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Theorem upgr4cycl4dv4e 40099
Description: If there is a cycle of length 4 in a pseudograph, there are four (different) vertices in the graph which are mutually connected by edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.) (Revised by AV, 13-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
4cycl4dv4e-av.v  |-  V  =  (Vtx `  G )
4cycl4dv4e-av.e  |-  E  =  (Edg `  G )
Assertion
Ref Expression
upgr4cycl4dv4e  |-  ( ( G  e. UPGraph  /\  F (CycleS `  G ) P  /\  ( # `  F )  =  4 )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( ( { a ,  b }  e.  E  /\  {
b ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  a }  e.  E ) )  /\  ( ( a  =/=  b  /\  a  =/=  c  /\  a  =/=  d )  /\  (
b  =/=  c  /\  b  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) )
Distinct variable groups:    E, a,
b, c, d    P, a, b, c, d    V, a, b, c, d
Allowed substitution hints:    F( a, b, c, d)    G( a, b, c, d)

Proof of Theorem upgr4cycl4dv4e
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cyclprop 39976 . . 3  |-  ( F (CycleS `  G ) P  ->  ( F (PathS `  G ) P  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) )
2 pthis1wlk 39921 . . . . 5  |-  ( F (PathS `  G ) P  ->  F (1Walks `  G ) P )
3 4cycl4dv4e-av.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  (Edg `  G )
43upgr1wlkvtxedg 39847 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e. UPGraph  /\  F (1Walks `  G ) P )  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  e.  E )
5 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  ( P `  ( # `  F
) )  =  ( P `  4 ) )
65eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  4
) ) )
76anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
( F (PathS `  G ) P  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  <->  ( F
(PathS `  G ) P  /\  ( P ` 
0 )  =  ( P `  4 ) ) ) )
8 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 4 ) )
9 fzo0to42pr 12029 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0..^ 4 )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } )
108, 9syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) )
1110raleqdv 2979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  e.  E 
<-> 
A. k  e.  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  e.  E ) )
12 ralunb 3606 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  ( {
0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) { ( P `  k
) ,  ( P `
 ( k  +  1 ) ) }  e.  E  <->  ( A. k  e.  { 0 ,  1 }  {
( P `  k
) ,  ( P `
 ( k  +  1 ) ) }  e.  E  /\  A. k  e.  { 2 ,  3 }  {
( P `  k
) ,  ( P `
 ( k  +  1 ) ) }  e.  E ) )
13 c0ex 9655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  _V
14 1ex 9656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  _V
15 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
0 ) )
16 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
17 0p1e1 10743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1816, 17syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  1 )
1918fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
1 ) )
2015, 19preq12d 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  0  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
2120eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  0  ->  ( { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  e.  E  <->  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  e.  E ) )
22 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  1  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
1 ) )
23 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
24 1p1e2 10745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  +  1 )  =  2
2523, 24syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  1 )  =  2 )
2625fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  1  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
2 ) )
2722, 26preq12d 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  1  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )
2827eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  1  ->  ( { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  e.  E  <->  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  e.  E ) )
2913, 14, 21, 28ralpr 4016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  { 0 ,  1 }  {
( P `  k
) ,  ( P `
 ( k  +  1 ) ) }  e.  E  <->  ( {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  e.  E  /\  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  e.  E ) )
30 2ex 10703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  _V
31 3ex 10707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  e.  _V
32 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  2  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
2 ) )
33 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  2  ->  (
k  +  1 )  =  ( 2  +  1 ) )
34 2p1e3 10756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  +  1 )  =  3
3533, 34syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  2  ->  (
k  +  1 )  =  3 )
3635fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  2  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
3 ) )
3732, 36preq12d 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  2  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  3 ) } )
3837eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  2  ->  ( { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  e.  E  <->  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  e.  E ) )
39 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  3  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
3 ) )
40 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  3  ->  (
k  +  1 )  =  ( 3  +  1 ) )
41 3p1e4 10758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 3  +  1 )  =  4
4240, 41syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  3  ->  (
k  +  1 )  =  4 )
4342fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  3  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
4 ) )
4439, 43preq12d 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  3  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
3 ) ,  ( P `  4 ) } )
4544eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  3  ->  ( { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  e.  E  <->  { ( P `  3 ) ,  ( P ` 
4 ) }  e.  E ) )
4630, 31, 38, 45ralpr 4016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  { 2 ,  3 }  {
( P `  k
) ,  ( P `
 ( k  +  1 ) ) }  e.  E  <->  ( {
( P `  2
) ,  ( P `
 3 ) }  e.  E  /\  {
( P `  3
) ,  ( P `
 4 ) }  e.  E ) )
4729, 46anbi12i 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. k  e.  {
0 ,  1 }  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  e.  E  /\  A. k  e.  { 2 ,  3 }  {
( P `  k
) ,  ( P `
 ( k  +  1 ) ) }  e.  E )  <->  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  e.  E  /\  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  e.  E )  /\  ( { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  3 ) }  e.  E  /\  { ( P `  3
) ,  ( P `
 4 ) }  e.  E ) ) )
4812, 47bitri 257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  e.  ( {
0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) { ( P `  k
) ,  ( P `
 ( k  +  1 ) ) }  e.  E  <->  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  e.  E  /\  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  e.  E )  /\  ( { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  3 ) }  e.  E  /\  { ( P `  3
) ,  ( P `
 4 ) }  e.  E ) ) )
4911, 48syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  e.  E 
<->  ( ( { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  e.  E  /\  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  e.  E
)  /\  ( {
( P `  2
) ,  ( P `
 3 ) }  e.  E  /\  {
( P `  3
) ,  ( P `
 4 ) }  e.  E ) ) ) )
507, 49anbi12d 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
( ( F (PathS `  G ) P  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  e.  E )  <->  ( ( F (PathS `  G ) P  /\  ( P ` 
0 )  =  ( P `  4 ) )  /\  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  e.  E  /\  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  e.  E )  /\  ( { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  3 ) }  e.  E  /\  { ( P `  3
) ,  ( P `
 4 ) }  e.  E ) ) ) ) )
51 preq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P `  4 )  =  ( P ` 
0 )  ->  { ( P `  3 ) ,  ( P ` 
4 ) }  =  { ( P ` 
3 ) ,  ( P `  0 ) } )
5251eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P `  4 )  =  ( P ` 
0 )  ->  ( { ( P ` 
3 ) ,  ( P `  4 ) }  e.  E  <->  { ( P `  3 ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  E ) )
5352eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
4 )  ->  ( { ( P ` 
3 ) ,  ( P `  4 ) }  e.  E  <->  { ( P `  3 ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  E ) )
5453anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
4 )  ->  (
( { ( P `
 2 ) ,  ( P `  3
) }  e.  E  /\  { ( P ` 
3 ) ,  ( P `  4 ) }  e.  E )  <-> 
( { ( P `
 2 ) ,  ( P `  3
) }  e.  E  /\  { ( P ` 
3 ) ,  ( P `  0 ) }  e.  E ) ) )
5554anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
4 )  ->  (
( ( { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  e.  E  /\  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  e.  E
)  /\  ( {
( P `  2
) ,  ( P `
 3 ) }  e.  E  /\  {
( P `  3
) ,  ( P `
 4 ) }  e.  E ) )  <-> 
( ( { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  e.  E  /\  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  e.  E
)  /\  ( {
( P `  2
) ,  ( P `
 3 ) }  e.  E  /\  {
( P `  3
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) ) ) )
5655adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  4  /\  F (PathS `  G
) P )  /\  ( P `  0 )  =  ( P ` 
4 ) )  -> 
( ( ( { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  e.  E  /\  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  e.  E )  /\  ( { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  3 ) }  e.  E  /\  { ( P `  3
) ,  ( P `
 4 ) }  e.  E ) )  <-> 
( ( { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  e.  E  /\  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  e.  E
)  /\  ( {
( P `  2
) ,  ( P `
 3 ) }  e.  E  /\  {
( P `  3
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) ) ) )
57 4nn0 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  4  e.  NN0
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  F
)  =  4  /\  F (PathS `  G
) P )  -> 
4  e.  NN0 )
59 4cycl4dv4e-av.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  V  =  (Vtx `  G )
60 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (iEdg `  G )  =  (iEdg `  G )
6159, 602m1wlk 39820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F (1Walks `  G ) P  ->  ( F  e. Word  dom  (iEdg `  G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V ) )
62 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... 4 ) )
6362feq2d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  P :
( 0 ... 4
) --> V ) )
6463biimpcd 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( # `  F
)  =  4  ->  P : ( 0 ... 4 ) --> V ) )
6564adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F  e. Word  dom  (iEdg `  G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( ( # `  F )  =  4  ->  P : ( 0 ... 4 ) --> V ) )
662, 61, 653syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F (PathS `  G ) P  ->  ( ( # `  F )  =  4  ->  P : ( 0 ... 4 ) --> V ) )
6766impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  F
)  =  4  /\  F (PathS `  G
) P )  ->  P : ( 0 ... 4 ) --> V )
68 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 4  e.  NN0  ->  4  e. 
NN0 )
69 0nn0 10908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  e.  NN0
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 4  e.  NN0  ->  0  e. 
NN0 )
71 4pos 10727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  <  4
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 4  e.  NN0  ->  0  <  4 )
7368, 70, 723jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 4  e.  NN0  ->  ( 4  e.  NN0  /\  0  e.  NN0  /\  0  <  4 ) )
74 fvffz0 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 4  e.  NN0  /\  0  e.  NN0  /\  0  <  4 )  /\  P : ( 0 ... 4 ) --> V )  ->  ( P ` 
0 )  e.  V
)
7573, 74sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 4  e.  NN0  /\  P : ( 0 ... 4 ) --> V )  ->  ( P ` 
0 )  e.  V
)
7675ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  =  4  /\  F (PathS `  G ) P )  /\  ( 4  e. 
NN0  /\  P :
( 0 ... 4
) --> V ) )  /\  ( ( { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  e.  E  /\  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  e.  E )  /\  ( { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  3 ) }  e.  E  /\  { ( P `  3
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) ) )  ->  ( P `  0 )  e.  V )
77 1nn0 10909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  NN0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 4  e.  NN0  ->  1  e. 
NN0 )
79 1lt4 10804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  <  4
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 4  e.  NN0  ->  1  <  4 )
8168, 78, 803jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 4  e.  NN0  ->  ( 4  e.  NN0  /\  1  e.  NN0  /\  1  <  4 ) )
82 fvffz0 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 4  e.  NN0  /\  1  e.  NN0  /\  1  <  4 )  /\  P : ( 0 ... 4 ) --> V )  ->  ( P ` 
1 )  e.  V
)
8381, 82sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 4  e.  NN0  /\  P : ( 0 ... 4 ) --> V )  ->  ( P ` 
1 )  e.  V
)
8483ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  =  4  /\  F (PathS `  G ) P )  /\  ( 4  e. 
NN0  /\  P :
( 0 ... 4
) --> V ) )  /\  ( ( { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  e.  E  /\  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  e.  E )  /\  ( { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  3 ) }  e.  E  /\  { ( P `  3
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) ) )  ->  ( P `  1 )  e.  V )
85 2nn0 10910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  2  e.  NN0
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 4  e.  NN0  ->  2  e. 
NN0 )
87 2lt4 10803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  2  <  4
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 4  e.  NN0  ->  2  <  4 )
8968, 86, 883jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 4  e.  NN0  ->  ( 4  e.  NN0  /\  2  e.  NN0  /\  2  <  4 ) )
90 fvffz0 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( 4  e.  NN0  /\  2  e.  NN0  /\  2  <  4 )  /\  P : ( 0 ... 4 ) --> V )  ->  ( P ` 
2 )  e.  V
)
9189, 90sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 4  e.  NN0  /\  P : ( 0 ... 4 ) --> V )  ->  ( P ` 
2 )  e.  V
)
9291ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  =  4  /\  F (PathS `  G ) P )  /\  ( 4  e. 
NN0  /\  P :
( 0 ... 4
) --> V ) )  /\  ( ( { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  e.  E  /\  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  e.  E )  /\  ( { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  3 ) }  e.  E  /\  { ( P `  3
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) ) )  ->  ( P `  2 )  e.  V )
93 3nn0 10911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  3  e.  NN0
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 4  e.  NN0  ->  3  e. 
NN0 )
95 3lt4 10802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  3  <  4
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 4  e.  NN0  ->  3  <  4 )
9768, 94, 963jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 4  e.  NN0  ->  ( 4  e.  NN0  /\  3  e.  NN0  /\  3  <  4 ) )
98 fvffz0 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( 4  e.  NN0  /\  3  e.  NN0  /\  3  <  4 )  /\  P : ( 0 ... 4 ) --> V )  ->  ( P ` 
3 )  e.  V
)
9997, 98sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 4  e.  NN0  /\  P : ( 0 ... 4 ) --> V )  ->  ( P ` 
3 )  e.  V
)
10099ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  =  4  /\  F (PathS `  G ) P )  /\  ( 4  e. 
NN0  /\  P :
( 0 ... 4
) --> V ) )  /\  ( ( { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  e.  E  /\  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  e.  E )  /\  ( { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  3 ) }  e.  E  /\  { ( P `  3
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) ) )  ->  ( P `  3 )  e.  V )
101 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  =  4  /\  F (PathS `  G ) P )  /\  ( 4  e. 
NN0  /\  P :
( 0 ... 4
) --> V ) )  /\  ( ( { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  e.  E  /\  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  e.  E )  /\  ( { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  3 ) }  e.  E  /\  { ( P `  3
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) ) )  ->  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  e.  E  /\  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  e.  E )  /\  ( { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  3 ) }  e.  E  /\  { ( P `  3
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) ) )
102 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  4  /\  F (PathS `  G
) P )  /\  ( 4  e.  NN0  /\  P : ( 0 ... 4 ) --> V ) )  ->  F
(PathS `  G ) P )
103 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
1  <  ( # `  F
)  <->  1  <  4
) )
10479, 103mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  1  <  ( # `  F
) )
105104ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  4  /\  F (PathS `  G
) P )  /\  ( 4  e.  NN0  /\  P : ( 0 ... 4 ) --> V ) )  ->  1  <  ( # `  F
) )
106 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  4  /\  F (PathS `  G
) P )  /\  ( 4  e.  NN0  /\  P : ( 0 ... 4 ) --> V ) )  ->  ( # `
 F )  =  4 )
1078ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  4  /\  F (PathS `  G
) P )  /\  ( 4  e.  NN0  /\  P : ( 0 ... 4 ) --> V ) )  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 4 ) )
108 4nn 10792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  4  e.  NN
109 lbfzo0 11983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 4 )  <->  4  e.  NN )
110108, 109mpbir 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  0  e.  ( 0..^ 4 )
111 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 4 )  -> 
( 0  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  <->  0  e.  ( 0..^ 4 ) ) )
112110, 111mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 4 )  -> 
0  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
113112adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  F
)  =  4  /\  ( 0..^ ( # `  F ) )  =  ( 0..^ 4 ) )  ->  0  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
114 pthdadjvtx 39923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F (PathS `  G
) P  /\  1  <  ( # `  F
)  /\  0  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( P `  0
)  =/=  ( P `
 ( 0  +  1 ) ) )
115113, 114syl3an3 1327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( F (PathS `  G
) P  /\  1  <  ( # `  F
)  /\  ( ( # `
 F )  =  4  /\  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 4 ) ) )  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  (
0  +  1 ) ) )
11617eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  1  =  ( 0  +  1 )
117116fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( P `
 1 )  =  ( P `  (
0  +  1 ) )
118117neeq2i 2708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
1 )  <->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  (
0  +  1 ) ) )
119115, 118sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F (PathS `  G
) P  /\  1  <  ( # `  F
)  /\  ( ( # `
 F )  =  4  /\  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 4 ) ) )  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  1
) )
120 simp1 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F (PathS `  G
) P  /\  1  <  ( # `  F
)  /\  ( ( # `
 F )  =  4  /\  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 4 ) ) )  ->  F (PathS `  G ) P )
121 elfzo0 11984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( 2  e.  ( 0..^ 4 )  <->  ( 2  e. 
NN0  /\  4  e.  NN  /\  2  <  4
) )
12285, 108, 87, 121mpbir3an 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  2  e.  ( 0..^ 4 )
123 2ne0 10724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  2  =/=  0
124 fzo1fzo0n0 11994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( 2  e.  ( 1..^ 4 )  <->  ( 2  e.  ( 0..^ 4 )  /\  2  =/=  0
) )
125122, 123, 124mpbir2an 934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  2  e.  ( 1..^ 4 )
126 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
1..^ ( # `  F
) )  =  ( 1..^ 4 ) )
127125, 126syl5eleqr 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  2  e.  ( 1..^ ( # `  F ) ) )
128 0elfz 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( 4  e.  NN0  ->  0  e.  ( 0 ... 4
) )
12957, 128ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  0  e.  ( 0 ... 4
)
130129, 62syl5eleqr 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  0  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
131123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  2  =/=  0 )
132127, 130, 1313jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
2  e.  ( 1..^ ( # `  F
) )  /\  0  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  2  =/=  0
) )
133132adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  F
)  =  4  /\  ( 0..^ ( # `  F ) )  =  ( 0..^ 4 ) )  ->  ( 2  e.  ( 1..^ (
# `  F )
)  /\  0  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  2  =/=  0
) )
1341333ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F (PathS `  G
) P  /\  1  <  ( # `  F
)  /\  ( ( # `
 F )  =  4  /\  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 4 ) ) )  ->  ( 2  e.  ( 1..^ (
# `  F )
)  /\  0  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  2  =/=  0
) )
135 pthdivtx 39922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F (PathS `  G
) P  /\  (
2  e.  ( 1..^ ( # `  F
) )  /\  0  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  2  =/=  0
) )  ->  ( P `  2 )  =/=  ( P `  0
) )
136120, 134, 135syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( F (PathS `  G
) P  /\  1  <  ( # `  F
)  /\  ( ( # `
 F )  =  4  /\  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 4 ) ) )  ->  ( P `  2 )  =/=  ( P `  0
) )
137136necomd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F (PathS `  G
) P  /\  1  <  ( # `  F
)  /\  ( ( # `
 F )  =  4  /\  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 4 ) ) )  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
) )
138 elfzo0 11984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( 3  e.  ( 0..^ 4 )  <->  ( 3  e. 
NN0  /\  4  e.  NN  /\  3  <  4
) )
13993, 108, 95, 138mpbir3an 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  3  e.  ( 0..^ 4 )
140 3ne0 10726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  3  =/=  0
141 fzo1fzo0n0 11994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( 3  e.  ( 1..^ 4 )  <->  ( 3  e.  ( 0..^ 4 )  /\  3  =/=  0
) )
142139, 140, 141mpbir2an 934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  3  e.  ( 1..^ 4 )
143142, 126syl5eleqr 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  3  e.  ( 1..^ ( # `  F ) ) )
144140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  3  =/=  0 )
145143, 130, 1443jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
3  e.  ( 1..^ ( # `  F
) )  /\  0  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  3  =/=  0
) )
146145adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  F
)  =  4  /\  ( 0..^ ( # `  F ) )  =  ( 0..^ 4 ) )  ->  ( 3  e.  ( 1..^ (
# `  F )
)  /\  0  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  3  =/=  0
) )
1471463ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F (PathS `  G
) P  /\  1  <  ( # `  F
)  /\  ( ( # `
 F )  =  4  /\  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 4 ) ) )  ->  ( 3  e.  ( 1..^ (
# `  F )
)  /\  0  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  3  =/=  0
) )
148 pthdivtx 39922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F (PathS `  G
) P  /\  (
3  e.  ( 1..^ ( # `  F
) )  /\  0  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  3  =/=  0
) )  ->  ( P `  3 )  =/=  ( P `  0
) )
149120, 147, 148syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( F (PathS `  G
) P  /\  1  <  ( # `  F
)  /\  ( ( # `
 F )  =  4  /\  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 4 ) ) )  ->  ( P `  3 )  =/=  ( P `  0
) )
150149necomd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F (PathS `  G
) P  /\  1  <  ( # `  F
)  /\  ( ( # `
 F )  =  4  /\  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 4 ) ) )  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  3
) )
151119, 137, 1503jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F (PathS `  G
) P  /\  1  <  ( # `  F
)  /\  ( ( # `
 F )  =  4  /\  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 4 ) ) )  ->  ( ( P `  0 )  =/=  ( P `  1
)  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  3
) ) )
152 elfzo0 11984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( 1  e.  ( 0..^ 4 )  <->  ( 1  e. 
NN0  /\  4  e.  NN  /\  1  <  4
) )
15377, 108, 79, 152mpbir3an 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  1  e.  ( 0..^ 4 )
154 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 4 )  -> 
( 1  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  <->  1  e.  ( 0..^ 4 ) ) )
155153, 154mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 4 )  -> 
1  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
156155adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  F
)  =  4  /\  ( 0..^ ( # `  F ) )  =  ( 0..^ 4 ) )  ->  1  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
157 pthdadjvtx 39923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F (PathS `  G
) P  /\  1  <  ( # `  F
)  /\  1  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( P `  1
)  =/=  ( P `
 ( 1  +  1 ) ) )
158156, 157syl3an3 1327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( F (PathS `  G
) P  /\  1  <  ( # `  F
)  /\  ( ( # `
 F )  =  4  /\  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 4 ) ) )  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P `  (
1  +  1 ) ) )
159 df-2 10690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  2  =  ( 1  +  1 )
160159fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( P `
 2 )  =  ( P `  (
1  +  1 ) )
161160neeq2i 2708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
2 )  <->  ( P `  1 )  =/=  ( P `  (
1  +  1 ) ) )
162158, 161sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F (PathS `  G
) P  /\  1  <  ( # `  F
)  /\  ( ( # `
 F )  =  4  /\  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 4 ) ) )  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) )
163 ax-1ne0 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  1  =/=  0
164 fzo1fzo0n0 11994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( 1  e.  ( 1..^ 4 )  <->  ( 1  e.  ( 0..^ 4 )  /\  1  =/=  0
) )
165153, 163, 164mpbir2an 934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  1  e.  ( 1..^ 4 )
166165, 126syl5eleqr 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  1  e.  ( 1..^ ( # `  F ) ) )
167 3re 10705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  3  e.  RR
168 4re 10708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  4  e.  RR
169167, 168, 95ltleii 9775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  3  <_  4
170 elfz2nn0 11911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( 3  e.  ( 0 ... 4 )  <->  ( 3  e.  NN0  /\  4  e.  NN0  /\  3  <_ 
4 ) )
17193, 57, 169, 170mpbir3an 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  3  e.  ( 0 ... 4
)
172171, 62syl5eleqr 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  3  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
173 1re 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  1  e.  RR
174 1lt3 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  1  <  3
175173, 174ltneii 9765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  1  =/=  3
176175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  1  =/=  3 )
177166, 172, 1763jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
1  e.  ( 1..^ ( # `  F
) )  /\  3  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  1  =/=  3
) )
178177adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  F
)  =  4  /\  ( 0..^ ( # `  F ) )  =  ( 0..^ 4 ) )  ->  ( 1  e.  ( 1..^ (
# `  F )
)  /\  3  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  1  =/=  3
) )
1791783ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( F (PathS `  G
) P  /\  1  <  ( # `  F
)  /\  ( ( # `
 F )  =  4  /\  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 4 ) ) )  ->  ( 1  e.  ( 1..^ (
# `  F )
)  /\  3  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  1  =/=  3
) )
180 pthdivtx 39922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( F (PathS `  G
) P  /\  (
1  e.  ( 1..^ ( # `  F
) )  /\  3  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) )  /\  1  =/=  3
) )  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P `  3
) )
181120, 179, 180syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F (PathS `  G
) P  /\  1  <  ( # `  F
)  /\  ( ( # `
 F )  =  4  /\  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 4 ) ) )  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P `  3
) )
182 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 4 )  -> 
( 2  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  <->  2  e.  ( 0..^ 4 ) ) )
183122, 182mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 4 )  -> 
2  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
184183adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  F
)  =  4  /\  ( 0..^ ( # `  F ) )  =  ( 0..^ 4 ) )  ->  2  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
185 pthdadjvtx 39923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F (PathS `  G
) P  /\  1  <  ( # `  F
)  /\  2  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( P `  2
)  =/=  ( P `
 ( 2  +  1 ) ) )
186184, 185syl3an3 1327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( F (PathS `  G
) P  /\  1  <  ( # `  F
)  /\  ( ( # `
 F )  =  4  /\  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 4 ) ) )  ->  ( P `  2 )  =/=  ( P `  (
2  +  1 ) ) )
187 df-3 10691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  3  =  ( 2  +  1 )
188187fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( P `
 3 )  =  ( P `  (
2  +  1 ) )
189188neeq2i 2708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( P `  2 )  =/=  ( P ` 
3 )  <->  ( P `  2 )  =/=  ( P `  (
2  +  1 ) ) )
190186, 189sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F (PathS `  G
) P  /\  1  <  ( # `  F
)  /\  ( ( # `
 F )  =  4  /\  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 4 ) ) )  ->  ( P `  2 )  =/=  ( P `  3
) )
191162, 181, 1903jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F (PathS `  G
) P  /\  1  <  ( # `  F
)  /\  ( ( # `
 F )  =  4  /\  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 4 ) ) )  ->  ( ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  3
)  /\  ( P `  2 )  =/=  ( P `  3
) ) )
192151, 191jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F (PathS `  G
) P  /\  1  <  ( # `  F
)  /\  ( ( # `
 F )  =  4  /\  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 4 ) ) )  ->  ( (
( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 )  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
2 )  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  3
) )  /\  (
( P `  1
)  =/=  ( P `
 2 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
3 )  /\  ( P `  2 )  =/=  ( P `  3
) ) ) )
193102, 105, 106, 107, 192syl112anc 1296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  4  /\  F (PathS `  G
) P )  /\  ( 4  e.  NN0  /\  P : ( 0 ... 4 ) --> V ) )  ->  (
( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  0
)  =/=  ( P `
 2 )  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
3 ) )  /\  ( ( P ` 
1 )  =/=  ( P `  2 )  /\  ( P `  1
)  =/=  ( P `
 3 )  /\  ( P `  2 )  =/=  ( P ` 
3 ) ) ) )
194193adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  =  4  /\  F (PathS `  G ) P )  /\  ( 4  e. 
NN0  /\  P :
( 0 ... 4
) --> V ) )  /\  ( ( { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  e.  E  /\  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  e.  E )  /\  ( { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  3 ) }  e.  E  /\  { ( P `  3
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) ) )  ->  ( (
( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 )  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
2 )  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  3
) )  /\  (
( P `  1
)  =/=  ( P `
 2 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
3 )  /\  ( P `  2 )  =/=  ( P `  3
) ) ) )
195 preq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( c  =  ( P ` 
2 )  ->  { ( P `  1 ) ,  c }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )
196195eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( c  =  ( P ` 
2 )  ->  ( { ( P ` 
1 ) ,  c }  e.  E  <->  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  e.  E ) )
197196anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( c  =  ( P ` 
2 )  ->  (
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  e.  E  /\  { ( P ` 
1 ) ,  c }  e.  E )  <-> 
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  e.  E  /\  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }  e.  E ) ) )
198 preq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( c  =  ( P ` 
2 )  ->  { c ,  d }  =  { ( P ` 
2 ) ,  d } )
199198eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( c  =  ( P ` 
2 )  ->  ( { c ,  d }  e.  E  <->  { ( P `  2 ) ,  d }  e.  E ) )
200199anbi1d 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( c  =  ( P ` 
2 )  ->  (
( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  ( P `  0 ) }  e.  E )  <-> 
( { ( P `
 2 ) ,  d }  e.  E  /\  { d ,  ( P `  0 ) }  e.  E ) ) )
201197, 200anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( c  =  ( P ` 
2 )  ->  (
( ( { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  e.  E  /\  { ( P `
 1 ) ,  c }  e.  E
)  /\  ( {
c ,  d }  e.  E  /\  {
d ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) )  <-> 
( ( { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  e.  E  /\  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  e.  E
)  /\  ( {
( P `  2
) ,  d }  e.  E  /\  {
d ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) ) ) )
202 neeq2 2706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( c  =  ( P ` 
2 )  ->  (
( P `  0
)  =/=  c  <->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
) ) )
2032023anbi2d 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( c  =  ( P ` 
2 )  ->  (
( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  0
)  =/=  c  /\  ( P `  0 )  =/=  d )  <->  ( ( P `  0 )  =/=  ( P `  1
)  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  0 )  =/=  d ) ) )
204 neeq2 2706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( c  =  ( P ` 
2 )  ->  (
( P `  1
)  =/=  c  <->  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) )
205 neeq1 2705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( c  =  ( P ` 
2 )  ->  (
c  =/=  d  <->  ( P `  2 )  =/=  d ) )
206204, 2053anbi13d 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( c  =  ( P ` 
2 )  ->  (
( ( P ` 
1 )  =/=  c  /\  ( P `  1
)  =/=  d  /\  c  =/=  d )  <->  ( ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  1 )  =/=  d  /\  ( P `
 2 )  =/=  d ) ) )
207203, 206anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( c  =  ( P ` 
2 )  ->  (
( ( ( P `
 0 )  =/=  ( P `  1
)  /\  ( P `  0 )  =/=  c  /\  ( P `
 0 )  =/=  d )  /\  (
( P `  1
)  =/=  c  /\  ( P `  1 )  =/=  d  /\  c  =/=  d ) )  <->  ( (
( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 )  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
2 )  /\  ( P `  0 )  =/=  d )  /\  (
( P `  1
)  =/=  ( P `
 2 )  /\  ( P `  1 )  =/=  d  /\  ( P `  2 )  =/=  d ) ) ) )
208201, 207anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( c  =  ( P ` 
2 )  ->  (
( ( ( { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  e.  E  /\  {
( P `  1
) ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) )  /\  ( ( ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
1 )  /\  ( P `  0 )  =/=  c  /\  ( P `  0 )  =/=  d )  /\  (
( P `  1
)  =/=  c  /\  ( P `  1 )  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) )  <-> 
( ( ( { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  e.  E  /\  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  e.  E )  /\  ( { ( P ` 
2 ) ,  d }  e.  E  /\  { d ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) )  /\  ( ( ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
1 )  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  0 )  =/=  d )  /\  (
( P `  1
)  =/=  ( P `
 2 )  /\  ( P `  1 )  =/=  d  /\  ( P `  2 )  =/=  d ) ) ) ) )
209 preq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( d  =  ( P ` 
3 )  ->  { ( P `  2 ) ,  d }  =  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  3 ) } )
210209eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( d  =  ( P ` 
3 )  ->  ( { ( P ` 
2 ) ,  d }  e.  E  <->  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  e.  E ) )
211 preq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( d  =  ( P ` 
3 )  ->  { d ,  ( P ` 
0 ) }  =  { ( P ` 
3 ) ,  ( P `  0 ) } )
212211eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( d  =  ( P ` 
3 )  ->  ( { d ,  ( P `  0 ) }  e.  E  <->  { ( P `  3 ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  E ) )
213210, 212anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( d  =  ( P ` 
3 )  ->  (
( { ( P `
 2 ) ,  d }  e.  E  /\  { d ,  ( P `  0 ) }  e.  E )  <-> 
( { ( P `
 2 ) ,  ( P `  3
) }  e.  E  /\  { ( P ` 
3 ) ,  ( P `  0 ) }  e.  E ) ) )
214213anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( d  =  ( P ` 
3 )  ->  (
( ( { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  e.  E  /\  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  e.  E
)  /\  ( {
( P `  2
) ,  d }  e.  E  /\  {
d ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) )  <-> 
( ( { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  e.  E  /\  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  e.  E
)  /\  ( {
( P `  2
) ,  ( P `
 3 ) }  e.  E  /\  {
( P `  3
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) ) ) )
215 neeq2 2706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( d  =  ( P ` 
3 )  ->  (
( P `  0
)  =/=  d  <->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  3
) ) )
2162153anbi3d 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( d  =  ( P ` 
3 )  ->  (
( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  0
)  =/=  ( P `
 2 )  /\  ( P `  0 )  =/=  d )  <->  ( ( P `  0 )  =/=  ( P `  1
)  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  3
) ) ) )
217 neeq2 2706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( d  =  ( P ` 
3 )  ->  (
( P `  1
)  =/=  d  <->  ( P `  1 )  =/=  ( P `  3
) ) )
218 neeq2 2706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( d  =  ( P ` 
3 )  ->  (
( P `  2
)  =/=  d  <->  ( P `  2 )  =/=  ( P `  3
) ) )
219217, 2183anbi23d 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( d  =  ( P ` 
3 )  ->  (
( ( P ` 
1 )  =/=  ( P `  2 )  /\  ( P `  1
)  =/=  d  /\  ( P `  2 )  =/=  d )  <->  ( ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  3
)  /\  ( P `  2 )  =/=  ( P `  3
) ) ) )
220216, 219anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( d  =  ( P ` 
3 )  ->  (
( ( ( P `
 0 )  =/=  ( P `  1
)  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  0 )  =/=  d )  /\  (
( P `  1
)  =/=  ( P `
 2 )  /\  ( P `  1 )  =/=  d  /\  ( P `  2 )  =/=  d ) )  <->  ( (
( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 )  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
2 )  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  3
) )  /\  (
( P `  1
)  =/=  ( P `
 2 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
3 )  /\  ( P `  2 )  =/=  ( P `  3
) ) ) ) )
221214, 220anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( d  =  ( P ` 
3 )  ->  (
( ( ( { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  e.  E  /\  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  e.  E )  /\  ( { ( P ` 
2 ) ,  d }  e.  E  /\  { d ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) )  /\  ( ( ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
1 )  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  0 )  =/=  d )  /\  (
( P `  1
)  =/=  ( P `
 2 )  /\  ( P `  1 )  =/=  d  /\  ( P `  2 )  =/=  d ) ) )  <-> 
( ( ( { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  e.  E  /\  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  e.  E )  /\  ( { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  3 ) }  e.  E  /\  { ( P `  3
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) )  /\  ( ( ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
1 )  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  3
) )  /\  (
( P `  1
)  =/=  ( P `
 2 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
3 )  /\  ( P `  2 )  =/=  ( P `  3
) ) ) ) ) )
222208, 221rspc2ev 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P `  2
)  e.  V  /\  ( P `  3 )  e.  V  /\  (
( ( { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  e.  E  /\  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  e.  E
)  /\  ( {
( P `  2
) ,  ( P `
 3 ) }  e.  E  /\  {
( P `  3
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) )  /\  ( ( ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
1 )  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  3
) )  /\  (
( P `  1
)  =/=  ( P `
 2 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
3 )  /\  ( P `  2 )  =/=  ( P `  3
) ) ) ) )  ->  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( (
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  e.  E  /\  { ( P ` 
1 ) ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  ( P `  0
) }  e.  E
) )  /\  (
( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  0
)  =/=  c  /\  ( P `  0 )  =/=  d )  /\  ( ( P ` 
1 )  =/=  c  /\  ( P `  1
)  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) )
22392, 100, 101, 194, 222syl112anc 1296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  =  4  /\  F (PathS `  G ) P )  /\  ( 4  e. 
NN0  /\  P :
( 0 ... 4
) --> V ) )  /\  ( ( { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  e.  E  /\  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  e.  E )  /\  ( { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  3 ) }  e.  E  /\  { ( P `  3
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) ) )  ->  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( (
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  e.  E  /\  { ( P ` 
1 ) ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  ( P `  0
) }  e.  E
) )  /\  (
( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  0
)  =/=  c  /\  ( P `  0 )  =/=  d )  /\  ( ( P ` 
1 )  =/=  c  /\  ( P `  1
)  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) )
22476, 84, 2233jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  =  4  /\  F (PathS `  G ) P )  /\  ( 4  e. 
NN0  /\  P :
( 0 ... 4
) --> V ) )  /\  ( ( { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  e.  E  /\  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  e.  E )  /\  ( { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  3 ) }  e.  E  /\  { ( P `  3
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) ) )  ->  ( ( P `  0 )  e.  V  /\  ( P `  1 )  e.  V  /\  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( (
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  e.  E  /\  { ( P ` 
1 ) ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  ( P `  0
) }  e.  E
) )  /\  (
( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  0
)  =/=  c  /\  ( P `  0 )  =/=  d )  /\  ( ( P ` 
1 )  =/=  c  /\  ( P `  1
)  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) ) )
225224exp31 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  F
)  =  4  /\  F (PathS `  G
) P )  -> 
( ( 4  e. 
NN0  /\  P :
( 0 ... 4
) --> V )  -> 
( ( ( { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  e.  E  /\  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  e.  E )  /\  ( { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  3 ) }  e.  E  /\  { ( P `  3
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) )  ->  ( ( P `
 0 )  e.  V  /\  ( P `
 1 )  e.  V  /\  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( (
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  e.  E  /\  { ( P ` 
1 ) ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  ( P `  0
) }  e.  E
) )  /\  (
( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  0
)  =/=  c  /\  ( P `  0 )  =/=  d )  /\  ( ( P ` 
1 )  =/=  c  /\  ( P `  1
)  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) ) ) ) )
22658, 67, 225mp2and 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  F
)  =  4  /\  F (PathS `  G
) P )  -> 
( ( ( { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  e.  E  /\  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  e.  E )  /\  ( { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  3 ) }  e.  E  /\  { ( P `  3
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) )  ->  ( ( P `
 0 )  e.  V  /\  ( P `
 1 )  e.  V  /\  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( (
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  e.  E  /\  { ( P ` 
1 ) ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  ( P `  0
) }  e.  E
) )  /\  (
( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  0
)  =/=  c  /\  ( P `  0 )  =/=  d )  /\  ( ( P ` 
1 )  =/=  c  /\  ( P `  1
)  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) ) ) )
227226adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  4  /\  F (PathS `  G
) P )  /\  ( P `  0 )  =  ( P ` 
4 ) )  -> 
( ( ( { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  e.  E  /\  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  e.  E )  /\  ( { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  3 ) }  e.  E  /\  { ( P `  3
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) )  ->  ( ( P `
 0 )  e.  V  /\  ( P `
 1 )  e.  V  /\  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( (
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  e.  E  /\  { ( P ` 
1 ) ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  ( P `  0
) }  e.  E
) )  /\  (
( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  0
)  =/=  c  /\  ( P `  0 )  =/=  d )  /\  ( ( P ` 
1 )  =/=  c  /\  ( P `  1
)  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) ) ) )
22856, 227sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  4  /\  F (PathS `  G
) P )  /\  ( P `  0 )  =  ( P ` 
4 ) )  -> 
( ( ( { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  e.  E  /\  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  e.  E )  /\  ( { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  3 ) }  e.  E  /\  { ( P `  3
) ,  ( P `
 4 ) }  e.  E ) )  ->  ( ( P `
 0 )  e.  V  /\  ( P `
 1 )  e.  V  /\  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( (
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  e.  E  /\  { ( P ` 
1 ) ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  ( P `  0
) }  e.  E
) )  /\  (
( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  0
)  =/=  c  /\  ( P `  0 )  =/=  d )  /\  ( ( P ` 
1 )  =/=  c  /\  ( P `  1
)  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) ) ) )
229228exp31 615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  ( F (PathS `  G ) P  ->  ( ( P `
 0 )  =  ( P `  4
)  ->  ( (
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  e.  E  /\  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }  e.  E )  /\  ( { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  e.  E  /\  { ( P `
 3 ) ,  ( P `  4
) }  e.  E
) )  ->  (
( P `  0
)  e.  V  /\  ( P `  1 )  e.  V  /\  E. c  e.  V  E. d  e.  V  (
( ( { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  e.  E  /\  { ( P `
 1 ) ,  c }  e.  E
)  /\  ( {
c ,  d }  e.  E  /\  {
d ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) )  /\  ( ( ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
1 )  /\  ( P `  0 )  =/=  c  /\  ( P `  0 )  =/=  d )  /\  (
( P `  1
)  =/=  c  /\  ( P `  1 )  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) ) ) ) ) )
230229imp4c 602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
( ( F (PathS `  G ) P  /\  ( P `  0 )  =  ( P ` 
4 ) )  /\  ( ( { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  e.  E  /\  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  e.  E
)  /\  ( {
( P `  2
) ,  ( P `
 3 ) }  e.  E  /\  {
( P `  3
) ,  ( P `
 4 ) }  e.  E ) ) )  ->  ( ( P `  0 )  e.  V  /\  ( P `  1 )  e.  V  /\  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( (
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  e.  E  /\  { ( P ` 
1 ) ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  ( P `  0
) }  e.  E
) )  /\  (
( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  0
)  =/=  c  /\  ( P `  0 )  =/=  d )  /\  ( ( P ` 
1 )  =/=  c  /\  ( P `  1
)  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) ) ) )
231 preq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  ( P ` 
0 )  ->  { a ,  b }  =  { ( P ` 
0 ) ,  b } )
232231eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  ( P ` 
0 )  ->  ( { a ,  b }  e.  E  <->  { ( P `  0 ) ,  b }  e.  E ) )
233232anbi1d 719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( P ` 
0 )  ->  (
( { a ,  b }  e.  E  /\  { b ,  c }  e.  E )  <-> 
( { ( P `
 0 ) ,  b }  e.  E  /\  { b ,  c }  e.  E ) ) )
234 preq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  ( P ` 
0 )  ->  { d ,  a }  =  { d ,  ( P `  0 ) } )
235234eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  ( P ` 
0 )  ->  ( { d ,  a }  e.  E  <->  { d ,  ( P ` 
0 ) }  e.  E ) )
236235anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( P ` 
0 )  ->  (
( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  a }  e.  E )  <-> 
( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  ( P `  0 ) }  e.  E ) ) )
237233, 236anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  ( P ` 
0 )  ->  (
( ( { a ,  b }  e.  E  /\  { b ,  c }  e.  E
)  /\  ( {
c ,  d }  e.  E  /\  {
d ,  a }  e.  E ) )  <-> 
( ( { ( P `  0 ) ,  b }  e.  E  /\  { b ,  c }  e.  E
)  /\  ( {
c ,  d }  e.  E  /\  {
d ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) ) ) )
238 neeq1 2705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  ( P ` 
0 )  ->  (
a  =/=  b  <->  ( P `  0 )  =/=  b ) )
239 neeq1 2705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  ( P ` 
0 )  ->  (
a  =/=  c  <->  ( P `  0 )  =/=  c ) )
240 neeq1 2705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  ( P ` 
0 )  ->  (
a  =/=  d  <->  ( P `  0 )  =/=  d ) )
241238, 239, 2403anbi123d 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( P ` 
0 )  ->  (
( a  =/=  b  /\  a  =/=  c  /\  a  =/=  d
)  <->  ( ( P `
 0 )  =/=  b  /\  ( P `
 0 )  =/=  c  /\  ( P `
 0 )  =/=  d ) ) )
242241anbi1d 719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  ( P ` 
0 )  ->  (
( ( a  =/=  b  /\  a  =/=  c  /\  a  =/=  d )  /\  (
b  =/=  c  /\  b  =/=  d  /\  c  =/=  d ) )  <->  ( (
( P `  0
)  =/=  b  /\  ( P `  0 )  =/=  c  /\  ( P `  0 )  =/=  d )  /\  (
b  =/=  c  /\  b  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) )
243237, 242anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( P ` 
0 )  ->  (
( ( ( { a ,  b }  e.  E  /\  {
b ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  a }  e.  E ) )  /\  ( ( a  =/=  b  /\  a  =/=  c  /\  a  =/=  d )  /\  (
b  =/=  c  /\  b  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) )  <-> 
( ( ( { ( P `  0
) ,  b }  e.  E  /\  {
b ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) )  /\  ( ( ( P `  0 )  =/=  b  /\  ( P `  0 )  =/=  c  /\  ( P `  0 )  =/=  d )  /\  (
b  =/=  c  /\  b  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) ) )
2442432rexbidv 2897 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( P ` 
0 )  ->  ( E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( ( { a ,  b }  e.  E  /\  {
b ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  a }  e.  E ) )  /\  ( ( a  =/=  b  /\  a  =/=  c  /\  a  =/=  d )  /\  (
b  =/=  c  /\  b  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) )  <->  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( ( { ( P `  0
) ,  b }  e.  E  /\  {
b ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) )  /\  ( ( ( P `  0 )  =/=  b  /\  ( P `  0 )  =/=  c  /\  ( P `  0 )  =/=  d )  /\  (
b  =/=  c  /\  b  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) ) )
245 preq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  ( P ` 
1 )  ->  { ( P `  0 ) ,  b }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
246245eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  ( P ` 
1 )  ->  ( { ( P ` 
0 ) ,  b }  e.  E  <->  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  e.  E ) )
247 preq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  ( P ` 
1 )  ->  { b ,  c }  =  { ( P ` 
1 ) ,  c } )
248247eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  ( P ` 
1 )  ->  ( { b ,  c }  e.  E  <->  { ( P `  1 ) ,  c }  e.  E ) )
249246, 248anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  ( P ` 
1 )  ->  (
( { ( P `
 0 ) ,  b }  e.  E  /\  { b ,  c }  e.  E )  <-> 
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  e.  E  /\  { ( P ` 
1 ) ,  c }  e.  E ) ) )
250249anbi1d 719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( P ` 
1 )  ->  (
( ( { ( P `  0 ) ,  b }  e.  E  /\  { b ,  c }  e.  E
)  /\  ( {
c ,  d }  e.  E  /\  {
d ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) )  <-> 
( ( { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  e.  E  /\  { ( P `
 1 ) ,  c }  e.  E
)  /\  ( {
c ,  d }  e.  E  /\  {
d ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) ) ) )
251 neeq2 2706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  ( P ` 
1 )  ->  (
( P `  0
)  =/=  b  <->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  1
) ) )
2522513anbi1d 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  ( P ` 
1 )  ->  (
( ( P ` 
0 )  =/=  b  /\  ( P `  0
)  =/=  c  /\  ( P `  0 )  =/=  d )  <->  ( ( P `  0 )  =/=  ( P `  1
)  /\  ( P `  0 )  =/=  c  /\  ( P `
 0 )  =/=  d ) ) )
253 neeq1 2705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  ( P ` 
1 )  ->  (
b  =/=  c  <->  ( P `  1 )  =/=  c ) )
254 neeq1 2705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  ( P ` 
1 )  ->  (
b  =/=  d  <->  ( P `  1 )  =/=  d ) )
255253, 2543anbi12d 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  ( P ` 
1 )  ->  (
( b  =/=  c  /\  b  =/=  d  /\  c  =/=  d
)  <->  ( ( P `
 1 )  =/=  c  /\  ( P `
 1 )  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) )
256252, 255anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( P ` 
1 )  ->  (
( ( ( P `
 0 )  =/=  b  /\  ( P `
 0 )  =/=  c  /\  ( P `
 0 )  =/=  d )  /\  (
b  =/=  c  /\  b  =/=  d  /\  c  =/=  d ) )  <->  ( (
( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 )  /\  ( P `  0 )  =/=  c  /\  ( P `  0 )  =/=  d )  /\  (
( P `  1
)  =/=  c  /\  ( P `  1 )  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) )
257250, 256anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( P ` 
1 )  ->  (
( ( ( { ( P `  0
) ,  b }  e.  E  /\  {
b ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) )  /\  ( ( ( P `  0 )  =/=  b  /\  ( P `  0 )  =/=  c  /\  ( P `  0 )  =/=  d )  /\  (
b  =/=  c  /\  b  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) )  <-> 
( ( ( { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  e.  E  /\  {
( P `  1
) ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) )  /\  ( ( ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
1 )  /\  ( P `  0 )  =/=  c  /\  ( P `  0 )  =/=  d )  /\  (
( P `  1
)  =/=  c  /\  ( P `  1 )  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) ) )
2582572rexbidv 2897 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( P ` 
1 )  ->  ( E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( ( { ( P `  0
) ,  b }  e.  E  /\  {
b ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) )  /\  ( ( ( P `  0 )  =/=  b  /\  ( P `  0 )  =/=  c  /\  ( P `  0 )  =/=  d )  /\  (
b  =/=  c  /\  b  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) )  <->  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( ( { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  e.  E  /\  {
( P `  1
) ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) )  /\  ( ( ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
1 )  /\  ( P `  0 )  =/=  c  /\  ( P `  0 )  =/=  d )  /\  (
( P `  1
)  =/=  c  /\  ( P `  1 )  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) ) )
259244, 258rspc2ev 3149 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P `  0
)  e.  V  /\  ( P `  1 )  e.  V  /\  E. c  e.  V  E. d  e.  V  (
( ( { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  e.  E  /\  { ( P `
 1 ) ,  c }  e.  E
)  /\  ( {
c ,  d }  e.  E  /\  {
d ,  ( P `
 0 ) }  e.  E ) )  /\  ( ( ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
1 )  /\  ( P `  0 )  =/=  c  /\  ( P `  0 )  =/=  d )  /\  (
( P `  1
)  =/=  c  /\  ( P `  1 )  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( (
( { a ,  b }  e.  E  /\  { b ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  a }  e.  E
) )  /\  (
( a  =/=  b  /\  a  =/=  c  /\  a  =/=  d
)  /\  ( b  =/=  c  /\  b  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) )
260230, 259syl6 33 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
( ( F (PathS `  G ) P  /\  ( P `  0 )  =  ( P ` 
4 ) )  /\  ( ( { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  e.  E  /\  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  e.  E
)  /\  ( {
( P `  2
) ,  ( P `
 3 ) }  e.  E  /\  {
( P `  3
) ,  ( P `
 4 ) }  e.  E ) ) )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( (
( { a ,  b }  e.  E  /\  { b ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  a }  e.  E
) )  /\  (
( a  =/=  b  /\  a  =/=  c  /\  a  =/=  d
)  /\  ( b  =/=  c  /\  b  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) ) )
26150, 260sylbid 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
( ( F (PathS `  G ) P  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  e.  E )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( (
( { a ,  b }  e.  E  /\  { b ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  a }  e.  E
) )  /\  (
( a  =/=  b  /\  a  =/=  c  /\  a  =/=  d
)  /\  ( b  =/=  c  /\  b  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) ) )
262261expd 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
( F (PathS `  G ) P  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  e.  E  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( ( { a ,  b }  e.  E  /\  {
b ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  a }  e.  E ) )  /\  ( ( a  =/=  b  /\  a  =/=  c  /\  a  =/=  d )  /\  (
b  =/=  c  /\  b  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) ) ) )
263262com13 82 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  e.  E  ->  ( ( F (PathS `  G ) P  /\  ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  ( ( # `  F )  =  4  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( ( { a ,  b }  e.  E  /\  {
b ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  a }  e.  E ) )  /\  ( ( a  =/=  b  /\  a  =/=  c  /\  a  =/=  d )  /\  (
b  =/=  c  /\  b  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) ) ) )
2644, 263syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e. UPGraph  /\  F (1Walks `  G ) P )  ->  ( ( F (PathS `  G ) P  /\  ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  ( ( # `  F )  =  4  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( ( { a ,  b }  e.  E  /\  {
b ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  a }  e.  E ) )  /\  ( ( a  =/=  b  /\  a  =/=  c  /\  a  =/=  d )  /\  (
b  =/=  c  /\  b  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) ) ) )
265264expcom 442 . . . . . . 7  |-  ( F (1Walks `  G ) P  ->  ( G  e. UPGraph  ->  ( ( F (PathS `  G ) P  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( # `  F )  =  4  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( (
( { a ,  b }  e.  E  /\  { b ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  a }  e.  E
) )  /\  (
( a  =/=  b  /\  a  =/=  c  /\  a  =/=  d
)  /\  ( b  =/=  c  /\  b  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) ) ) ) )
266265com23 80 . . . . . 6  |-  ( F (1Walks `  G ) P  ->  ( ( F (PathS `  G ) P  /\  ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  ( G  e. UPGraph  ->  ( ( # `  F
)  =  4  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( ( { a ,  b }  e.  E  /\  {
b ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  a }  e.  E ) )  /\  ( ( a  =/=  b  /\  a  =/=  c  /\  a  =/=  d )  /\  (
b  =/=  c  /\  b  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) ) ) ) )
267266expd 443 . . . . 5  |-  ( F (1Walks `  G ) P  ->  ( F (PathS `  G ) P  -> 
( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) )  -> 
( G  e. UPGraph  ->  ( ( # `  F
)  =  4  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( ( { a ,  b }  e.  E  /\  {
b ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  a }  e.  E ) )  /\  ( ( a  =/=  b  /\  a  =/=  c  /\  a  =/=  d )  /\  (
b  =/=  c  /\  b  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) ) ) ) ) )
2682, 267mpcom 36 . . . 4  |-  ( F (PathS `  G ) P  ->  ( ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) )  ->  ( G  e. UPGraph  ->  ( ( # `  F
)  =  4  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( ( { a ,  b }  e.  E  /\  {
b ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  a }  e.  E ) )  /\  ( ( a  =/=  b  /\  a  =/=  c  /\  a  =/=  d )  /\  (
b  =/=  c  /\  b  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) ) ) ) )
269268imp 436 . . 3  |-  ( ( F (PathS `  G
) P  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  ( G  e. UPGraph  ->  ( (
# `  F )  =  4  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( (
( { a ,  b }  e.  E  /\  { b ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  a }  e.  E
) )  /\  (
( a  =/=  b  /\  a  =/=  c  /\  a  =/=  d
)  /\  ( b  =/=  c  /\  b  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) ) ) )
2701, 269syl 17 . 2  |-  ( F (CycleS `  G ) P  ->  ( G  e. UPGraph  ->  ( ( # `  F
)  =  4  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( ( { a ,  b }  e.  E  /\  {
b ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  a }  e.  E ) )  /\  ( ( a  =/=  b  /\  a  =/=  c  /\  a  =/=  d )  /\  (
b  =/=  c  /\  b  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) ) ) )
2712703imp21 1243 1  |-  ( ( G  e. UPGraph  /\  F (CycleS `  G ) P  /\  ( # `  F )  =  4 )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( ( { a ,  b }  e.  E  /\  {
b ,  c }  e.  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  E  /\  { d ,  a }  e.  E ) )  /\  ( ( a  =/=  b  /\  a  =/=  c  /\  a  =/=  d )  /\  (
b  =/=  c  /\  b  =/=  d  /\  c  =/=  d ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757    u. cun 3388   {cpr 3961   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    < clt 9693    <_ cle 9694   NNcn 10631   2c2 10681   3c3 10682   4c4 10683   NN0cn0 10893   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   #chash 12553  Word cword 12703  Vtxcvtx 39251  iEdgciedg 39252   UPGraph cupgr 39326  Edgcedga 39371  1Walksc1wlks 39800  PathScpths 39907  CycleSccycls 39968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-ifp 984  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-uhgr 39302  df-upgr 39328  df-edga 39372  df-1wlks 39804  df-wlks 39805  df-trls 39889  df-pths 39911  df-cycls 39970
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