Theorem uptx 20252

Description: Universal property of the binary topological product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uptx.1	|- T = ( R tX S )
uptx.2	|- X = U. R
uptx.3	|- Y = U. S
uptx.4	|- Z = ( X X. Y )
uptx.5	|- P = ( 1st |` Z )
uptx.6	|- Q = ( 2nd |` Z )

Assertion

Ref	Expression
uptx	|- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> E! h e. ( U Cn T ) ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) )

Distinct variable groups:   h, F   h, G   P, h   Q, h   R, h   T, h   S, h   U, h   h, X   h, Y

Allowed substitution hint:   Z( h)

Proof of Theorem uptx

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2457	. . . . 5 |- U. U = U. U
2		eqid 2457	. . . . 5 |- ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. )
3	1, 2	txcnmpt 20251	. . . 4 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) e. ( U Cn ( R tX S ) ) )
4		uptx.1	. . . . 5 |- T = ( R tX S )
5	4	oveq2i 6307	. . . 4 |- ( U Cn T ) = ( U Cn ( R tX S ) )
6	3, 5	syl6eleqr 2556	. . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) e. ( U Cn T ) )
7		uptx.2	. . . . . 6 |- X = U. R
8	1, 7	cnf 19874	. . . . 5 |- ( F e. ( U Cn R ) -> F : U. U --> X )
9		uptx.3	. . . . . 6 |- Y = U. S
10	1, 9	cnf 19874	. . . . 5 |- ( G e. ( U Cn S ) -> G : U. U --> Y )
11		ffn 5737	. . . . . . . 8 |- ( F : U. U --> X -> F Fn U. U )
12	11	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> F Fn U. U )
13		fo1st 6819	. . . . . . . . . . 11 |- 1st : _V -onto-> _V
14		fofn 5803	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1st : _V -onto-> _V -> 1st Fn _V )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- 1st Fn _V
16		ssv 3519	. . . . . . . . . 10 |- ( X X. Y ) C_ _V
17		fnssres 5700	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1st Fn _V /\ ( X X. Y ) C_ _V ) -> ( 1st |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y ) )
18	15, 16, 17	mp2an 672	. . . . . . . . 9 |- ( 1st |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y )
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> ( 1st |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y ) )
20		ffvelrn 6030	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : U. U --> X /\ x e. U. U ) -> ( F ` x ) e. X )
21		ffvelrn 6030	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G : U. U --> Y /\ x e. U. U ) -> ( G ` x ) e. Y )
22		opelxpi 5040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) e. X /\ ( G ` x ) e. Y ) -> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( X X. Y ) )
23	20, 21, 22	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ x e. U. U ) /\ ( G : U. U --> Y /\ x e. U. U ) ) -> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( X X. Y ) )
24	23	anandirs 831	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ x e. U. U ) -> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( X X. Y ) )
25	24, 2	fmptd 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) : U. U --> ( X X. Y ) )
26		ffn 5737	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) : U. U --> ( X X. Y ) -> ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) Fn U. U )
27	25, 26	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) Fn U. U )
28		frn 5743	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) : U. U --> ( X X. Y ) -> ran ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) C_ ( X X. Y ) )
29	25, 28	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> ran ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) C_ ( X X. Y ) )
30		fnco 5695	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y ) /\ ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) Fn U. U /\ ran ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) C_ ( X X. Y ) ) -> ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) Fn U. U )
31	19, 27, 29, 30	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) Fn U. U )
32		fvco3 5950	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) : U. U --> ( X X. Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ` z ) = ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) ` ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) ) )
33	25, 32	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ` z ) = ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) ` ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) ) )
34		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
35		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( G ` x ) = ( G ` z ) )
36	34, 35	opeq12d 4227	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. = <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. )
37		opex 4720	. . . . . . . . . . 11 |- <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. e. _V
38	36, 2, 37	fvmpt 5956	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. U. U -> ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) = <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. )
39	38	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) = <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. )
40	39	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) ` ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) ) = ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) )
41		ffvelrn 6030	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : U. U --> X /\ z e. U. U ) -> ( F ` z ) e. X )
42		ffvelrn 6030	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G : U. U --> Y /\ z e. U. U ) -> ( G ` z ) e. Y )
43		opelxpi 5040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` z ) e. X /\ ( G ` z ) e. Y ) -> <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. e. ( X X. Y ) )
44	41, 42, 43	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ z e. U. U ) /\ ( G : U. U --> Y /\ z e. U. U ) ) -> <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. e. ( X X. Y ) )
45	44	anandirs 831	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. e. ( X X. Y ) )
46		fvres 5886	. . . . . . . . . 10 |- ( <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. e. ( X X. Y ) -> ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( 1st ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) )
47	45, 46	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( 1st ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) )
48		fvex 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( F ` z ) e. _V
49		fvex 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( G ` z ) e. _V
50	48, 49	op1st 6807	. . . . . . . . 9 |- ( 1st ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( F ` z )
51	47, 50	syl6eq 2514	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( F ` z ) )
52	33, 40, 51	3eqtrrd 2503	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( F ` z ) = ( ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ` z ) )
53	12, 31, 52	eqfnfvd 5985	. . . . . 6 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> F = ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) )
54		uptx.5	. . . . . . . 8 |- P = ( 1st |` Z )
55		uptx.4	. . . . . . . . 9 |- Z = ( X X. Y )
56	55	reseq2i 5280	. . . . . . . 8 |- ( 1st |` Z ) = ( 1st |` ( X X. Y ) )
57	54, 56	eqtri 2486	. . . . . . 7 |- P = ( 1st |` ( X X. Y ) )
58	57	coeq1i 5172	. . . . . 6 |- ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) = ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) )
59	53, 58	syl6eqr 2516	. . . . 5 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> F = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) )
60	8, 10, 59	syl2an 477	. . . 4 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> F = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) )
61		ffn 5737	. . . . . . . 8 |- ( G : U. U --> Y -> G Fn U. U )
62	61	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> G Fn U. U )
63		fo2nd 6820	. . . . . . . . . . 11 |- 2nd : _V -onto-> _V
64		fofn 5803	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2nd : _V -onto-> _V -> 2nd Fn _V )
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- 2nd Fn _V
66		fnssres 5700	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2nd Fn _V /\ ( X X. Y ) C_ _V ) -> ( 2nd |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y ) )
67	65, 16, 66	mp2an 672	. . . . . . . . 9 |- ( 2nd |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y )
68	67	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> ( 2nd |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y ) )
69		fnco 5695	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y ) /\ ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) Fn U. U /\ ran ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) C_ ( X X. Y ) ) -> ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) Fn U. U )
70	68, 27, 29, 69	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) Fn U. U )
71		fvco3 5950	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) : U. U --> ( X X. Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ` z ) = ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) ` ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) ) )
72	25, 71	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ` z ) = ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) ` ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) ) )
73	39	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) ` ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) ) = ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) )
74		fvres 5886	. . . . . . . . . 10 |- ( <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. e. ( X X. Y ) -> ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( 2nd ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) )
75	45, 74	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( 2nd ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) )
76	48, 49	op2nd 6808	. . . . . . . . 9 |- ( 2nd ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( G ` z )
77	75, 76	syl6eq 2514	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( G ` z ) )
78	72, 73, 77	3eqtrrd 2503	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( G ` z ) = ( ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ` z ) )
79	62, 70, 78	eqfnfvd 5985	. . . . . 6 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> G = ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) )
80		uptx.6	. . . . . . . 8 |- Q = ( 2nd |` Z )
81	55	reseq2i 5280	. . . . . . . 8 |- ( 2nd |` Z ) = ( 2nd |` ( X X. Y ) )
82	80, 81	eqtri 2486	. . . . . . 7 |- Q = ( 2nd |` ( X X. Y ) )
83	82	coeq1i 5172	. . . . . 6 |- ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) = ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) )
84	79, 83	syl6eqr 2516	. . . . 5 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> G = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) )
85	8, 10, 84	syl2an 477	. . . 4 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> G = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) )
86	6, 60, 85	jca32 535	. . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) /\ G = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) ) )
87		eleq1 2529	. . . . 5 |- ( h = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) -> ( h e. ( U Cn T ) <-> ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) e. ( U Cn T ) ) )
88		coeq2 5171	. . . . . . 7 |- ( h = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) -> ( P o. h ) = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) )
89	88	eqeq2d 2471	. . . . . 6 |- ( h = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) -> ( F = ( P o. h ) <-> F = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) )
90		coeq2 5171	. . . . . . 7 |- ( h = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) -> ( Q o. h ) = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) )
91	90	eqeq2d 2471	. . . . . 6 |- ( h = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) -> ( G = ( Q o. h ) <-> G = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) )
92	89, 91	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( h = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) -> ( ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) <-> ( F = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) /\ G = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) ) )
93	87, 92	anbi12d 710	. . . 4 |- ( h = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) -> ( ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) <-> ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) /\ G = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) ) ) )
94	93	spcegv 3195	. . 3 |- ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) e. ( U Cn T ) -> ( ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) /\ G = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) ) -> E. h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) ) )
95	6, 86, 94	sylc 60	. 2 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> E. h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) )
96		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- U. T = U. T
97	1, 96	cnf 19874	. . . . . . 7 |- ( h e. ( U Cn T ) -> h : U. U --> U. T )
98		cntop2 19869	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( U Cn R ) -> R e. Top )
99		cntop2 19869	. . . . . . . . 9 |- ( G e. ( U Cn S ) -> S e. Top )
100	7, 9	txuni 20219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( X X. Y ) = U. ( R tX S ) )
101	4	unieqi 4260	. . . . . . . . . 10 |- U. T = U. ( R tX S )
102	100, 101	syl6reqr 2517	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. T = ( X X. Y ) )
103	98, 99, 102	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> U. T = ( X X. Y ) )
104	103	feq3d 5725	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( h : U. U --> U. T <-> h : U. U --> ( X X. Y ) ) )
105	97, 104	syl5ib 219	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( h e. ( U Cn T ) -> h : U. U --> ( X X. Y ) ) )
106	105	anim1d 564	. . . . 5 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) -> ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) ) )
107		3anass 977	. . . . 5 |- ( ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) <-> ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) )
108	106, 107	syl6ibr 227	. . . 4 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) -> ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) )
109	108	alrimiv 1720	. . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> A. h ( ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) -> ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) )
110		cntop1 19868	. . . . . . 7 |- ( F e. ( U Cn R ) -> U e. Top )
111		uniexg 6596	. . . . . . 7 |- ( U e. Top -> U. U e. _V )
112	110, 111	syl 16	. . . . . 6 |- ( F e. ( U Cn R ) -> U. U e. _V )
113	112	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> U. U e. _V )
114	8	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> F : U. U --> X )
115	10	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> G : U. U --> Y )
116	57, 82	upxp 20250	. . . . 5 |- ( ( U. U e. _V /\ F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> E! h ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) )
117	113, 114, 115, 116	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> E! h ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) )
118		eumo 2314	. . . 4 |- ( E! h ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) -> E* h ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) )
119	117, 118	syl 16	. . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> E* h ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) )
120		moim 2340	. . 3 |- ( A. h ( ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) -> ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) -> ( E* h ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) -> E* h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) ) )
121	109, 119, 120	sylc 60	. 2 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> E* h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) )
122		df-reu 2814	. . 3 |- ( E! h e. ( U Cn T ) ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) <-> E! h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) )
123		eu5 2311	. . 3 |- ( E! h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) <-> ( E. h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) /\ E* h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) ) )
124	122, 123	bitri 249	. 2 |- ( E! h e. ( U Cn T ) ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) <-> ( E. h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) /\ E* h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) ) )
125	95, 121, 124	sylanbrc 664	1 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> E! h e. ( U Cn T ) ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   A.wal 1393   = wceq 1395   E.wex 1613   e. wcel 1819   E!weu 2283   E*wmo 2284   E!wreu 2809   _Vcvv 3109   C_ wss 3471   <.cop 4038   U.cuni 4251   |-> cmpt 4515   X. cxp 5006   ran crn 5009   |` cres 5010   o. ccom 5012   Fn wfn 5589   -->wf 5590   -onto->wfo 5592   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1stc1st 6797   2ndc2nd 6798   Topctop 19521   Cn ccn 19852   tX ctx 20187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-map 7440  df-topgen 14861  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cn 19855  df-tx 20189

This theorem is referenced by:  txcn  20253