Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  upgredg Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem upgredg 39389
 Description: For each edge in a pseudograph, there are two vertices which are connected by this edge. (Contributed by AV, 4-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
upgredg.v Vtx
upgredg.e Edg
Assertion
Ref Expression
upgredg UPGraph
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem upgredg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 upgredg.e . . . . . . 7 Edg
2 edgaval 39373 . . . . . . 7 UPGraph Edg iEdg
31, 2syl5eq 2517 . . . . . 6 UPGraph iEdg
43eleq2d 2534 . . . . 5 UPGraph iEdg
5 upgredg.v . . . . . . . 8 Vtx
6 eqid 2471 . . . . . . . 8 iEdg iEdg
75, 6upgrf 39332 . . . . . . 7 UPGraph iEdg iEdg
8 frn 5747 . . . . . . 7 iEdg iEdg iEdg
97, 8syl 17 . . . . . 6 UPGraph iEdg
109sseld 3417 . . . . 5 UPGraph iEdg
114, 10sylbid 223 . . . 4 UPGraph
1211imp 436 . . 3 UPGraph
13 fveq2 5879 . . . . . 6
1413breq1d 4405 . . . . 5
1514elrab 3184 . . . 4
16 2nn0 10910 . . . . . . 7
17 hashbnd 12559 . . . . . . 7
1816, 17mp3an2 1378 . . . . . 6
19 hashcl 12576 . . . . . 6
2018, 19syl 17 . . . . 5
21 nn0re 10902 . . . . . . . . 9
22 2re 10701 . . . . . . . . . 10
2322a1i 11 . . . . . . . . 9
2421, 23leloed 9795 . . . . . . . 8
2524adantl 473 . . . . . . 7
26 nn0lt2 11023 . . . . . . . . . . 11
2726ex 441 . . . . . . . . . 10
2827adantl 473 . . . . . . . . 9
29 eldifsn 4088 . . . . . . . . . . . 12
30 hasheq0 12582 . . . . . . . . . . . . . 14
3130adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
32 eqneqall 2654 . . . . . . . . . . . . . . 15
3332com12 31 . . . . . . . . . . . . . 14
3433adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
3531, 34sylbid 223 . . . . . . . . . . . 12
3629, 35sylbi 200 . . . . . . . . . . 11
3736adantr 472 . . . . . . . . . 10
38 hash1snb 12634 . . . . . . . . . . . 12
39 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
40 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4140snelpw 4646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4241biimpri 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4439, 43sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4544com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4645adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4729, 46sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4847imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16
49 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
50 dfsn2 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5149, 50syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5251adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16
53 preq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5453eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
55 preq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5655eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5754, 56rspc2ev 3149 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5848, 48, 52, 57syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15
59 r2ex 2901 . . . . . . . . . . . . . . 15
6058, 59sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14
6160ex 441 . . . . . . . . . . . . 13
6261exlimdv 1787 . . . . . . . . . . . 12
6338, 62sylbid 223 . . . . . . . . . . 11
6463adantr 472 . . . . . . . . . 10
6537, 64jaod 387 . . . . . . . . 9
6628, 65syld 44 . . . . . . . 8
67 hash2sspr 12685 . . . . . . . . . . . . 13
6867ex 441 . . . . . . . . . . . 12
6968adantr 472 . . . . . . . . . . 11
7029, 69sylbi 200 . . . . . . . . . 10
7170, 59syl6ib 234 . . . . . . . . 9
7271adantr 472 . . . . . . . 8
7366, 72jaod 387 . . . . . . 7
7425, 73sylbid 223 . . . . . 6
7574impancom 447 . . . . 5
7620, 75mpd 15 . . . 4
7715, 76sylbi 200 . . 3
7812, 77syl 17 . 2 UPGraph
7978, 59sylibr 217 1 UPGraph
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904   wne 2641  wrex 2757  crab 2760   cdif 3387   wss 3390  c0 3722  cpw 3942  csn 3959  cpr 3961   class class class wbr 4395   cdm 4839   crn 4840  wf 5585  cfv 5589  cfn 7587  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   clt 9693   cle 9694  c2 10681  cn0 10893  chash 12553  Vtxcvtx 39251  iEdgciedg 39252   UPGraph cupgr 39326  Edgcedga 39371 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-upgr 39328  df-edga 39372 This theorem is referenced by:  upgredg2vtx  39392  upgredgpr  39393
 Copyright terms: Public domain W3C validator