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Theorem upbdrech 31405
Description: Choice of an upper bound for a non empty bunded set (image set version). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
upbdrech.a  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
upbdrech.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
upbdrech.bd  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  y )
upbdrech.c  |-  C  =  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
upbdrech  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  B  <_  C ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    y, B, z    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    B( x)    C( x, y, z)

Proof of Theorem upbdrech
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 upbdrech.c . . 3  |-  C  =  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  )
2 upbdrech.b . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
32ralrimiva 2881 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  RR )
4 nfra1 2848 . . . . . . . 8  |-  F/ x A. x  e.  A  B  e.  RR
5 nfv 1683 . . . . . . . 8  |-  F/ x  z  e.  RR
6 simp3 998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  A  B  e.  RR  /\  x  e.  A  /\  z  =  B )  ->  z  =  B )
7 rspa 2834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x  e.  A  B  e.  RR  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
873adant3 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  A  B  e.  RR  /\  x  e.  A  /\  z  =  B )  ->  B  e.  RR )
96, 8eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  A  B  e.  RR  /\  x  e.  A  /\  z  =  B )  ->  z  e.  RR )
1093exp 1195 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  RR  ->  ( x  e.  A  ->  ( z  =  B  ->  z  e.  RR ) ) )
114, 5, 10rexlimd 2951 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  RR  ->  ( E. x  e.  A  z  =  B  ->  z  e.  RR ) )
1211alrimiv 1695 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  RR  ->  A. z
( E. x  e.  A  z  =  B  ->  z  e.  RR ) )
13 abss 3574 . . . . . 6  |-  ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  C_  RR  <->  A. z
( E. x  e.  A  z  =  B  ->  z  e.  RR ) )
1412, 13sylibr 212 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  RR  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  C_  RR )
153, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  C_  RR )
16 upbdrech.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
17 eqidd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  B  =  B )
1817rgen 2827 . . . . . . . 8  |-  A. x  e.  A  B  =  B
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  =  B )
20 r19.2z 3923 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  =  B )  ->  E. x  e.  A  B  =  B )
2116, 19, 20syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  B  =  B )
22 nfv 1683 . . . . . . 7  |-  F/ x ph
23 nfre1 2928 . . . . . . . 8  |-  F/ x E. x  e.  A  z  =  B
2423nfex 1895 . . . . . . 7  |-  F/ x E. z E. x  e.  A  z  =  B
25 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
26 elex 3127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  _V )
272, 26syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  _V )
28 isset 3122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  _V  <->  E. z 
z  =  B )
2927, 28sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. z 
z  =  B )
30 rspe 2925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  E. z  z  =  B )  ->  E. x  e.  A  E. z 
z  =  B )
3125, 29, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. x  e.  A  E. z 
z  =  B )
32 rexcom4 3138 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  A  E. z  z  =  B  <->  E. z E. x  e.  A  z  =  B )
3331, 32sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. z E. x  e.  A  z  =  B )
34333adant3 1016 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  B  =  B )  ->  E. z E. x  e.  A  z  =  B )
35343exp 1195 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  ( B  =  B  ->  E. z E. x  e.  A  z  =  B ) ) )
3622, 24, 35rexlimd 2951 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  A  B  =  B  ->  E. z E. x  e.  A  z  =  B ) )
3721, 36mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. z E. x  e.  A  z  =  B )
38 abn0 3809 . . . . 5  |-  ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  =/=  (/)  <->  E. z E. x  e.  A  z  =  B )
3937, 38sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  =/=  (/) )
40 upbdrech.bd . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  y )
41 nfv 1683 . . . . . 6  |-  F/ y
ph
42 vex 3121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  w  e. 
_V
43 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  w  ->  (
z  =  B  <->  w  =  B ) )
4443rexbidv 2978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  w  ->  ( E. x  e.  A  z  =  B  <->  E. x  e.  A  w  =  B ) )
4544elabg 3256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  _V  ->  (
w  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  <->  E. x  e.  A  w  =  B )
)
4642, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  <->  E. x  e.  A  w  =  B )
4746biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  ->  E. x  e.  A  w  =  B )
4847adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  A  B  <_  y )  /\  w  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } )  ->  E. x  e.  A  w  =  B )
49 nfra1 2848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x A. x  e.  A  B  <_  y
5022, 49nfan 1875 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( ph  /\  A. x  e.  A  B  <_  y )
51 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x w
5223nfab 2633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }
5351, 52nfel 2642 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x  w  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }
5450, 53nfan 1875 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ( ph  /\  A. x  e.  A  B  <_  y )  /\  w  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } )
55 nfv 1683 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  w  <_  y
56 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  A  B  <_  y )  /\  x  e.  A  /\  w  =  B )  ->  w  =  B )
57 simp1r 1021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  A  B  <_  y )  /\  x  e.  A  /\  w  =  B )  ->  A. x  e.  A  B  <_  y )
58 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  A  B  <_  y )  /\  x  e.  A  /\  w  =  B )  ->  x  e.  A )
59 rspa 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. x  e.  A  B  <_  y  /\  x  e.  A )  ->  B  <_  y )
6057, 58, 59syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  A  B  <_  y )  /\  x  e.  A  /\  w  =  B )  ->  B  <_  y )
6156, 60eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  A  B  <_  y )  /\  x  e.  A  /\  w  =  B )  ->  w  <_  y )
62613exp 1195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  A  B  <_  y )  ->  ( x  e.  A  ->  ( w  =  B  ->  w  <_  y ) ) )
6362adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  A  B  <_  y )  /\  w  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } )  -> 
( x  e.  A  ->  ( w  =  B  ->  w  <_  y
) ) )
6454, 55, 63rexlimd 2951 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  A  B  <_  y )  /\  w  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } )  -> 
( E. x  e.  A  w  =  B  ->  w  <_  y
) )
6548, 64mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  A  B  <_  y )  /\  w  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } )  ->  w  <_  y )
6665ralrimiva 2881 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  A  B  <_  y )  ->  A. w  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } w  <_ 
y )
67663adant2 1015 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  y
)  ->  A. w  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } w  <_ 
y )
68673exp 1195 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  ->  ( A. x  e.  A  B  <_  y  ->  A. w  e.  {
z  |  E. x  e.  A  z  =  B } w  <_  y
) ) )
6941, 68reximdai 2936 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  y  ->  E. y  e.  RR  A. w  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } w  <_  y
) )
7040, 69mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. w  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } w  <_  y
)
71 suprcl 10515 . . . 4  |-  ( ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  C_  RR  /\ 
{ z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. w  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } w  <_ 
y )  ->  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
7215, 39, 70, 71syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
731, 72syl5eqel 2559 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
7415adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  C_  RR )
7533, 38sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  =/=  (/) )
7670adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. w  e. 
{ z  |  E. x  e.  A  z  =  B } w  <_ 
y )
77 elabrexg 31335 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } )
7825, 2, 77syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } )
79 suprub 10516 . . . . 5  |-  ( ( ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  C_  RR  /\  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. w  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } w  <_ 
y )  /\  B  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } )  ->  B  <_  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  ) )
8074, 75, 76, 78, 79syl31anc 1231 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  <_  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  ) )
811eqcomi 2480 . . . . 5  |-  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  )  =  C
8281a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ,  RR ,  <  )  =  C )
8380, 82breqtrd 4477 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  <_  C )
8483ralrimiva 2881 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  <_  C )
8573, 84jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  B  <_  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   (/)c0 3790   class class class wbr 4453   supcsup 7912   RRcr 9503    < clt 9640    <_ cle 9641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820
This theorem is referenced by:  upbdrech2  31408
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