 692 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )  <->  ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
3430, 31, 333bitrri 272 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  /\  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
35 elsn 4030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  z  =  <. x ,  N ,  y >.
)
3635bicomi 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  <->  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } )
3736anbi2i 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  <->  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  e. 
{ <. x ,  N ,  y >. } ) )
3837anbi2i 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  <->  ( (
( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  e.  { <. x ,  N , 
y >. } ) ) )
3938a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  <->  ( (
( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  e.  { <. x ,  N , 
y >. } ) ) ) )
40 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  ( 1st `  z )  =  ( 1st `  <. x ,  m ,  y
>. ) )
4140fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  m ,  y >. )
) )
42 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  x  e. 
_V
43 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  m  e. 
_V
44 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  y  e. 
_V
45 ot2ndg 6788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( x  e.  _V  /\  m  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  m ,  y
>. ) )  =  m )
4642, 43, 44, 45mp3an 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  m ,  y
>. ) )  =  m
4741, 46syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  m )
4847eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N  <->  m  =  N ) )
49 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  N  e.  V )
50 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  y  e.  V )
51 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  ->  { N ,  y }  e.  ran  E )
5251ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  { N ,  y }  e.  ran  E )
5349, 50, 523jca 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) )
54 nesym 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  y  =  x )
5554biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( x  =/=  y  ->  -.  y  =  x )
5655ad4antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  -.  y  =  x )
5753, 56jca 530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  (
( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x ) )
58 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  x  e.  V )
59 prcom 4094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  { x ,  N }  =  { N ,  x }
6059eleq1i 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( { x ,  N }  e.  ran  E  <->  { N ,  x }  e.  ran  E )
6160biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( { x ,  N }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E )
6261adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  { N ,  x }  e.  ran  E )
6362ad5antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  { N ,  x }  e.  ran  E )
6449, 58, 633jca 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) )
65 simp-5l 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  z  =  <. x ,  N ,  y >. )
6657, 64, 65jca32 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y )  /\  N  e.  V )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) )
6766exp31 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( z  = 
<. x ,  N , 
y >.  /\  ( {
x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  N  e.  V )  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) )
6867exp41 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  (
( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( N  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) )
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( m  =  N  ->  (
z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( N  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) ) )
70 oteq2 4213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( m  =  N  ->  <. x ,  m ,  y >.  =  <. x ,  N ,  y >. )
7170eqeq2d 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( m  =  N  ->  (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  <->  z  =  <. x ,  N ,  y >. )
)
72 preq2 4096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( m  =  N  ->  { x ,  m }  =  {
x ,  N }
)
7372eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( m  =  N  ->  ( { x ,  m }  e.  ran  E  <->  { x ,  N }  e.  ran  E ) )
74 preq1 4095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( m  =  N  ->  { m ,  y }  =  { N ,  y } )
7574eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( m  =  N  ->  ( { m ,  y }  e.  ran  E  <->  { N ,  y }  e.  ran  E ) )
7673, 75anbi12d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( m  =  N  ->  (
( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  <->  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) ) )
77 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( m  =  N  ->  (
m  e.  V  <->  N  e.  V ) )
7877imbi1d 315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( m  =  N  ->  (
( m  e.  V  ->  ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) )  <->  ( N  e.  V  ->  ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) ) )
7978imbi2d 314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( m  =  N  ->  (
( x  =/=  y  ->  ( m  e.  V  ->  ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) )  <->  ( x  =/=  y  ->  ( N  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) )
8076, 79imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( m  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) )  <->  ( ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) ) ) ) )
8169, 71, 803imtr4d 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( m  =  N  ->  (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  ( ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( m  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) ) )
8281com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  (
m  =  N  -> 
( ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( m  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) ) )
8348, 82sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N  ->  (
( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( m  e.  V  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) ) ) )
8483com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  ->  (
x  =/=  y  -> 
( ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N  ->  ( m  e.  V  ->  ( (
y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) ) ) ) )
8584imp31 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N  ->  ( m  e.  V  ->  ( (
y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) ) )
8685com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N  ->  (
m  e.  V  -> 
( ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) )
8786adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N  ->  (
m  e.  V  -> 
( ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) ) )
8887imp41 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  /\  z  e.  (
( V  X.  V
)  X.  V ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  m  e.  V )  /\  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) )
8988com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  V  ->  (
( ( ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  m  e.  V )  /\  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) )
90893ad2ant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  m  e.  V )  /\  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) )
9190expdcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  m  e.  V )  ->  (
( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) )
9291rexlimdva 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  ->  ( E. m  e.  V  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) )
9392ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N  ->  ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) )
9493com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N  ->  ( ( ( y  e.  V  /\  x  e.  V )  /\  z  e.  (
( V  X.  V
)  X.  V ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) )
9594imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  ->  ( (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) )
9695expcomd 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  ->  ( z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  ->  ( (
y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) )
9796imp 427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
( y  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) )
9897expdcom 437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  V  ->  (
x  e.  V  -> 
( ( ( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) ) ) )
9998com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  V  ->  (
( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
x  e.  V  -> 
( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) ) )
10099imp 427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )  -> 
( x  e.  V  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) ) )
101100impcom 428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) )
102101com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. ) ) ) )
103 simprl2 1040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  ->  x  e.  V )
104 simpll2 1034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  -> 
y  e.  V )
105 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  V  ->  N  e.  V )
106 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( { N , 
y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  z  =  <. x ,  N ,  y >. )
10754bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( -.  y  =  x  <->  x  =/=  y )
108107biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( -.  y  =  x  ->  x  =/=  y )
109106, 108anim12i 564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  /\  -.  y  =  x )  ->  ( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  /\  x  =/=  y
) )
110 prcom 4094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  { N ,  x }  =  {
x ,  N }
111110eleq1i 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( { N ,  x }  e.  ran  E  <->  { x ,  N }  e.  ran  E )
112111biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  { x ,  N }  e.  ran  E )
113112anim1i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( { N ,  x }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )
114113ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  ->  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )
115114adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( { N , 
y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) )
116115adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  /\  -.  y  =  x )  ->  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N , 
y }  e.  ran  E ) )
117109, 116jca 530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  /\  -.  y  =  x )  ->  ( ( z  = 
<. x ,  N , 
y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) ) )
11871anbi1d 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  =  N  ->  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  <->  ( z  = 
<. x ,  N , 
y >.  /\  x  =/=  y ) ) )
119118, 76anbi12d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  <->  ( ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  N }  e.  ran  E  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
120117, 119syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >.
)  /\  -.  y  =  x )  ->  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
121120adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  V  /\  m  =  N )  ->  ( ( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  /\  -.  y  =  x )  ->  (
( z  =  <. x ,  m ,  y
>.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
122105, 121rspcimedv 3209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  V  ->  (
( ( ( { N ,  y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >.
)  /\  -.  y  =  x )  ->  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) )
123122expdcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( { N , 
y }  e.  ran  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( N  e.  V  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) )
124123exp31 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { N ,  y }  e.  ran  E  -> 
( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  ( z  = 
<. x ,  N , 
y >.  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( N  e.  V  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) )
125124com15 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  V  ->  ( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  (
z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( { N ,  y }  e.  ran  E  ->  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) )
126125imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( { N ,  y }  e.  ran  E  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
1271263adant2 1013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( { N ,  y }  e.  ran  E  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
128127imp 427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  ->  ( -.  y  =  x  -> 
( { N , 
y }  e.  ran  E  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) )
129128com13 80 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { N ,  y }  e.  ran  E  -> 
( -.  y  =  x  ->  ( (
( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  ->  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) )
1301293ad2ant3 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( -.  y  =  x  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  ->  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) ) ) ) )
131130imp31 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  ->  E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) ) )
132 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( 1st `  z )  =  ( 1st `  <. x ,  N ,  y
>. ) )
133132fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  N ,  y >. )
) )
134 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  x  e.  V )
135 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  N  e.  V )
136 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  y  e.  V )
137134, 135, 1363jca 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  (
x  e.  V  /\  N  e.  V  /\  y  e.  V )
)
138 ot2ndg 6788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  V  /\  N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  N ,  y >. )
)  =  N )
139137, 138syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  <. x ,  N ,  y
>. ) )  =  N )
140133, 139sylan9eqr 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >. )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N )
141140exp31 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  V  ->  (
( N  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
142141com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  V  ->  (
z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
1431423ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) ) )
144143imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N ) )
145144com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )
1461453adant3 1014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >.
)  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )
147146adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )
148147imp 427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  -> 
( 2nd `  ( 1st `  z ) )  =  N )
149 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  <. x ,  N ,  y >.  =  <. x ,  N ,  y >. )
150 otel3xp 5024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
<. x ,  N , 
y >.  =  <. x ,  N ,  y >.  /\  ( x  e.  V  /\  N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  <. x ,  N ,  y >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )
151149, 137, 150syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  ->  <. x ,  N ,  y >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )
152151adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >. )  -> 
<. x ,  N , 
y >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V ) )
153 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  (
z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  <->  <. x ,  N ,  y >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
154153adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >. )  ->  ( z  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  <->  <. x ,  N , 
y >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V ) ) )
155152, 154mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  y  e.  V
) )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >. )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V ) )
156155exp31 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  V  ->  (
( N  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )
157156com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  V  ->  (
z  =  <. x ,  N ,  y >.  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )
1581573ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( z  =  <. x ,  N ,  y
>.  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )
159158imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y
>. )  ->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V ) ) )
160159com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
1611603adant3 1014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  ->  ( ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  =  <. x ,  N ,  y >.
)  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
162161adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E
)  /\  -.  y  =  x )  ->  (
( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. )  ->  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
163162imp 427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  -> 
z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V ) )
164131, 148, 163jca31 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  -> 
( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
165103, 104, 164jca32 533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) )  -> 
( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
166102, 165impbid1 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <-> 
( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  = 
<. x ,  N , 
y >. ) ) ) )
167 eldif 3471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } )  <->  ( y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  /\  -.  y  e.  { x } ) )
168 nbgrael 24628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( y  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  <->  ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) ) )
16920, 168syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V USGrph  E  ->  ( y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  <->  ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) ) )
1701693ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  <->  ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E ) ) )
171 elsn 4030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  { x }  <->  y  =  x )
172171a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
y  e.  { x } 
<->  y  =  x ) )
173172notbid 292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( -.  y  e.  { x } 
<->  -.  y  =  x ) )
174170, 173anbi12d 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( y  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  -.  y  e.  { x } )  <-> 
( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )
) )
175167, 174syl5bb 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
y  e.  ( (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } )  <->  ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x ) ) )
176 nbgrael 24628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  <->  ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
17720, 176syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  <->  ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
1781773ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  <->  ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
179178anbi1d 702 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } )  <->  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) ) )
180175, 179anbi12d 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } )  /\  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) )  <-> 
( ( ( N  e.  V  /\  y  e.  V  /\  { N ,  y }  e.  ran  E )  /\  -.  y  =  x )  /\  ( ( N  e.  V  /\  x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  /\  z  e. 
{ <. x ,  N ,  y >. } ) ) ) )
18139, 166, 1803bitr4d 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <-> 
( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } )  /\  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) ) )
1821812exbidv 1721 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( E. x E. y ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <->  E. x E. y ( y  e.  ( (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } )  /\  (
x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) ) )
183 df-rex 2810 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  V  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  E. y
( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )
184183rexbii 2956 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  E. x  e.  V  E. y
( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )
185 df-rex 2810 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  V  E. y ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )  <->  E. x
( x  e.  V  /\  E. y ( y  e.  V  /\  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
186 19.42v 1780 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <-> 
( x  e.  V  /\  E. y ( y  e.  V  /\  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
187186bicomi 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  V  /\  E. y ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( ( z  = 
<. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <->  E. y ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
188187exbii 1672 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( x  e.  V  /\  E. y
( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) )  <->  E. x E. y ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
189184, 185, 1883bitri 271 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  E. x E. y ( x  e.  V  /\  ( y  e.  V  /\  (
( E. m  e.  V  ( ( z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y )  /\  ( { x ,  m }  e.  ran  E  /\  { m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) ) ) )
190 df-rex 2810 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  E. x ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  /\  E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } ) z  e. 
{ <. x ,  N ,  y >. } ) )
191 r19.42v 3009 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  ( (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } ) ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  /\  z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } )  <-> 
( x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) )
192 df-rex 2810 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  ( (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } ) ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  /\  z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } )  <->  E. y ( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } )  /\  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) )
193191, 192bitr3i 251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } )  <->  E. y
( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } )  /\  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) )
194193exbii 1672 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  /\  E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } ) z  e. 
{ <. x ,  N ,  y >. } )  <->  E. x E. y ( y  e.  ( (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  \  { x } )  /\  (
x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) )
195190, 194bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  E. x E. y
( y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } )  /\  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  /\  z  e.  {
<. x ,  N , 
y >. } ) ) )
196182, 189, 1953bitr4g 288 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( ( E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N )  /\  z  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  <->  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) )
19734, 196syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( z  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  /\  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. m  e.  V  ( (
z  =  <. x ,  m ,  y >.  /\  x  =/=  y
)  /\  ( {
x ,  m }  e.  ran  E  /\  {
m ,  y }  e.  ran  E ) )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  z
) )  =  N ) )  <->  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) )
19819, 29, 1973bitrd 279 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  ( t  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  /\  ( 2nd `  ( 1st `  t
) )  =  N ) }  <->  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) )
199 vex 3109 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
200 eleq1 2526 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  z  ->  (
p  e.  { <. x ,  N ,  y
>. }  <->  z  e.  { <. x ,  N , 
y >. } ) )
2012002rexbidv 2972 . . . . . . 7  |-  ( p  =  z  ->  ( E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  E. x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } ) )
202199, 201elab 3243 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { p  |  E. x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } }  <->  E. x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } )
203202bicomi 202 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  z  e.  { p  |  E. x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } } )
204203a1i 11 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) z  e.  { <. x ,  N ,  y >. } 
<->  z  e.  { p  |  E. x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } } ) )
20512, 198, 2043bitrd 279 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
z  e.  ( M `
 N )  <->  z  e.  { p  |  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } } ) )
206205eqrdv 2451 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( M `  N )  =  { p  |  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } } )
207 dfiunv2 4351 . 2  |-  U_ x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) U_ y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) {
<. x ,  N , 
y >. }  =  {
p  |  E. x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  N ) E. y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) p  e.  { <. x ,  N ,  y >. } }
208206, 207syl6eqr 2513 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( M `  N )  =  U_ x  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
) U_ y  e.  ( ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  \  {
x } ) {
<. x ,  N , 
y >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   {cab 2439    =/= wne 2649   E.wrex 2805   {crab 2808   _Vcvv 3106    \ cdif 3458   {csn 4016   {cpr 4018   <.cop 4022   <.cotp 4024   U_ciun 4315   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497    X. cxp 4986   ran crn 4989   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   1stc1st 6771   2ndc2nd 6772   Fincfn 7509   USGrph cusg 24532   Neighbors cnbgra 24619   2SPathOnOt c2spthot 25058   2SPathOnOt c2pthonot 25059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-ot 4025  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-hash 12388  df-word 12526  df-usgra 24535  df-nbgra 24622  df-wlk 24710  df-trail 24711  df-pth 24712  df-spth 24713  df-wlkon 24716  df-spthon 24719  df-2wlkonot 25060  df-2spthonot 25062  df-2spthsot 25063
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