Theorem uptx 19039

Description: Universal property of the binary topological product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uptx.1	|- T = ( R tX S )
uptx.2	|- X = U. R
uptx.3	|- Y = U. S
uptx.4	|- Z = ( X X. Y )
uptx.5	|- P = ( 1st |` Z )
uptx.6	|- Q = ( 2nd |` Z )

Assertion

Ref	Expression
uptx	|- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> E! h e. ( U Cn T ) ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) )

Distinct variable groups:   h, F   h, G   P, h   Q, h   R, h   T, h   S, h   U, h   h, X   h, Y

Allowed substitution hint:   Z( h)

Proof of Theorem uptx

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2433	. . . . 5 |- U. U = U. U
2		eqid 2433	. . . . 5 |- ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. )
3	1, 2	txcnmpt 19038	. . . 4 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) e. ( U Cn ( R tX S ) ) )
4		uptx.1	. . . . 5 |- T = ( R tX S )
5	4	oveq2i 6091	. . . 4 |- ( U Cn T ) = ( U Cn ( R tX S ) )
6	3, 5	syl6eleqr 2524	. . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) e. ( U Cn T ) )
7		uptx.2	. . . . . 6 |- X = U. R
8	1, 7	cnf 18691	. . . . 5 |- ( F e. ( U Cn R ) -> F : U. U --> X )
9		uptx.3	. . . . . 6 |- Y = U. S
10	1, 9	cnf 18691	. . . . 5 |- ( G e. ( U Cn S ) -> G : U. U --> Y )
11		ffn 5547	. . . . . . . 8 |- ( F : U. U --> X -> F Fn U. U )
12	11	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> F Fn U. U )
13		fo1st 6585	. . . . . . . . . . 11 |- 1st : _V -onto-> _V
14		fofn 5610	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1st : _V -onto-> _V -> 1st Fn _V )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- 1st Fn _V
16		ssv 3364	. . . . . . . . . 10 |- ( X X. Y ) C_ _V
17		fnssres 5512	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1st Fn _V /\ ( X X. Y ) C_ _V ) -> ( 1st |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y ) )
18	15, 16, 17	mp2an 665	. . . . . . . . 9 |- ( 1st |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y )
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> ( 1st |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y ) )
20		ffvelrn 5829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : U. U --> X /\ x e. U. U ) -> ( F ` x ) e. X )
21		ffvelrn 5829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G : U. U --> Y /\ x e. U. U ) -> ( G ` x ) e. Y )
22		opelxpi 4858	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) e. X /\ ( G ` x ) e. Y ) -> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( X X. Y ) )
23	20, 21, 22	syl2an 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ x e. U. U ) /\ ( G : U. U --> Y /\ x e. U. U ) ) -> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( X X. Y ) )
24	23	anandirs 820	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ x e. U. U ) -> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( X X. Y ) )
25	24, 2	fmptd 5855	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) : U. U --> ( X X. Y ) )
26		ffn 5547	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) : U. U --> ( X X. Y ) -> ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) Fn U. U )
27	25, 26	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) Fn U. U )
28		frn 5553	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) : U. U --> ( X X. Y ) -> ran ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) C_ ( X X. Y ) )
29	25, 28	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> ran ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) C_ ( X X. Y ) )
30		fnco 5507	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y ) /\ ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) Fn U. U /\ ran ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) C_ ( X X. Y ) ) -> ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) Fn U. U )
31	19, 27, 29, 30	syl3anc 1211	. . . . . . 7 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) Fn U. U )
32		fvco3 5756	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) : U. U --> ( X X. Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ` z ) = ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) ` ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) ) )
33	25, 32	sylan 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ` z ) = ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) ` ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) ) )
34		fveq2 5679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
35		fveq2 5679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( G ` x ) = ( G ` z ) )
36	34, 35	opeq12d 4055	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. = <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. )
37		opex 4544	. . . . . . . . . . 11 |- <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. e. _V
38	36, 2, 37	fvmpt 5762	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. U. U -> ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) = <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. )
39	38	adantl 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) = <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. )
40	39	fveq2d 5683	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) ` ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) ) = ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) )
41		ffvelrn 5829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : U. U --> X /\ z e. U. U ) -> ( F ` z ) e. X )
42		ffvelrn 5829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G : U. U --> Y /\ z e. U. U ) -> ( G ` z ) e. Y )
43		opelxpi 4858	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` z ) e. X /\ ( G ` z ) e. Y ) -> <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. e. ( X X. Y ) )
44	41, 42, 43	syl2an 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ z e. U. U ) /\ ( G : U. U --> Y /\ z e. U. U ) ) -> <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. e. ( X X. Y ) )
45	44	anandirs 820	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. e. ( X X. Y ) )
46		fvres 5692	. . . . . . . . . 10 |- ( <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. e. ( X X. Y ) -> ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( 1st ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) )
47	45, 46	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( 1st ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) )
48		fvex 5689	. . . . . . . . . 10 |- ( F ` z ) e. _V
49		fvex 5689	. . . . . . . . . 10 |- ( G ` z ) e. _V
50	48, 49	op1st 6574	. . . . . . . . 9 |- ( 1st ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( F ` z )
51	47, 50	syl6eq 2481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( F ` z ) )
52	33, 40, 51	3eqtrrd 2470	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( F ` z ) = ( ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ` z ) )
53	12, 31, 52	eqfnfvd 5788	. . . . . 6 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> F = ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) )
54		uptx.5	. . . . . . . 8 |- P = ( 1st |` Z )
55		uptx.4	. . . . . . . . 9 |- Z = ( X X. Y )
56	55	reseq2i 5094	. . . . . . . 8 |- ( 1st |` Z ) = ( 1st |` ( X X. Y ) )
57	54, 56	eqtri 2453	. . . . . . 7 |- P = ( 1st |` ( X X. Y ) )
58	57	coeq1i 4986	. . . . . 6 |- ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) = ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) )
59	53, 58	syl6eqr 2483	. . . . 5 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> F = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) )
60	8, 10, 59	syl2an 474	. . . 4 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> F = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) )
61		ffn 5547	. . . . . . . 8 |- ( G : U. U --> Y -> G Fn U. U )
62	61	adantl 463	. . . . . . 7 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> G Fn U. U )
63		fo2nd 6586	. . . . . . . . . . 11 |- 2nd : _V -onto-> _V
64		fofn 5610	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2nd : _V -onto-> _V -> 2nd Fn _V )
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- 2nd Fn _V
66		fnssres 5512	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2nd Fn _V /\ ( X X. Y ) C_ _V ) -> ( 2nd |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y ) )
67	65, 16, 66	mp2an 665	. . . . . . . . 9 |- ( 2nd |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y )
68	67	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> ( 2nd |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y ) )
69		fnco 5507	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y ) /\ ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) Fn U. U /\ ran ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) C_ ( X X. Y ) ) -> ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) Fn U. U )
70	68, 27, 29, 69	syl3anc 1211	. . . . . . 7 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) Fn U. U )
71		fvco3 5756	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) : U. U --> ( X X. Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ` z ) = ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) ` ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) ) )
72	25, 71	sylan 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ` z ) = ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) ` ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) ) )
73	39	fveq2d 5683	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) ` ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) ) = ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) )
74		fvres 5692	. . . . . . . . . 10 |- ( <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. e. ( X X. Y ) -> ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( 2nd ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) )
75	45, 74	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( 2nd ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) )
76	48, 49	op2nd 6575	. . . . . . . . 9 |- ( 2nd ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( G ` z )
77	75, 76	syl6eq 2481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( G ` z ) )
78	72, 73, 77	3eqtrrd 2470	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( G ` z ) = ( ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ` z ) )
79	62, 70, 78	eqfnfvd 5788	. . . . . 6 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> G = ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) )
80		uptx.6	. . . . . . . 8 |- Q = ( 2nd |` Z )
81	55	reseq2i 5094	. . . . . . . 8 |- ( 2nd |` Z ) = ( 2nd |` ( X X. Y ) )
82	80, 81	eqtri 2453	. . . . . . 7 |- Q = ( 2nd |` ( X X. Y ) )
83	82	coeq1i 4986	. . . . . 6 |- ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) = ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) )
84	79, 83	syl6eqr 2483	. . . . 5 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> G = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) )
85	8, 10, 84	syl2an 474	. . . 4 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> G = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) )
86	6, 60, 85	jca32 532	. . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) /\ G = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) ) )
87		eleq1 2493	. . . . 5 |- ( h = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) -> ( h e. ( U Cn T ) <-> ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) e. ( U Cn T ) ) )
88		coeq2 4985	. . . . . . 7 |- ( h = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) -> ( P o. h ) = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) )
89	88	eqeq2d 2444	. . . . . 6 |- ( h = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) -> ( F = ( P o. h ) <-> F = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) )
90		coeq2 4985	. . . . . . 7 |- ( h = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) -> ( Q o. h ) = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) )
91	90	eqeq2d 2444	. . . . . 6 |- ( h = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) -> ( G = ( Q o. h ) <-> G = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) )
92	89, 91	anbi12d 703	. . . . 5 |- ( h = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) -> ( ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) <-> ( F = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) /\ G = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) ) )
93	87, 92	anbi12d 703	. . . 4 |- ( h = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) -> ( ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) <-> ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) /\ G = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) ) ) )
94	93	spcegv 3047	. . 3 |- ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) e. ( U Cn T ) -> ( ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) /\ G = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) ) -> E. h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) ) )
95	6, 86, 94	sylc 60	. 2 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> E. h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) )
96		eqid 2433	. . . . . . . 8 |- U. T = U. T
97	1, 96	cnf 18691	. . . . . . 7 |- ( h e. ( U Cn T ) -> h : U. U --> U. T )
98		cntop2 18686	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( U Cn R ) -> R e. Top )
99		cntop2 18686	. . . . . . . . 9 |- ( G e. ( U Cn S ) -> S e. Top )
100	7, 9	txuni 19006	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( X X. Y ) = U. ( R tX S ) )
101	4	unieqi 4088	. . . . . . . . . 10 |- U. T = U. ( R tX S )
102	100, 101	syl6reqr 2484	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. T = ( X X. Y ) )
103	98, 99, 102	syl2an 474	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> U. T = ( X X. Y ) )
104		feq3 5532	. . . . . . . 8 |- ( U. T = ( X X. Y ) -> ( h : U. U --> U. T <-> h : U. U --> ( X X. Y ) ) )
105	103, 104	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( h : U. U --> U. T <-> h : U. U --> ( X X. Y ) ) )
106	97, 105	syl5ib 219	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( h e. ( U Cn T ) -> h : U. U --> ( X X. Y ) ) )
107	106	anim1d 559	. . . . 5 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) -> ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) ) )
108		3anass 962	. . . . 5 |- ( ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) <-> ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) )
109	107, 108	syl6ibr 227	. . . 4 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) -> ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) )
110	109	alrimiv 1684	. . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> A. h ( ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) -> ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) )
111		cntop1 18685	. . . . . . 7 |- ( F e. ( U Cn R ) -> U e. Top )
112		uniexg 6366	. . . . . . 7 |- ( U e. Top -> U. U e. _V )
113	111, 112	syl 16	. . . . . 6 |- ( F e. ( U Cn R ) -> U. U e. _V )
114	113	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> U. U e. _V )
115	8	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> F : U. U --> X )
116	10	adantl 463	. . . . 5 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> G : U. U --> Y )
117	57, 82	upxp 19037	. . . . 5 |- ( ( U. U e. _V /\ F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> E! h ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) )
118	114, 115, 116, 117	syl3anc 1211	. . . 4 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> E! h ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) )
119		eumo 2283	. . . 4 |- ( E! h ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) -> E* h ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) )
120	118, 119	syl 16	. . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> E* h ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) )
121		moim 2316	. . 3 |- ( A. h ( ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) -> ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) -> ( E* h ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) -> E* h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) ) )
122	110, 120, 121	sylc 60	. 2 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> E* h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) )
123		df-reu 2712	. . 3 |- ( E! h e. ( U Cn T ) ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) <-> E! h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) )
124		eu5 2281	. . 3 |- ( E! h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) <-> ( E. h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) /\ E* h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) ) )
125	123, 124	bitri 249	. 2 |- ( E! h e. ( U Cn T ) ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) <-> ( E. h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) /\ E* h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) ) )
126	95, 122, 125	sylanbrc 657	1 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> E! h e. ( U Cn T ) ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 958   A.wal 1360   = wceq 1362   E.wex 1589   e. wcel 1755   E!weu 2254   E*wmo 2255   E!wreu 2707   _Vcvv 2962   C_ wss 3316   <.cop 3871   U.cuni 4079   e. cmpt 4338   X. cxp 4825   ran crn 4828   |` cres 4829   o. ccom 4831   Fn wfn 5401   -->wf 5402   -onto->wfo 5404   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   1stc1st 6564   2ndc2nd 6565   Topctop 18339   Cn ccn 18669   tX ctx 18974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-map 7204  df-topgen 14364  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-cn 18672  df-tx 18976

This theorem is referenced by:  txcn  19040