MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usg2cwwkdifex Structured version   Unicode version

Theorem usg2cwwkdifex 25119
Description: If a word represents a closed walk of length at least 2 in a undirected simple graph, the first two symbols of the word must be different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
usg2cwwkdifex  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  W  e.  (
( V ClWWalksN  E ) `  N ) )  ->  E. i  e.  (
0..^ N ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 ) )
Distinct variable groups:    i, E    i, N    i, V    i, W

Proof of Theorem usg2cwwkdifex
StepHypRef Expression
1 1nn0 10772 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
21a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  NN0 )
3 eluz2nn 11083 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
4 eluz2 11051 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  2  <_  N ) )
5 1red 9561 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
6 2re 10566 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
76a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  RR )
8 zre 10829 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
95, 7, 83jca 1177 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
109adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  2  <_  N )  -> 
( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  N  e.  RR )
)
11 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  2  <_  N )  -> 
2  <_  N )
12 1lt2 10663 . . . . . . . 8  |-  1  <  2
1311, 12jctil 535 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  2  <_  N )  -> 
( 1  <  2  /\  2  <_  N ) )
14 ltletr 9627 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 1  <  2  /\  2  <_  N )  ->  1  <  N
) )
1510, 13, 14sylc 59 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  2  <_  N )  -> 
1  <  N )
16153adant1 1015 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  2  <_  N )  ->  1  <  N )
174, 16sylbi 195 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  N )
18 elfzo0 11808 . . . 4  |-  ( 1  e.  ( 0..^ N )  <->  ( 1  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  1  <  N
) )
192, 3, 17, 18syl3anbrc 1181 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  ( 0..^ N ) )
20193ad2ant2 1019 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  W  e.  (
( V ClWWalksN  E ) `  N ) )  -> 
1  e.  ( 0..^ N ) )
21 fveq2 5805 . . . 4  |-  ( i  =  1  ->  ( W `  i )  =  ( W ` 
1 ) )
2221adantl 464 . . 3  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  W  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N ) )  /\  i  =  1 )  ->  ( W `  i )  =  ( W `  1 ) )
2322neeq1d 2680 . 2  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  W  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N ) )  /\  i  =  1 )  ->  ( ( W `  i )  =/=  ( W `  0
)  <->  ( W ` 
1 )  =/=  ( W `  0 )
) )
24 usg2cwwk2dif 25118 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  W  e.  (
( V ClWWalksN  E ) `  N ) )  -> 
( W `  1
)  =/=  ( W `
 0 ) )
2520, 23, 24rspcedvd 3164 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  W  e.  (
( V ClWWalksN  E ) `  N ) )  ->  E. i  e.  (
0..^ N ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   E.wrex 2754   class class class wbr 4394   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   RRcr 9441   0cc0 9442   1c1 9443    < clt 9578    <_ cle 9579   NNcn 10496   2c2 10546   NN0cn0 10756   ZZcz 10825   ZZ>=cuz 11045  ..^cfzo 11767   USGrph cusg 24628   ClWWalksN cclwwlkn 25047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-card 8272  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-hash 12360  df-word 12498  df-usgra 24631  df-clwwlk 25049  df-clwwlkn 25050
This theorem is referenced by:  usghashecclwwlk  25133
  Copyright terms: Public domain W3C validator