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Theorem upgr4cycl4dv4e 40099
 Description: If there is a cycle of length 4 in a pseudograph, there are four (different) vertices in the graph which are mutually connected by edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.) (Revised by AV, 13-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
4cycl4dv4e-av.v Vtx
4cycl4dv4e-av.e Edg
Assertion
Ref Expression
upgr4cycl4dv4e UPGraph CycleS
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,)

Proof of Theorem upgr4cycl4dv4e
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cyclprop 39976 . . 3 CycleS PathS
2 pthis1wlk 39921 . . . . 5 PathS 1Walks
3 4cycl4dv4e-av.e . . . . . . . . . 10 Edg
43upgr1wlkvtxedg 39847 . . . . . . . . 9 UPGraph 1Walks ..^
5 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15
65eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14
76anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . 13 PathS PathS
8 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
9 fzo0to42pr 12029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
108, 9syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
1110raleqdv 2979 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
12 ralunb 3606 . . . . . . . . . . . . . . 15
13 c0ex 9655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
14 1ex 9656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
15 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
16 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
17 0p1e1 10743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1816, 17syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1918fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2015, 19preq12d 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2120eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
22 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
23 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
24 1p1e2 10745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2523, 24syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2625fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2722, 26preq12d 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2827eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2913, 14, 21, 28ralpr 4016 . . . . . . . . . . . . . . . 16
30 2ex 10703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
31 3ex 10707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
32 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
33 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
34 2p1e3 10756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3533, 34syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3635fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3732, 36preq12d 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3837eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
39 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
40 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
41 3p1e4 10758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4240, 41syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4342fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4439, 43preq12d 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4544eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4630, 31, 38, 45ralpr 4016 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4729, 46anbi12i 711 . . . . . . . . . . . . . . 15
4812, 47bitri 257 . . . . . . . . . . . . . 14
4911, 48syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
507, 49anbi12d 725 . . . . . . . . . . . 12 PathS ..^ PathS
51 preq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5251eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5352eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5453anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5554anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5655adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PathS
57 4nn0 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 PathS
59 4cycl4dv4e-av.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Vtx
60 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 iEdg iEdg
6159, 602m1wlk 39820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1Walks Word iEdg
62 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6362feq2d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6463biimpcd 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6564adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word iEdg
662, 61, 653syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 PathS
6766impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 PathS
68 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
69 0nn0 10908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
71 4pos 10727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7368, 70, 723jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
74 fvffz0 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7573, 74sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7675ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 PathS
77 1nn0 10909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
79 1lt4 10804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8168, 78, 803jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
82 fvffz0 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8381, 82sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8483ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 PathS
85 2nn0 10910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
87 2lt4 10803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8968, 86, 883jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
90 fvffz0 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9189, 90sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9291ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 PathS
93 3nn0 10911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
95 3lt4 10802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9768, 94, 963jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
98 fvffz0 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9997, 98sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10099ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 PathS
101 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 PathS
102 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 PathS PathS
103 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
10479, 103mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
105104ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 PathS
106 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 PathS
1078ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 PathS ..^ ..^
108 4nn 10792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
109 lbfzo0 11983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ..^
110108, 109mpbir 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^
111 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^ ..^ ..^ ..^
112110, 111mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ..^ ..^ ..^
113112adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ..^ ..^ ..^
114 pthdadjvtx 39923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 PathS ..^
115113, 114syl3an3 1327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 PathS ..^ ..^
11617eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
117116fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
118117neeq2i 2708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
119115, 118sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 PathS ..^ ..^
120 simp1 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 PathS ..^ ..^ PathS
121 elfzo0 11984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ..^
12285, 108, 87, 121mpbir3an 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ..^
123 2ne0 10724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
124 fzo1fzo0n0 11994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ..^ ..^
125122, 123, 124mpbir2an 934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ..^
126 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ..^ ..^
127125, 126syl5eleqr 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ..^
128 0elfz 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
12957, 128ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
130129, 62syl5eleqr 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
131123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
132127, 130, 1313jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^
133132adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ..^ ..^ ..^
1341333ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 PathS ..^ ..^ ..^
135 pthdivtx 39922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 PathS ..^
136120, 134, 135syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 PathS ..^ ..^
137136necomd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 PathS ..^ ..^
138 elfzo0 11984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ..^
13993, 108, 95, 138mpbir3an 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ..^
140 3ne0 10726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
141 fzo1fzo0n0 11994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ..^ ..^
142139, 140, 141mpbir2an 934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ..^
143142, 126syl5eleqr 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ..^
144140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
145143, 130, 1443jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^
146145adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ..^ ..^ ..^
1471463ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 PathS ..^ ..^ ..^
148 pthdivtx 39922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 PathS ..^
149120, 147, 148syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 PathS ..^ ..^
150149necomd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 PathS ..^ ..^
151119, 137, 1503jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 PathS ..^ ..^
152 elfzo0 11984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ..^
15377, 108, 79, 152mpbir3an 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^
154 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^ ..^ ..^ ..^
155153, 154mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ..^ ..^ ..^
156155adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ..^ ..^ ..^
157 pthdadjvtx 39923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 PathS ..^
158156, 157syl3an3 1327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 PathS ..^ ..^
159 df-2 10690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
160159fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
161160neeq2i 2708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
162158, 161sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 PathS ..^ ..^
163 ax-1ne0 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
164 fzo1fzo0n0 11994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ..^ ..^
165153, 163, 164mpbir2an 934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ..^
166165, 126syl5eleqr 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^
167 3re 10705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
168 4re 10708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
169167, 168, 95ltleii 9775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
170 elfz2nn0 11911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
17193, 57, 169, 170mpbir3an 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
172171, 62syl5eleqr 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
173 1re 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
174 1lt3 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
175173, 174ltneii 9765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
176175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
177166, 172, 1763jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ..^
178177adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ..^ ..^ ..^
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