MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uptx Structured version   Unicode version

Theorem uptx 20638
Description: Universal property of the binary topological product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uptx.1  |-  T  =  ( R  tX  S
)
uptx.2  |-  X  = 
U. R
uptx.3  |-  Y  = 
U. S
uptx.4  |-  Z  =  ( X  X.  Y
)
uptx.5  |-  P  =  ( 1st  |`  Z )
uptx.6  |-  Q  =  ( 2nd  |`  Z )
Assertion
Ref Expression
uptx  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  E! h  e.  ( U  Cn  T ) ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )
Distinct variable groups:    h, F    h, G    P, h    Q, h    R, h    T, h    S, h    U, h    h, X   
h, Y
Allowed substitution hint:    Z( h)

Proof of Theorem uptx
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2422 . . . . 5  |-  U. U  =  U. U
2 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. U  |->  <.
( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)  =  ( x  e.  U. U  |->  <.
( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)
31, 2txcnmpt 20637 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. )  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) )
4 uptx.1 . . . . 5  |-  T  =  ( R  tX  S
)
54oveq2i 6316 . . . 4  |-  ( U  Cn  T )  =  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )
63, 5syl6eleqr 2518 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. )  e.  ( U  Cn  T ) )
7 uptx.2 . . . . . 6  |-  X  = 
U. R
81, 7cnf 20260 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( U  Cn  R )  ->  F : U. U --> X )
9 uptx.3 . . . . . 6  |-  Y  = 
U. S
101, 9cnf 20260 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( U  Cn  S )  ->  G : U. U --> Y )
11 ffn 5746 . . . . . . . 8  |-  ( F : U. U --> X  ->  F  Fn  U. U )
1211adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  F  Fn  U. U )
13 fo1st 6827 . . . . . . . . . . 11  |-  1st : _V -onto-> _V
14 fofn 5812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1st
: _V -onto-> _V  ->  1st 
Fn  _V )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  1st  Fn  _V
16 ssv 3484 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  X.  Y )  C_  _V
17 fnssres 5707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st  Fn  _V  /\  ( X  X.  Y
)  C_  _V )  ->  ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )  Fn  ( X  X.  Y ) )
1815, 16, 17mp2an 676 . . . . . . . . 9  |-  ( 1st  |`  ( X  X.  Y
) )  Fn  ( X  X.  Y )
1918a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )  Fn  ( X  X.  Y
) )
20 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  x  e.  U. U )  ->  ( F `  x )  e.  X )
21 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : U. U --> Y  /\  x  e.  U. U )  ->  ( G `  x )  e.  Y )
22 opelxpi 4885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  X  /\  ( G `  x )  e.  Y )  ->  <. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.  e.  ( X  X.  Y
) )
2320, 21, 22syl2an 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  x  e. 
U. U )  /\  ( G : U. U --> Y  /\  x  e.  U. U ) )  ->  <. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.  e.  ( X  X.  Y
) )
2423anandirs 838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  x  e.  U. U )  ->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>.  e.  ( X  X.  Y ) )
2524, 2fmptd 6061 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  (
x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) : U. U --> ( X  X.  Y
) )
26 ffn 5746 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) : U. U --> ( X  X.  Y
)  ->  ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  Fn  U. U )
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  (
x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)  Fn  U. U
)
28 frn 5752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) : U. U --> ( X  X.  Y
)  ->  ran  ( x  e.  U. U  |->  <.
( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)  C_  ( X  X.  Y ) )
2925, 28syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  ran  ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)  C_  ( X  X.  Y ) )
30 fnco 5702 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )  Fn  ( X  X.  Y )  /\  (
x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)  Fn  U. U  /\  ran  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  C_  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
)  Fn  U. U
)
3119, 27, 29, 30syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  (
( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
)  Fn  U. U
)
32 fvco3 5958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) : U. U --> ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. U )  ->  (
( ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
) `  z )  =  ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y
) ) `  (
( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) `  z ) ) )
3325, 32sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) ) `  z
)  =  ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) ) `  ( ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. ) `  z ) ) )
34 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
35 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ( G `  x )  =  ( G `  z ) )
3634, 35opeq12d 4195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >.  =  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >. )
37 opex 4685 . . . . . . . . . . 11  |-  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >.  e.  _V
3836, 2, 37fvmpt 5964 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  U. U  -> 
( ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. ) `  z )  =  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >. )
3938adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( ( x  e.  U. U  |->  <.
( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) `  z )  =  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z )
>. )
4039fveq2d 5885 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y
) ) `  (
( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) `  z ) )  =  ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) ) `  <. ( F `  z
) ,  ( G `
 z ) >.
) )
41 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  z  e.  U. U )  ->  ( F `  z )  e.  X )
42 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : U. U --> Y  /\  z  e.  U. U )  ->  ( G `  z )  e.  Y )
43 opelxpi 4885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  X  /\  ( G `  z )  e.  Y )  ->  <. ( F `  z
) ,  ( G `
 z ) >.  e.  ( X  X.  Y
) )
4441, 42, 43syl2an 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  z  e. 
U. U )  /\  ( G : U. U --> Y  /\  z  e.  U. U ) )  ->  <. ( F `  z
) ,  ( G `
 z ) >.  e.  ( X  X.  Y
) )
4544anandirs 838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z )
>.  e.  ( X  X.  Y ) )
46 fvres 5895 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
( F `  z
) ,  ( G `
 z ) >.  e.  ( X  X.  Y
)  ->  ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) ) `  <. ( F `  z
) ,  ( G `
 z ) >.
)  =  ( 1st `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z )
>. ) )
4745, 46syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y
) ) `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >. )  =  ( 1st `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >. )
)
48 fvex 5891 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 z )  e. 
_V
49 fvex 5891 . . . . . . . . . 10  |-  ( G `
 z )  e. 
_V
5048, 49op1st 6815 . . . . . . . . 9  |-  ( 1st `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z )
>. )  =  ( F `  z )
5147, 50syl6eq 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y
) ) `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >. )  =  ( F `  z ) )
5233, 40, 513eqtrrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( F `  z )  =  ( ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
) `  z )
)
5312, 31, 52eqfnfvd 5994 . . . . . 6  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  F  =  ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y
) )  o.  (
x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) ) )
54 uptx.5 . . . . . . . 8  |-  P  =  ( 1st  |`  Z )
55 uptx.4 . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( X  X.  Y
)
5655reseq2i 5121 . . . . . . . 8  |-  ( 1st  |`  Z )  =  ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )
5754, 56eqtri 2451 . . . . . . 7  |-  P  =  ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )
5857coeq1i 5013 . . . . . 6  |-  ( P  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
)  =  ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) )
5953, 58syl6eqr 2481 . . . . 5  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  F  =  ( P  o.  ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) ) )
608, 10, 59syl2an 479 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  F  =  ( P  o.  ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) ) )
61 ffn 5746 . . . . . . . 8  |-  ( G : U. U --> Y  ->  G  Fn  U. U )
6261adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  G  Fn  U. U )
63 fo2nd 6828 . . . . . . . . . . 11  |-  2nd : _V -onto-> _V
64 fofn 5812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2nd
: _V -onto-> _V  ->  2nd 
Fn  _V )
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  2nd  Fn  _V
66 fnssres 5707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2nd  Fn  _V  /\  ( X  X.  Y
)  C_  _V )  ->  ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )  Fn  ( X  X.  Y ) )
6765, 16, 66mp2an 676 . . . . . . . . 9  |-  ( 2nd  |`  ( X  X.  Y
) )  Fn  ( X  X.  Y )
6867a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )  Fn  ( X  X.  Y
) )
69 fnco 5702 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )  Fn  ( X  X.  Y )  /\  (
x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)  Fn  U. U  /\  ran  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  C_  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
)  Fn  U. U
)
7068, 27, 29, 69syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  (
( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
)  Fn  U. U
)
71 fvco3 5958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) : U. U --> ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. U )  ->  (
( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
) `  z )  =  ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y
) ) `  (
( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) `  z ) ) )
7225, 71sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) ) `  z
)  =  ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) ) `  ( ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. ) `  z ) ) )
7339fveq2d 5885 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y
) ) `  (
( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) `  z ) )  =  ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) ) `  <. ( F `  z
) ,  ( G `
 z ) >.
) )
74 fvres 5895 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
( F `  z
) ,  ( G `
 z ) >.  e.  ( X  X.  Y
)  ->  ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) ) `  <. ( F `  z
) ,  ( G `
 z ) >.
)  =  ( 2nd `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z )
>. ) )
7545, 74syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y
) ) `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >. )  =  ( 2nd `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >. )
)
7648, 49op2nd 6816 . . . . . . . . 9  |-  ( 2nd `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z )
>. )  =  ( G `  z )
7775, 76syl6eq 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y
) ) `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >. )  =  ( G `  z ) )
7872, 73, 773eqtrrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( G `  z )  =  ( ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
) `  z )
)
7962, 70, 78eqfnfvd 5994 . . . . . 6  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  G  =  ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y
) )  o.  (
x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) ) )
80 uptx.6 . . . . . . . 8  |-  Q  =  ( 2nd  |`  Z )
8155reseq2i 5121 . . . . . . . 8  |-  ( 2nd  |`  Z )  =  ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )
8280, 81eqtri 2451 . . . . . . 7  |-  Q  =  ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )
8382coeq1i 5013 . . . . . 6  |-  ( Q  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
)  =  ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) )
8479, 83syl6eqr 2481 . . . . 5  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  G  =  ( Q  o.  ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) ) )
858, 10, 84syl2an 479 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  G  =  ( Q  o.  ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) ) )
866, 60, 85jca32 537 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) )  /\  G  =  ( Q  o.  ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) ) ) ) )
87 eleq1 2495 . . . . 5  |-  ( h  =  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  ->  ( h  e.  ( U  Cn  T )  <-> 
( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. )  e.  ( U  Cn  T ) ) )
88 coeq2 5012 . . . . . . 7  |-  ( h  =  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  ->  ( P  o.  h
)  =  ( P  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
) )
8988eqeq2d 2436 . . . . . 6  |-  ( h  =  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  ->  ( F  =  ( P  o.  h )  <-> 
F  =  ( P  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
) ) )
90 coeq2 5012 . . . . . . 7  |-  ( h  =  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  ->  ( Q  o.  h
)  =  ( Q  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
) )
9190eqeq2d 2436 . . . . . 6  |-  ( h  =  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  ->  ( G  =  ( Q  o.  h )  <-> 
G  =  ( Q  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
) ) )
9289, 91anbi12d 715 . . . . 5  |-  ( h  =  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  ->  ( ( F  =  ( P  o.  h
)  /\  G  =  ( Q  o.  h
) )  <->  ( F  =  ( P  o.  ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) )  /\  G  =  ( Q  o.  ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) ) ) ) )
9387, 92anbi12d 715 . . . 4  |-  ( h  =  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  ->  ( ( h  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )  <-> 
( ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) )  /\  G  =  ( Q  o.  ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) ) ) ) ) )
9493spcegv 3167 . . 3  |-  ( ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)  e.  ( U  Cn  T )  -> 
( ( ( x  e.  U. U  |->  <.
( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)  e.  ( U  Cn  T )  /\  ( F  =  ( P  o.  ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
)  /\  G  =  ( Q  o.  (
x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) ) ) )  ->  E. h ( h  e.  ( U  Cn  T )  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) ) ) )
956, 86, 94sylc 62 . 2  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  E. h ( h  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
96 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  U. T  =  U. T
971, 96cnf 20260 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  ( U  Cn  T )  ->  h : U. U --> U. T
)
98 cntop2 20255 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( U  Cn  R )  ->  R  e.  Top )
99 cntop2 20255 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( U  Cn  S )  ->  S  e.  Top )
1007, 9txuni 20605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. ( R  tX  S ) )
1014unieqi 4228 . . . . . . . . . 10  |-  U. T  =  U. ( R  tX  S )
102100, 101syl6reqr 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  U. T  =  ( X  X.  Y ) )
10398, 99, 102syl2an 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  U. T  =  ( X  X.  Y ) )
104103feq3d 5734 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( h : U. U
--> U. T  <->  h : U. U --> ( X  X.  Y ) ) )
10597, 104syl5ib 222 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( h  e.  ( U  Cn  T )  ->  h : U. U
--> ( X  X.  Y
) ) )
106105anim1d 566 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( ( h  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h )
) ) ) )
107 3anass 986 . . . . 5  |-  ( ( h : U. U --> ( X  X.  Y
)  /\  F  =  ( P  o.  h
)  /\  G  =  ( Q  o.  h
) )  <->  ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h )
) ) )
108106, 107syl6ibr 230 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( ( h  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
109108alrimiv 1767 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  A. h ( ( h  e.  ( U  Cn  T )  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
110 cntop1 20254 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( U  Cn  R )  ->  U  e.  Top )
111 uniexg 6602 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  Top  ->  U. U  e.  _V )
112110, 111syl 17 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( U  Cn  R )  ->  U. U  e.  _V )
113112adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  U. U  e.  _V )
1148adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  F : U. U --> X )
11510adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  G : U. U --> Y )
11657, 82upxp 20636 . . . . 5  |-  ( ( U. U  e.  _V  /\  F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  E! h ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )
117113, 114, 115, 116syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  E! h ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )
118 eumo 2298 . . . 4  |-  ( E! h ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) )  ->  E* h ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )
119117, 118syl 17 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  E* h ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )
120 moim 2318 . . 3  |-  ( A. h ( ( h  e.  ( U  Cn  T )  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  ( E* h
( h : U. U
--> ( X  X.  Y
)  /\  F  =  ( P  o.  h
)  /\  G  =  ( Q  o.  h
) )  ->  E* h ( h  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) ) ) )
121109, 119, 120sylc 62 . 2  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  E* h ( h  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
122 df-reu 2778 . . 3  |-  ( E! h  e.  ( U  Cn  T ) ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) )  <->  E! h
( h  e.  ( U  Cn  T )  /\  ( F  =  ( P  o.  h
)  /\  G  =  ( Q  o.  h
) ) ) )
123 eu5 2295 . . 3  |-  ( E! h ( h  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )  <-> 
( E. h ( h  e.  ( U  Cn  T )  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h )
) )  /\  E* h ( h  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) ) ) )
124122, 123bitri 252 . 2  |-  ( E! h  e.  ( U  Cn  T ) ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) )  <->  ( E. h ( h  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )  /\  E* h ( h  e.  ( U  Cn  T )  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h )
) ) ) )
12595, 121, 124sylanbrc 668 1  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  E! h  e.  ( U  Cn  T ) ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872   E!weu 2269   E*wmo 2270   E!wreu 2773   _Vcvv 3080    C_ wss 3436   <.cop 4004   U.cuni 4219    |-> cmpt 4482    X. cxp 4851   ran crn 4854    |` cres 4855    o. ccom 4857    Fn wfn 5596   -->wf 5597   -onto->wfo 5599   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   1stc1st 6805   2ndc2nd 6806   Topctop 19915    Cn ccn 20238    tX ctx 20573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-map 7485  df-topgen 15341  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-cn 20241  df-tx 20575
This theorem is referenced by:  txcn  20639
  Copyright terms: Public domain W3C validator