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Theorem uptx 19197
Description: Universal property of the binary topological product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uptx.1  |-  T  =  ( R  tX  S
)
uptx.2  |-  X  = 
U. R
uptx.3  |-  Y  = 
U. S
uptx.4  |-  Z  =  ( X  X.  Y
)
uptx.5  |-  P  =  ( 1st  |`  Z )
uptx.6  |-  Q  =  ( 2nd  |`  Z )
Assertion
Ref Expression
uptx  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  E! h  e.  ( U  Cn  T ) ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )
Distinct variable groups:    h, F    h, G    P, h    Q, h    R, h    T, h    S, h    U, h    h, X   
h, Y
Allowed substitution hint:    Z( h)

Proof of Theorem uptx
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2442 . . . . 5  |-  U. U  =  U. U
2 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. U  |->  <.
( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)  =  ( x  e.  U. U  |->  <.
( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)
31, 2txcnmpt 19196 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. )  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) )
4 uptx.1 . . . . 5  |-  T  =  ( R  tX  S
)
54oveq2i 6101 . . . 4  |-  ( U  Cn  T )  =  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )
63, 5syl6eleqr 2533 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. )  e.  ( U  Cn  T ) )
7 uptx.2 . . . . . 6  |-  X  = 
U. R
81, 7cnf 18849 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( U  Cn  R )  ->  F : U. U --> X )
9 uptx.3 . . . . . 6  |-  Y  = 
U. S
101, 9cnf 18849 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( U  Cn  S )  ->  G : U. U --> Y )
11 ffn 5558 . . . . . . . 8  |-  ( F : U. U --> X  ->  F  Fn  U. U )
1211adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  F  Fn  U. U )
13 fo1st 6595 . . . . . . . . . . 11  |-  1st : _V -onto-> _V
14 fofn 5621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1st
: _V -onto-> _V  ->  1st 
Fn  _V )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  1st  Fn  _V
16 ssv 3375 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  X.  Y )  C_  _V
17 fnssres 5523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st  Fn  _V  /\  ( X  X.  Y
)  C_  _V )  ->  ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )  Fn  ( X  X.  Y ) )
1815, 16, 17mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( 1st  |`  ( X  X.  Y
) )  Fn  ( X  X.  Y )
1918a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )  Fn  ( X  X.  Y
) )
20 ffvelrn 5840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  x  e.  U. U )  ->  ( F `  x )  e.  X )
21 ffvelrn 5840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : U. U --> Y  /\  x  e.  U. U )  ->  ( G `  x )  e.  Y )
22 opelxpi 4870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  X  /\  ( G `  x )  e.  Y )  ->  <. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.  e.  ( X  X.  Y
) )
2320, 21, 22syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  x  e. 
U. U )  /\  ( G : U. U --> Y  /\  x  e.  U. U ) )  ->  <. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.  e.  ( X  X.  Y
) )
2423anandirs 827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  x  e.  U. U )  ->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>.  e.  ( X  X.  Y ) )
2524, 2fmptd 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  (
x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) : U. U --> ( X  X.  Y
) )
26 ffn 5558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) : U. U --> ( X  X.  Y
)  ->  ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  Fn  U. U )
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  (
x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)  Fn  U. U
)
28 frn 5564 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) : U. U --> ( X  X.  Y
)  ->  ran  ( x  e.  U. U  |->  <.
( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)  C_  ( X  X.  Y ) )
2925, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  ran  ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)  C_  ( X  X.  Y ) )
30 fnco 5518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )  Fn  ( X  X.  Y )  /\  (
x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)  Fn  U. U  /\  ran  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  C_  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
)  Fn  U. U
)
3119, 27, 29, 30syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  (
( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
)  Fn  U. U
)
32 fvco3 5767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) : U. U --> ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. U )  ->  (
( ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
) `  z )  =  ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y
) ) `  (
( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) `  z ) ) )
3325, 32sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) ) `  z
)  =  ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) ) `  ( ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. ) `  z ) ) )
34 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
35 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ( G `  x )  =  ( G `  z ) )
3634, 35opeq12d 4066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >.  =  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >. )
37 opex 4555 . . . . . . . . . . 11  |-  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >.  e.  _V
3836, 2, 37fvmpt 5773 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  U. U  -> 
( ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. ) `  z )  =  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >. )
3938adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( ( x  e.  U. U  |->  <.
( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) `  z )  =  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z )
>. )
4039fveq2d 5694 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y
) ) `  (
( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) `  z ) )  =  ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) ) `  <. ( F `  z
) ,  ( G `
 z ) >.
) )
41 ffvelrn 5840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  z  e.  U. U )  ->  ( F `  z )  e.  X )
42 ffvelrn 5840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : U. U --> Y  /\  z  e.  U. U )  ->  ( G `  z )  e.  Y )
43 opelxpi 4870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  X  /\  ( G `  z )  e.  Y )  ->  <. ( F `  z
) ,  ( G `
 z ) >.  e.  ( X  X.  Y
) )
4441, 42, 43syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  z  e. 
U. U )  /\  ( G : U. U --> Y  /\  z  e.  U. U ) )  ->  <. ( F `  z
) ,  ( G `
 z ) >.  e.  ( X  X.  Y
) )
4544anandirs 827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z )
>.  e.  ( X  X.  Y ) )
46 fvres 5703 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
( F `  z
) ,  ( G `
 z ) >.  e.  ( X  X.  Y
)  ->  ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) ) `  <. ( F `  z
) ,  ( G `
 z ) >.
)  =  ( 1st `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z )
>. ) )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y
) ) `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >. )  =  ( 1st `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >. )
)
48 fvex 5700 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 z )  e. 
_V
49 fvex 5700 . . . . . . . . . 10  |-  ( G `
 z )  e. 
_V
5048, 49op1st 6584 . . . . . . . . 9  |-  ( 1st `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z )
>. )  =  ( F `  z )
5147, 50syl6eq 2490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y
) ) `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >. )  =  ( F `  z ) )
5233, 40, 513eqtrrd 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( F `  z )  =  ( ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
) `  z )
)
5312, 31, 52eqfnfvd 5799 . . . . . 6  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  F  =  ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y
) )  o.  (
x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) ) )
54 uptx.5 . . . . . . . 8  |-  P  =  ( 1st  |`  Z )
55 uptx.4 . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( X  X.  Y
)
5655reseq2i 5106 . . . . . . . 8  |-  ( 1st  |`  Z )  =  ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )
5754, 56eqtri 2462 . . . . . . 7  |-  P  =  ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )
5857coeq1i 4998 . . . . . 6  |-  ( P  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
)  =  ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) )
5953, 58syl6eqr 2492 . . . . 5  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  F  =  ( P  o.  ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) ) )
608, 10, 59syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  F  =  ( P  o.  ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) ) )
61 ffn 5558 . . . . . . . 8  |-  ( G : U. U --> Y  ->  G  Fn  U. U )
6261adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  G  Fn  U. U )
63 fo2nd 6596 . . . . . . . . . . 11  |-  2nd : _V -onto-> _V
64 fofn 5621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2nd
: _V -onto-> _V  ->  2nd 
Fn  _V )
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  2nd  Fn  _V
66 fnssres 5523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2nd  Fn  _V  /\  ( X  X.  Y
)  C_  _V )  ->  ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )  Fn  ( X  X.  Y ) )
6765, 16, 66mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( 2nd  |`  ( X  X.  Y
) )  Fn  ( X  X.  Y )
6867a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )  Fn  ( X  X.  Y
) )
69 fnco 5518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )  Fn  ( X  X.  Y )  /\  (
x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)  Fn  U. U  /\  ran  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  C_  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
)  Fn  U. U
)
7068, 27, 29, 69syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  (
( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
)  Fn  U. U
)
71 fvco3 5767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) : U. U --> ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. U )  ->  (
( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
) `  z )  =  ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y
) ) `  (
( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) `  z ) ) )
7225, 71sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) ) `  z
)  =  ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) ) `  ( ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. ) `  z ) ) )
7339fveq2d 5694 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y
) ) `  (
( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) `  z ) )  =  ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) ) `  <. ( F `  z
) ,  ( G `
 z ) >.
) )
74 fvres 5703 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
( F `  z
) ,  ( G `
 z ) >.  e.  ( X  X.  Y
)  ->  ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) ) `  <. ( F `  z
) ,  ( G `
 z ) >.
)  =  ( 2nd `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z )
>. ) )
7545, 74syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y
) ) `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >. )  =  ( 2nd `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >. )
)
7648, 49op2nd 6585 . . . . . . . . 9  |-  ( 2nd `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z )
>. )  =  ( G `  z )
7775, 76syl6eq 2490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y
) ) `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >. )  =  ( G `  z ) )
7872, 73, 773eqtrrd 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( G `  z )  =  ( ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
) `  z )
)
7962, 70, 78eqfnfvd 5799 . . . . . 6  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  G  =  ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y
) )  o.  (
x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) ) )
80 uptx.6 . . . . . . . 8  |-  Q  =  ( 2nd  |`  Z )
8155reseq2i 5106 . . . . . . . 8  |-  ( 2nd  |`  Z )  =  ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )
8280, 81eqtri 2462 . . . . . . 7  |-  Q  =  ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )
8382coeq1i 4998 . . . . . 6  |-  ( Q  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
)  =  ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) )
8479, 83syl6eqr 2492 . . . . 5  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  G  =  ( Q  o.  ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) ) )
858, 10, 84syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  G  =  ( Q  o.  ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) ) )
866, 60, 85jca32 535 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) )  /\  G  =  ( Q  o.  ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) ) ) ) )
87 eleq1 2502 . . . . 5  |-  ( h  =  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  ->  ( h  e.  ( U  Cn  T )  <-> 
( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. )  e.  ( U  Cn  T ) ) )
88 coeq2 4997 . . . . . . 7  |-  ( h  =  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  ->  ( P  o.  h
)  =  ( P  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
) )
8988eqeq2d 2453 . . . . . 6  |-  ( h  =  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  ->  ( F  =  ( P  o.  h )  <-> 
F  =  ( P  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
) ) )
90 coeq2 4997 . . . . . . 7  |-  ( h  =  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  ->  ( Q  o.  h
)  =  ( Q  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
) )
9190eqeq2d 2453 . . . . . 6  |-  ( h  =  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  ->  ( G  =  ( Q  o.  h )  <-> 
G  =  ( Q  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
) ) )
9289, 91anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( h  =  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  ->  ( ( F  =  ( P  o.  h
)  /\  G  =  ( Q  o.  h
) )  <->  ( F  =  ( P  o.  ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) )  /\  G  =  ( Q  o.  ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) ) ) ) )
9387, 92anbi12d 710 . . . 4  |-  ( h  =  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  ->  ( ( h  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )  <-> 
( ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) )  /\  G  =  ( Q  o.  ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) ) ) ) ) )
9493spcegv 3057 . . 3  |-  ( ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)  e.  ( U  Cn  T )  -> 
( ( ( x  e.  U. U  |->  <.
( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)  e.  ( U  Cn  T )  /\  ( F  =  ( P  o.  ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
)  /\  G  =  ( Q  o.  (
x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) ) ) )  ->  E. h ( h  e.  ( U  Cn  T )  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) ) ) )
956, 86, 94sylc 60 . 2  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  E. h ( h  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
96 eqid 2442 . . . . . . . 8  |-  U. T  =  U. T
971, 96cnf 18849 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  ( U  Cn  T )  ->  h : U. U --> U. T
)
98 cntop2 18844 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( U  Cn  R )  ->  R  e.  Top )
99 cntop2 18844 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( U  Cn  S )  ->  S  e.  Top )
1007, 9txuni 19164 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. ( R  tX  S ) )
1014unieqi 4099 . . . . . . . . . 10  |-  U. T  =  U. ( R  tX  S )
102100, 101syl6reqr 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  U. T  =  ( X  X.  Y ) )
10398, 99, 102syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  U. T  =  ( X  X.  Y ) )
104 feq3 5543 . . . . . . . 8  |-  ( U. T  =  ( X  X.  Y )  ->  (
h : U. U --> U. T  <->  h : U. U
--> ( X  X.  Y
) ) )
105103, 104syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( h : U. U
--> U. T  <->  h : U. U --> ( X  X.  Y ) ) )
10697, 105syl5ib 219 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( h  e.  ( U  Cn  T )  ->  h : U. U
--> ( X  X.  Y
) ) )
107106anim1d 564 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( ( h  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h )
) ) ) )
108 3anass 969 . . . . 5  |-  ( ( h : U. U --> ( X  X.  Y
)  /\  F  =  ( P  o.  h
)  /\  G  =  ( Q  o.  h
) )  <->  ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h )
) ) )
109107, 108syl6ibr 227 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( ( h  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
110109alrimiv 1685 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  A. h ( ( h  e.  ( U  Cn  T )  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
111 cntop1 18843 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( U  Cn  R )  ->  U  e.  Top )
112 uniexg 6376 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  Top  ->  U. U  e.  _V )
113111, 112syl 16 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( U  Cn  R )  ->  U. U  e.  _V )
114113adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  U. U  e.  _V )
1158adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  F : U. U --> X )
11610adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  G : U. U --> Y )
11757, 82upxp 19195 . . . . 5  |-  ( ( U. U  e.  _V  /\  F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  E! h ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )
118114, 115, 116, 117syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  E! h ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )
119 eumo 2286 . . . 4  |-  ( E! h ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) )  ->  E* h ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )
120118, 119syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  E* h ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )
121 moim 2319 . . 3  |-  ( A. h ( ( h  e.  ( U  Cn  T )  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  ( E* h
( h : U. U
--> ( X  X.  Y
)  /\  F  =  ( P  o.  h
)  /\  G  =  ( Q  o.  h
) )  ->  E* h ( h  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) ) ) )
122110, 120, 121sylc 60 . 2  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  E* h ( h  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
123 df-reu 2721 . . 3  |-  ( E! h  e.  ( U  Cn  T ) ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) )  <->  E! h
( h  e.  ( U  Cn  T )  /\  ( F  =  ( P  o.  h
)  /\  G  =  ( Q  o.  h
) ) ) )
124 eu5 2283 . . 3  |-  ( E! h ( h  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )  <-> 
( E. h ( h  e.  ( U  Cn  T )  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h )
) )  /\  E* h ( h  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) ) ) )
125123, 124bitri 249 . 2  |-  ( E! h  e.  ( U  Cn  T ) ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) )  <->  ( E. h ( h  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )  /\  E* h ( h  e.  ( U  Cn  T )  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h )
) ) ) )
12695, 122, 125sylanbrc 664 1  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  E! h  e.  ( U  Cn  T ) ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   E!weu 2253   E*wmo 2254   E!wreu 2716   _Vcvv 2971    C_ wss 3327   <.cop 3882   U.cuni 4090    e. cmpt 4349    X. cxp 4837   ran crn 4840    |` cres 4841    o. ccom 4843    Fn wfn 5412   -->wf 5413   -onto->wfo 5415   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   1stc1st 6574   2ndc2nd 6575   Topctop 18497    Cn ccn 18827    tX ctx 19132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-map 7215  df-topgen 14381  df-top 18502  df-bases 18504  df-topon 18505  df-cn 18830  df-tx 19134
This theorem is referenced by:  txcn  19198
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