Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  upbdrech2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem upbdrech2 37526
Description: Choice of an upper bound for a possibly empty bunded set (image set version). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
upbdrech2.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
upbdrech2.bd  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  y )
upbdrech2.c  |-  C  =  if ( A  =  (/) ,  0 ,  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
upbdrech2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  B  <_  C ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    y, B, z    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    B( x)    C( x, y, z)

Proof of Theorem upbdrech2
StepHypRef Expression
1 upbdrech2.c . . 3  |-  C  =  if ( A  =  (/) ,  0 ,  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  ) )
2 iftrue 3887 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  if ( A  =  (/) ,  0 ,  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  ) )  =  0 )
3 0red 9644 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  0  e.  RR )
42, 3eqeltrd 2529 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  if ( A  =  (/) ,  0 ,  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  ) )  e.  RR )
54adantl 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  if ( A  =  (/) ,  0 ,  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  ) )  e.  RR )
6 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  -.  A  =  (/) )
76iffalsed 3892 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  if ( A  =  (/) ,  0 ,  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  ) )
86neqned 2631 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  A  =/=  (/) )
9 upbdrech2.b . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
109adantlr 721 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  A  =  (/) )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
11 upbdrech2.bd . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  y )
1211adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  y
)
13 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  )
148, 10, 12, 13upbdrech 37523 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  ( sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  )
) )
1514simpld 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
167, 15eqeltrd 2529 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  if ( A  =  (/) ,  0 ,  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  ) )  e.  RR )
175, 16pm2.61dan 800 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( A  =  (/) ,  0 ,  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  ) )  e.  RR )
181, 17syl5eqel 2533 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
19 rzal 3871 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  B  <_  C )
2019adantl 468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  A. x  e.  A  B  <_  C )
2114simprd 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  A. x  e.  A  B  <_  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  )
)
22 iffalse 3890 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  =  (/)  ->  if ( A  =  (/) ,  0 ,  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  ) )
231, 22syl5eq 2497 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  =  (/)  ->  C  =  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  ) )
2423breq2d 4414 . . . . . 6  |-  ( -.  A  =  (/)  ->  ( B  <_  C  <->  B  <_  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  )
) )
2524ralbidv 2827 . . . . 5  |-  ( -.  A  =  (/)  ->  ( A. x  e.  A  B  <_  C  <->  A. x  e.  A  B  <_  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  )
) )
2625adantl 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  ( A. x  e.  A  B  <_  C  <->  A. x  e.  A  B  <_  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  )
) )
2721, 26mpbird 236 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  A. x  e.  A  B  <_  C )
2820, 27pm2.61dan 800 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  <_  C )
2918, 28jca 535 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  B  <_  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   {cab 2437   A.wral 2737   E.wrex 2738   (/)c0 3731   ifcif 3881   class class class wbr 4402   supcsup 7954   RRcr 9538   0cc0 9539    < clt 9675    <_ cle 9676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863
This theorem is referenced by:  ssfiunibd  37527
  Copyright terms: Public domain W3C validator