Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  upbdrech2 Structured version   Unicode version

Theorem upbdrech2 31462
Description: Choice of an upper bound for a possibly empty bunded set (image set version) (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
upbdrech2.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
upbdrech2.bd  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  y )
upbdrech2.c  |-  C  =  if ( A  =  (/) ,  0 ,  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
upbdrech2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  B  <_  C ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    y, B, z    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    B( x)    C( x, y, z)

Proof of Theorem upbdrech2
StepHypRef Expression
1 upbdrech2.c . . 3  |-  C  =  if ( A  =  (/) ,  0 ,  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  ) )
2 iftrue 3932 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  if ( A  =  (/) ,  0 ,  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  ) )  =  0 )
3 0red 9600 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  0  e.  RR )
42, 3eqeltrd 2531 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  if ( A  =  (/) ,  0 ,  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  ) )  e.  RR )
54adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  if ( A  =  (/) ,  0 ,  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  ) )  e.  RR )
6 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  -.  A  =  (/) )
76iffalsed 3937 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  if ( A  =  (/) ,  0 ,  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  ) )
86neqned 2646 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  A  =/=  (/) )
9 upbdrech2.b . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
109adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  A  =  (/) )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
11 upbdrech2.bd . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  y )
1211adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  y
)
13 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  )
148, 10, 12, 13upbdrech 31459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  ( sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  )
) )
1514simpld 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
167, 15eqeltrd 2531 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  if ( A  =  (/) ,  0 ,  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  ) )  e.  RR )
175, 16pm2.61dan 791 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( A  =  (/) ,  0 ,  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  ) )  e.  RR )
181, 17syl5eqel 2535 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
19 rzal 3916 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  B  <_  C )
2019adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  A. x  e.  A  B  <_  C )
2114simprd 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  A. x  e.  A  B  <_  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  )
)
22 iffalse 3935 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  =  (/)  ->  if ( A  =  (/) ,  0 ,  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  ) )
231, 22syl5eq 2496 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  =  (/)  ->  C  =  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  ) )
2423breq2d 4449 . . . . . 6  |-  ( -.  A  =  (/)  ->  ( B  <_  C  <->  B  <_  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  )
) )
2524ralbidv 2882 . . . . 5  |-  ( -.  A  =  (/)  ->  ( A. x  e.  A  B  <_  C  <->  A. x  e.  A  B  <_  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  )
) )
2625adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  ( A. x  e.  A  B  <_  C  <->  A. x  e.  A  B  <_  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  )
) )
2721, 26mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  A. x  e.  A  B  <_  C )
2820, 27pm2.61dan 791 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  <_  C )
2918, 28jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  B  <_  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   {cab 2428   A.wral 2793   E.wrex 2794   (/)c0 3770   ifcif 3926   class class class wbr 4437   supcsup 7902   RRcr 9494   0cc0 9495    < clt 9631    <_ cle 9632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813
This theorem is referenced by:  ssfiunibd  31463
  Copyright terms: Public domain W3C validator