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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > uptx | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Universal property of the binary topological product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.) |
Ref | Expression |
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uptx.1 |
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uptx.2 |
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uptx.3 |
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uptx.4 |
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uptx.5 |
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uptx.6 |
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uptx |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | eqid 2452 |
. . . . 5
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2 | eqid 2452 |
. . . . 5
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3 | 1, 2 | txcnmpt 20650 |
. . . 4
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4 | uptx.1 |
. . . . 5
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5 | 4 | oveq2i 6287 |
. . . 4
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6 | 3, 5 | syl6eleqr 2541 |
. . 3
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7 | uptx.2 |
. . . . . 6
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8 | 1, 7 | cnf 20273 |
. . . . 5
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9 | uptx.3 |
. . . . . 6
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10 | 1, 9 | cnf 20273 |
. . . . 5
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11 | ffn 5711 |
. . . . . . . 8
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12 | 11 | adantr 471 |
. . . . . . 7
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13 | fo1st 6801 |
. . . . . . . . . . 11
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14 | fofn 5778 |
. . . . . . . . . . 11
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15 | 13, 14 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . 10
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16 | ssv 3420 |
. . . . . . . . . 10
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17 | fnssres 5671 |
. . . . . . . . . 10
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18 | 15, 16, 17 | mp2an 683 |
. . . . . . . . 9
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19 | 18 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
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20 | ffvelrn 6004 |
. . . . . . . . . . . 12
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21 | ffvelrn 6004 |
. . . . . . . . . . . 12
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22 | opelxpi 4844 |
. . . . . . . . . . . 12
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23 | 20, 21, 22 | syl2an 484 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | 23 | anandirs 844 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 24, 2 | fmptd 6030 |
. . . . . . . . 9
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26 | ffn 5711 |
. . . . . . . . 9
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27 | 25, 26 | syl 17 |
. . . . . . . 8
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28 | frn 5718 |
. . . . . . . . 9
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29 | 25, 28 | syl 17 |
. . . . . . . 8
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30 | fnco 5666 |
. . . . . . . 8
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31 | 19, 27, 29, 30 | syl3anc 1271 |
. . . . . . 7
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32 | fvco3 5926 |
. . . . . . . . 9
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33 | 25, 32 | sylan 478 |
. . . . . . . 8
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34 | fveq2 5848 |
. . . . . . . . . . . 12
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35 | fveq2 5848 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | 34, 35 | opeq12d 4144 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | opex 4637 |
. . . . . . . . . . 11
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38 | 36, 2, 37 | fvmpt 5932 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 38 | adantl 472 |
. . . . . . . . 9
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40 | 39 | fveq2d 5852 |
. . . . . . . 8
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41 | ffvelrn 6004 |
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42 | ffvelrn 6004 |
. . . . . . . . . . . 12
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43 | opelxpi 4844 |
. . . . . . . . . . . 12
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44 | 41, 42, 43 | syl2an 484 |
. . . . . . . . . . 11
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45 | 44 | anandirs 844 |
. . . . . . . . . 10
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46 | fvres 5862 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 45, 46 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
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48 | fvex 5858 |
. . . . . . . . . 10
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49 | fvex 5858 |
. . . . . . . . . 10
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50 | 48, 49 | op1st 6789 |
. . . . . . . . 9
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51 | 47, 50 | syl6eq 2502 |
. . . . . . . 8
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52 | 33, 40, 51 | 3eqtrrd 2491 |
. . . . . . 7
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53 | 12, 31, 52 | eqfnfvd 5963 |
. . . . . 6
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54 | uptx.5 |
. . . . . . . 8
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55 | uptx.4 |
. . . . . . . . 9
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56 | 55 | reseq2i 5080 |
. . . . . . . 8
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57 | 54, 56 | eqtri 2474 |
. . . . . . 7
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58 | 57 | coeq1i 4972 |
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59 | 53, 58 | syl6eqr 2504 |
. . . . 5
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60 | 8, 10, 59 | syl2an 484 |
. . . 4
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61 | ffn 5711 |
. . . . . . . 8
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62 | 61 | adantl 472 |
. . . . . . 7
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63 | fo2nd 6802 |
. . . . . . . . . . 11
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64 | fofn 5778 |
. . . . . . . . . . 11
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65 | 63, 64 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . 10
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66 | fnssres 5671 |
. . . . . . . . . 10
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67 | 65, 16, 66 | mp2an 683 |
. . . . . . . . 9
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68 | 67 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
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69 | fnco 5666 |
. . . . . . . 8
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70 | 68, 27, 29, 69 | syl3anc 1271 |
. . . . . . 7
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71 | fvco3 5926 |
. . . . . . . . 9
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72 | 25, 71 | sylan 478 |
. . . . . . . 8
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73 | 39 | fveq2d 5852 |
. . . . . . . 8
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74 | fvres 5862 |
. . . . . . . . . 10
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75 | 45, 74 | syl 17 |
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76 | 48, 49 | op2nd 6790 |
. . . . . . . . 9
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77 | 75, 76 | syl6eq 2502 |
. . . . . . . 8
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78 | 72, 73, 77 | 3eqtrrd 2491 |
. . . . . . 7
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79 | 62, 70, 78 | eqfnfvd 5963 |
. . . . . 6
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. . . . . . . 8
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81 | 55 | reseq2i 5080 |
. . . . . . . 8
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82 | 80, 81 | eqtri 2474 |
. . . . . . 7
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83 | 82 | coeq1i 4972 |
. . . . . 6
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84 | 79, 83 | syl6eqr 2504 |
. . . . 5
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85 | 8, 10, 84 | syl2an 484 |
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86 | 6, 60, 85 | jca32 542 |
. . 3
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87 | eleq1 2518 |
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89 | 88 | eqeq2d 2462 |
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. . . . . . 7
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. . . . . 6
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93 | 87, 92 | anbi12d 722 |
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94 | 93 | spcegv 3103 |
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96 | eqid 2452 |
. . . . . . . 8
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97 | 1, 96 | cnf 20273 |
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98 | cntop2 20268 |
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99 | cntop2 20268 |
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100 | 7, 9 | txuni 20618 |
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101 | 4 | unieqi 4177 |
. . . . . . . . . 10
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102 | 100, 101 | syl6reqr 2505 |
. . . . . . . . 9
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103 | 98, 99, 102 | syl2an 484 |
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104 | 103 | feq3d 5698 |
. . . . . . 7
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105 | 97, 104 | syl5ib 227 |
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106 | 105 | anim1d 572 |
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107 | 3anass 990 |
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108 | 106, 107 | syl6ibr 235 |
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109 | 108 | alrimiv 1777 |
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110 | cntop1 20267 |
. . . . . . 7
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111 | uniexg 6576 |
. . . . . . 7
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112 | 110, 111 | syl 17 |
. . . . . 6
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113 | 112 | adantr 471 |
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114 | 8 | adantr 471 |
. . . . 5
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115 | 10 | adantl 472 |
. . . . 5
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116 | 57, 82 | upxp 20649 |
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117 | 113, 114, 115, 116 | syl3anc 1271 |
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118 | eumo 2329 |
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119 | 117, 118 | syl 17 |
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120 | moim 2349 |
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121 | 109, 119, 120 | sylc 62 |
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122 | df-reu 2744 |
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123 | eu5 2326 |
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124 | 122, 123 | bitri 257 |
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125 | 95, 121, 124 | sylanbrc 675 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1673 ax-4 1686 ax-5 1762 ax-6 1809 ax-7 1855 ax-8 1893 ax-9 1900 ax-10 1919 ax-11 1924 ax-12 1937 ax-13 2092 ax-ext 2432 ax-rep 4487 ax-sep 4497 ax-nul 4506 ax-pow 4554 ax-pr 4612 ax-un 6571 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 376 df-an 377 df-3an 988 df-tru 1451 df-ex 1668 df-nf 1672 df-sb 1802 df-eu 2304 df-mo 2305 df-clab 2439 df-cleq 2445 df-clel 2448 df-nfc 2582 df-ne 2624 df-ral 2742 df-rex 2743 df-reu 2744 df-rab 2746 df-v 3015 df-sbc 3236 df-csb 3332 df-dif 3375 df-un 3377 df-in 3379 df-ss 3386 df-nul 3700 df-if 3850 df-pw 3921 df-sn 3937 df-pr 3939 df-op 3943 df-uni 4169 df-iun 4250 df-br 4375 df-opab 4434 df-mpt 4435 df-id 4727 df-xp 4818 df-rel 4819 df-cnv 4820 df-co 4821 df-dm 4822 df-rn 4823 df-res 4824 df-ima 4825 df-iota 5525 df-fun 5563 df-fn 5564 df-f 5565 df-f1 5566 df-fo 5567 df-f1o 5568 df-fv 5569 df-ov 6279 df-oprab 6280 df-mpt2 6281 df-1st 6781 df-2nd 6782 df-map 7461 df-topgen 15353 df-top 19932 df-bases 19933 df-topon 19934 df-cn 20254 df-tx 20588 |
This theorem is referenced by: txcn 20652 |
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