Theorem upixp 32100

Description: Universal property of the indexed Cartesian product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
upixp.1	|- X = X_ b e. A ( C ` b )
upixp.2	|- P = ( w e. A |-> ( x e. X |-> ( x ` w ) ) )

Assertion

Ref	Expression
upixp	|- ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) -> E! h ( h : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) ) )

Distinct variable groups:   A, a, b, h, w, x   R, a, b, h, w, x   S, a, b, h, w, x   F, a, b, h, w, x   B, a, b, h, w, x   C, a, b, h, w, x   X, a, h, w, x   P, a, h

Allowed substitution hints:   P( x, w, b)   X( b)

Proof of Theorem upixp

Dummy variables s u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptexg 6159	. . 3 |- ( B e. S -> ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) e. _V )
2	1	3ad2ant2 1036	. 2 |- ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) -> ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) e. _V )
3		ffvelrn 6042	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) /\ u e. B ) -> ( ( F ` a ) ` u ) e. ( C ` a ) )
4	3	expcom 441	. . . . . . . . 9 |- ( u e. B -> ( ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) -> ( ( F ` a ) ` u ) e. ( C ` a ) ) )
5	4	ralimdv 2809	. . . . . . . 8 |- ( u e. B -> ( A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) -> A. a e. A ( ( F ` a ) ` u ) e. ( C ` a ) ) )
6	5	impcom 436	. . . . . . 7 |- ( ( A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) /\ u e. B ) -> A. a e. A ( ( F ` a ) ` u ) e. ( C ` a ) )
7	6	3ad2antl3 1178	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ u e. B ) -> A. a e. A ( ( F ` a ) ` u ) e. ( C ` a ) )
8		fveq2 5887	. . . . . . . . 9 |- ( a = s -> ( F ` a ) = ( F ` s ) )
9	8	fveq1d 5889	. . . . . . . 8 |- ( a = s -> ( ( F ` a ) ` u ) = ( ( F ` s ) ` u ) )
10		fveq2 5887	. . . . . . . 8 |- ( a = s -> ( C ` a ) = ( C ` s ) )
11	9, 10	eleq12d 2533	. . . . . . 7 |- ( a = s -> ( ( ( F ` a ) ` u ) e. ( C ` a ) <-> ( ( F ` s ) ` u ) e. ( C ` s ) ) )
12	11	cbvralv 3030	. . . . . 6 |- ( A. a e. A ( ( F ` a ) ` u ) e. ( C ` a ) <-> A. s e. A ( ( F ` s ) ` u ) e. ( C ` s ) )
13	7, 12	sylib 201	. . . . 5 |- ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ u e. B ) -> A. s e. A ( ( F ` s ) ` u ) e. ( C ` s ) )
14		simpl1 1017	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ u e. B ) -> A e. R )
15		mptelixpg 7584	. . . . . 6 |- ( A e. R -> ( ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) e. X_ s e. A ( C ` s ) <-> A. s e. A ( ( F ` s ) ` u ) e. ( C ` s ) ) )
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ u e. B ) -> ( ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) e. X_ s e. A ( C ` s ) <-> A. s e. A ( ( F ` s ) ` u ) e. ( C ` s ) ) )
17	13, 16	mpbird 240	. . . 4 |- ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ u e. B ) -> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) e. X_ s e. A ( C ` s ) )
18		upixp.1	. . . . 5 |- X = X_ b e. A ( C ` b )
19		fveq2 5887	. . . . . 6 |- ( b = s -> ( C ` b ) = ( C ` s ) )
20	19	cbvixpv 7565	. . . . 5 |- X_ b e. A ( C ` b ) = X_ s e. A ( C ` s )
21	18, 20	eqtri 2483	. . . 4 |- X = X_ s e. A ( C ` s )
22	17, 21	syl6eleqr 2550	. . 3 |- ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ u e. B ) -> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) e. X )
23		eqid 2461	. . 3 |- ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) = ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) )
24	22, 23	fmptd 6068	. 2 |- ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) -> ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) : B --> X )
25		nfv 1771	. . . 4 |- F/ a A e. R
26		nfv 1771	. . . 4 |- F/ a B e. S
27		nfra1 2780	. . . 4 |- F/ a A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a )
28	25, 26, 27	nf3an 2023	. . 3 |- F/ a ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) )
29		fveq2 5887	. . . . . . . . 9 |- ( s = a -> ( F ` s ) = ( F ` a ) )
30	29	fveq1d 5889	. . . . . . . 8 |- ( s = a -> ( ( F ` s ) ` u ) = ( ( F ` a ) ` u ) )
31		eqid 2461	. . . . . . . 8 |- ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) = ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) )
32		fvex 5897	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` s ) ` u ) e. _V
33	30, 31, 32	fvmpt3i 5975	. . . . . . 7 |- ( a e. A -> ( ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ` a ) = ( ( F ` a ) ` u ) )
34	33	adantl 472	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ a e. A ) -> ( ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ` a ) = ( ( F ` a ) ` u ) )
35	34	mpteq2dv 4503	. . . . 5 |- ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ a e. A ) -> ( u e. B |-> ( ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ` a ) ) = ( u e. B |-> ( ( F ` a ) ` u ) ) )
36	22	adantlr 726	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ a e. A ) /\ u e. B ) -> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) e. X )
37		eqidd 2462	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ a e. A ) -> ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) = ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) )
38		fveq2 5887	. . . . . . . . 9 |- ( w = a -> ( x ` w ) = ( x ` a ) )
39	38	mpteq2dv 4503	. . . . . . . 8 |- ( w = a -> ( x e. X |-> ( x ` w ) ) = ( x e. X |-> ( x ` a ) ) )
40		upixp.2	. . . . . . . 8 |- P = ( w e. A |-> ( x e. X |-> ( x ` w ) ) )
41		fvex 5897	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C ` b ) e. _V
42	41	rgenw 2760	. . . . . . . . . . 11 |- A. b e. A ( C ` b ) e. _V
43		ixpexg 7571	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. b e. A ( C ` b ) e. _V -> X_ b e. A ( C ` b ) e. _V )
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- X_ b e. A ( C ` b ) e. _V
45	18, 44	eqeltri 2535	. . . . . . . . 9 |- X e. _V
46	45	mptex 6160	. . . . . . . 8 |- ( x e. X |-> ( x ` w ) ) e. _V
47	39, 40, 46	fvmpt3i 5975	. . . . . . 7 |- ( a e. A -> ( P ` a ) = ( x e. X |-> ( x ` a ) ) )
48	47	adantl 472	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ a e. A ) -> ( P ` a ) = ( x e. X |-> ( x ` a ) ) )
49		fveq1 5886	. . . . . 6 |- ( x = ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) -> ( x ` a ) = ( ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ` a ) )
50	36, 37, 48, 49	fmptco 6079	. . . . 5 |- ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ a e. A ) -> ( ( P ` a ) o. ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) ) = ( u e. B |-> ( ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ` a ) ) )
51		rsp 2765	. . . . . . . 8 |- ( A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) -> ( a e. A -> ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) )
52	51	3ad2ant3 1037	. . . . . . 7 |- ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) -> ( a e. A -> ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) )
53	52	imp 435	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ a e. A ) -> ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) )
54	53	feqmptd 5940	. . . . 5 |- ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ a e. A ) -> ( F ` a ) = ( u e. B |-> ( ( F ` a ) ` u ) ) )
55	35, 50, 54	3eqtr4rd 2506	. . . 4 |- ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ a e. A ) -> ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) ) )
56	55	ex 440	. . 3 |- ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) -> ( a e. A -> ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) ) ) )
57	28, 56	ralrimi 2799	. 2 |- ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) -> A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) ) )
58		simprl 769	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ ( h : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) ) ) -> h : B --> X )
59	58	feqmptd 5940	. . . . 5 |- ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ ( h : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) ) ) -> h = ( u e. B |-> ( h ` u ) ) )
60		simplrr 776	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ ( h : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) ) ) /\ u e. B ) -> A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) )
61		fveq2 5887	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = s -> ( P ` a ) = ( P ` s ) )
62	61	coeq1d 5014	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = s -> ( ( P ` a ) o. h ) = ( ( P ` s ) o. h ) )
63	8, 62	eqeq12d 2476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = s -> ( ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) <-> ( F ` s ) = ( ( P ` s ) o. h ) ) )
64	63	rspccva 3160	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) /\ s e. A ) -> ( F ` s ) = ( ( P ` s ) o. h ) )
65	60, 64	sylan 478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ ( h : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) ) ) /\ u e. B ) /\ s e. A ) -> ( F ` s ) = ( ( P ` s ) o. h ) )
66	65	fveq1d 5889	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ ( h : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) ) ) /\ u e. B ) /\ s e. A ) -> ( ( F ` s ) ` u ) = ( ( ( P ` s ) o. h ) ` u ) )
67		fvco3 5964	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( h : B --> X /\ u e. B ) -> ( ( ( P ` s ) o. h ) ` u ) = ( ( P ` s ) ` ( h ` u ) ) )
68	58, 67	sylan 478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ ( h : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) ) ) /\ u e. B ) -> ( ( ( P ` s ) o. h ) ` u ) = ( ( P ` s ) ` ( h ` u ) ) )
69	68	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ ( h : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) ) ) /\ u e. B ) /\ s e. A ) -> ( ( ( P ` s ) o. h ) ` u ) = ( ( P ` s ) ` ( h ` u ) ) )
70		fveq2 5887	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = s -> ( x ` w ) = ( x ` s ) )
71	70	mpteq2dv 4503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = s -> ( x e. X |-> ( x ` w ) ) = ( x e. X |-> ( x ` s ) ) )
72	71, 40, 46	fvmpt3i 5975	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. A -> ( P ` s ) = ( x e. X |-> ( x ` s ) ) )
73	72	adantl 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ ( h : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) ) ) /\ u e. B ) /\ s e. A ) -> ( P ` s ) = ( x e. X |-> ( x ` s ) ) )
74	73	fveq1d 5889	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ ( h : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) ) ) /\ u e. B ) /\ s e. A ) -> ( ( P ` s ) ` ( h ` u ) ) = ( ( x e. X |-> ( x ` s ) ) ` ( h ` u ) ) )
75		ffvelrn 6042	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( h : B --> X /\ u e. B ) -> ( h ` u ) e. X )
76	58, 75	sylan 478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ ( h : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) ) ) /\ u e. B ) -> ( h ` u ) e. X )
77		fveq1 5886	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( h ` u ) -> ( x ` s ) = ( ( h ` u ) ` s ) )
78		eqid 2461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X |-> ( x ` s ) ) = ( x e. X |-> ( x ` s ) )
79		fvex 5897	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x ` s ) e. _V
80	77, 78, 79	fvmpt3i 5975	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( h ` u ) e. X -> ( ( x e. X |-> ( x ` s ) ) ` ( h ` u ) ) = ( ( h ` u ) ` s ) )
81	76, 80	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ ( h : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) ) ) /\ u e. B ) -> ( ( x e. X |-> ( x ` s ) ) ` ( h ` u ) ) = ( ( h ` u ) ` s ) )
82	81	adantr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ ( h : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) ) ) /\ u e. B ) /\ s e. A ) -> ( ( x e. X |-> ( x ` s ) ) ` ( h ` u ) ) = ( ( h ` u ) ` s ) )
83	74, 82	eqtrd 2495	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ ( h : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) ) ) /\ u e. B ) /\ s e. A ) -> ( ( P ` s ) ` ( h ` u ) ) = ( ( h ` u ) ` s ) )
84	66, 69, 83	3eqtrd 2499	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ ( h : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) ) ) /\ u e. B ) /\ s e. A ) -> ( ( F ` s ) ` u ) = ( ( h ` u ) ` s ) )
85	84	mpteq2dva 4502	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ ( h : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) ) ) /\ u e. B ) -> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) = ( s e. A |-> ( ( h ` u ) ` s ) ) )
86	76, 18	syl6eleq 2549	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ ( h : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) ) ) /\ u e. B ) -> ( h ` u ) e. X_ b e. A ( C ` b ) )
87		ixpfn 7553	. . . . . . . . 9 |- ( ( h ` u ) e. X_ b e. A ( C ` b ) -> ( h ` u ) Fn A )
88	86, 87	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ ( h : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) ) ) /\ u e. B ) -> ( h ` u ) Fn A )
89		dffn5 5932	. . . . . . . 8 |- ( ( h ` u ) Fn A <-> ( h ` u ) = ( s e. A |-> ( ( h ` u ) ` s ) ) )
90	88, 89	sylib 201	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ ( h : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) ) ) /\ u e. B ) -> ( h ` u ) = ( s e. A |-> ( ( h ` u ) ` s ) ) )
91	85, 90	eqtr4d 2498	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ ( h : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) ) ) /\ u e. B ) -> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) = ( h ` u ) )
92	91	mpteq2dva 4502	. . . . 5 |- ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ ( h : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) ) ) -> ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) = ( u e. B |-> ( h ` u ) ) )
93	59, 92	eqtr4d 2498	. . . 4 |- ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) /\ ( h : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) ) ) -> h = ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) )
94	93	ex 440	. . 3 |- ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) -> ( ( h : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) ) -> h = ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) ) )
95	94	alrimiv 1783	. 2 |- ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) -> A. h ( ( h : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) ) -> h = ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) ) )
96		feq1 5731	. . . 4 |- ( h = ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) -> ( h : B --> X <-> ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) : B --> X ) )
97		coeq2 5011	. . . . . 6 |- ( h = ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) -> ( ( P ` a ) o. h ) = ( ( P ` a ) o. ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) ) )
98	97	eqeq2d 2471	. . . . 5 |- ( h = ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) -> ( ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) <-> ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) ) ) )
99	98	ralbidv 2838	. . . 4 |- ( h = ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) -> ( A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) <-> A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) ) ) )
100	96, 99	anbi12d 722	. . 3 |- ( h = ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) -> ( ( h : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) ) <-> ( ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) ) ) ) )
101	100	eqeu 3220	. 2 |- ( ( ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) e. _V /\ ( ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) ) ) /\ A. h ( ( h : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) ) -> h = ( u e. B |-> ( s e. A |-> ( ( F ` s ) ` u ) ) ) ) ) -> E! h ( h : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) ) )
102	2, 24, 57, 95, 101	syl121anc 1281	1 |- ( ( A e. R /\ B e. S /\ A. a e. A ( F ` a ) : B --> ( C ` a ) ) -> E! h ( h : B --> X /\ A. a e. A ( F ` a ) = ( ( P ` a ) o. h ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 991   A.wal 1452   = wceq 1454   e. wcel 1897   E!weu 2309   A.wral 2748   _Vcvv 3056   |-> cmpt 4474   o. ccom 4856   Fn wfn 5595   -->wf 5596   ` cfv 5600   X_cixp 7547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-ixp 7548

This theorem is referenced by: (None)