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Theorem unxpwdom2 8112
Description: Lemma for unxpwdom 8113. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
unxpwdom2  |-  ( ( A  X.  A ) 
~~  ( B  u.  C )  ->  ( A  ~<_*  B  \/  A  ~<_  C ) )

Proof of Theorem unxpwdom2
Dummy variables  x  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensym 7628 . 2  |-  ( ( A  X.  A ) 
~~  ( B  u.  C )  ->  ( B  u.  C )  ~~  ( A  X.  A
) )
2 bren 7589 . . 3  |-  ( ( B  u.  C ) 
~~  ( A  X.  A )  <->  E. f 
f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A ) )
3 ssdif0 3853 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B
)  <->  ( A  \ 
( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) )  =  (/) )
4 dmxpid 5073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( A  X.  A )  =  A
5 f1ofo 5838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  f :
( B  u.  C
) -onto-> ( A  X.  A ) )
6 forn 5813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : ( B  u.  C ) -onto-> ( A  X.  A )  ->  ran  f  =  ( A  X.  A ) )
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ran  f  =  ( A  X.  A
) )
8 vex 3083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  f  e. 
_V
98rnex 6741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  f  e.  _V
107, 9syl6eqelr 2516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ( A  X.  A )  e.  _V )
11 dmexg 6738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  X.  A )  e.  _V  ->  dom  ( A  X.  A
)  e.  _V )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  dom  ( A  X.  A )  e. 
_V )
134, 12syl5eqelr 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  A  e.  _V )
14 imassrn 5198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B )  C_  ran  ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f )
15 f1stres 6829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1st  |`  ( A  X.  A
) ) : ( A  X.  A ) --> A
16 f1of 5831 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  f :
( B  u.  C
) --> ( A  X.  A ) )
17 fco 5756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) ) : ( A  X.  A ) --> A  /\  f : ( B  u.  C ) --> ( A  X.  A ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) : ( B  u.  C ) --> A )
1815, 16, 17sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) : ( B  u.  C ) --> A )
19 frn 5752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) : ( B  u.  C
) --> A  ->  ran  ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f )  C_  A )
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ran  ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f )  C_  A
)
2114, 20syl5ss 3475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ( (
( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B )  C_  A
)
2213, 21ssexd 4571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ( (
( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B )  e.  _V )
2322adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  A  C_  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B
) )  ->  (
( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B )  e.  _V )
24 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  A  C_  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B
) )  ->  A  C_  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) )
25 ssdomg 7625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B )  e.  _V  ->  ( A  C_  (
( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B )  ->  A  ~<_  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )
2623, 24, 25sylc 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  A  C_  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B
) )  ->  A  ~<_  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) )
27 domwdom 8098 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  ~<_  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B )  ->  A  ~<_*  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  A  C_  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B
) )  ->  A  ~<_*  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) )
29 ffun 5748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) : ( B  u.  C
) --> A  ->  Fun  ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) )
3018, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  Fun  ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) )
31 ssun1 3629 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  C_  ( B  u.  C
)
32 f1odm 5835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  dom  f  =  ( B  u.  C
) )
338dmex 6740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  f  e.  _V
3432, 33syl6eqelr 2516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ( B  u.  C )  e.  _V )
35 ssexg 4570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  C_  ( B  u.  C )  /\  ( B  u.  C )  e.  _V )  ->  B  e.  _V )
3631, 34, 35sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  B  e.  _V )
37 wdomima2g 8110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
)  /\  B  e.  _V  /\  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B
)  e.  _V )  ->  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B )  ~<_*  B )
3830, 36, 22, 37syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ( (
( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B )  ~<_*  B )
3938adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  A  C_  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B
) )  ->  (
( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B )  ~<_*  B )
40 wdomtr 8099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  ~<_*  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B )  /\  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B
)  ~<_*  B )  ->  A  ~<_*  B )
4128, 39, 40syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  A  C_  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B
) )  ->  A  ~<_*  B )
4241orcd 393 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  A  C_  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B
) )  ->  ( A  ~<_*  B  \/  A  ~<_  C ) )
4342ex 435 . . . . . 6  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ( A  C_  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B )  ->  ( A  ~<_*  B  \/  A  ~<_  C )
) )
443, 43syl5bir 221 . . . . 5  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ( ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B
) )  =  (/)  ->  ( A  ~<_*  B  \/  A  ~<_  C ) ) )
45 n0 3771 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) )  =/=  (/) 
<->  E. x  x  e.  ( A  \  (
( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )
46 ssun2 3630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  C_  ( B  u.  C
)
47 ssexg 4570 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  C_  ( B  u.  C )  /\  ( B  u.  C )  e.  _V )  ->  C  e.  _V )
4846, 34, 47sylancr 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  C  e.  _V )
4948adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  C  e.  _V )
50 f1ofn 5832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  f  Fn  ( B  u.  C
) )
51 elpreima 6017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  Fn  ( B  u.  C )  ->  (
y  e.  ( `' f " ( { x }  X.  A
) )  <->  ( y  e.  ( B  u.  C
)  /\  ( f `  y )  e.  ( { x }  X.  A ) ) ) )
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ( y  e.  ( `' f "
( { x }  X.  A ) )  <->  ( y  e.  ( B  u.  C
)  /\  ( f `  y )  e.  ( { x }  X.  A ) ) ) )
5352adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  (
y  e.  ( `' f " ( { x }  X.  A
) )  <->  ( y  e.  ( B  u.  C
)  /\  ( f `  y )  e.  ( { x }  X.  A ) ) ) )
54 elun 3606 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( B  u.  C )  <->  ( y  e.  B  \/  y  e.  C ) )
55 df-or 371 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  B  \/  y  e.  C )  <->  ( -.  y  e.  B  ->  y  e.  C ) )
5654, 55bitri 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( B  u.  C )  <->  ( -.  y  e.  B  ->  y  e.  C ) )
57 eldifn 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( A  \ 
( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) )  ->  -.  x  e.  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) )
5857ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( f `  y )  e.  ( { x }  X.  A ) )  ->  -.  x  e.  (
( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) )
5916ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  -> 
f : ( B  u.  C ) --> ( A  X.  A ) )
60 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  e.  B )
6131, 60sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  e.  ( B  u.  C ) )
62 fvco3 5958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) --> ( A  X.  A )  /\  y  e.  ( B  u.  C ) )  ->  ( (
( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) `  y )  =  ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) ) `
 ( f `  y ) ) )
6359, 61, 62syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) `  y )  =  ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) ) `  (
f `  y )
) )
64 eldifi 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  e.  ( A  \ 
( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) )  ->  x  e.  A )
6564adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  x  e.  A )
6665snssd 4145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  { x }  C_  A )
67 xpss1 4962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( { x }  C_  A  ->  ( { x }  X.  A )  C_  ( A  X.  A ) )
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  ( { x }  X.  A )  C_  ( A  X.  A ) )
6968adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  -> 
( { x }  X.  A )  C_  ( A  X.  A ) )
70 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  -> 
( f `  y
)  e.  ( { x }  X.  A
) )
7169, 70sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  -> 
( f `  y
)  e.  ( A  X.  A ) )
72 fvres 5895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( f `  y )  e.  ( A  X.  A )  ->  (
( 1st  |`  ( A  X.  A ) ) `
 ( f `  y ) )  =  ( 1st `  (
f `  y )
) )
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) ) `
 ( f `  y ) )  =  ( 1st `  (
f `  y )
) )
74 xp1st 6837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( f `  y )  e.  ( { x }  X.  A )  -> 
( 1st `  (
f `  y )
)  e.  { x } )
7570, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  -> 
( 1st `  (
f `  y )
)  e.  { x } )
7673, 75eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) ) `
 ( f `  y ) )  e. 
{ x } )
77 elsni 4023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) ) `
 ( f `  y ) )  e. 
{ x }  ->  ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) ) `
 ( f `  y ) )  =  x )
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) ) `
 ( f `  y ) )  =  x )
7963, 78eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) `  y )  =  x )
80 ffn 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) : ( B  u.  C
) --> A  ->  (
( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f )  Fn  ( B  u.  C
) )
8118, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f )  Fn  ( B  u.  C )
)
8281ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f )  Fn  ( B  u.  C
) )
8331a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  ->  B  C_  ( B  u.  C ) )
84 fnfvima 6158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f )  Fn  ( B  u.  C
)  /\  B  C_  ( B  u.  C )  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) `  y )  e.  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) )
8582, 83, 60, 84syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) `  y )  e.  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) )
8679, 85eqeltrrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  ->  x  e.  ( (
( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) )
8786expr 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( f `  y )  e.  ( { x }  X.  A ) )  -> 
( y  e.  B  ->  x  e.  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )
8858, 87mtod 180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( f `  y )  e.  ( { x }  X.  A ) )  ->  -.  y  e.  B
)
8988ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  (
( f `  y
)  e.  ( { x }  X.  A
)  ->  -.  y  e.  B ) )
9089imim1d 78 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  (
( -.  y  e.  B  ->  y  e.  C )  ->  (
( f `  y
)  e.  ( { x }  X.  A
)  ->  y  e.  C ) ) )
9156, 90syl5bi 220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  (
y  e.  ( B  u.  C )  -> 
( ( f `  y )  e.  ( { x }  X.  A )  ->  y  e.  C ) ) )
9291impd 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  (
( y  e.  ( B  u.  C )  /\  ( f `  y )  e.  ( { x }  X.  A ) )  -> 
y  e.  C ) )
9353, 92sylbid 218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  (
y  e.  ( `' f " ( { x }  X.  A
) )  ->  y  e.  C ) )
9493ssrdv 3470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  ( `' f " ( { x }  X.  A ) )  C_  C )
95 ssdomg 7625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  _V  ->  (
( `' f "
( { x }  X.  A ) )  C_  C  ->  ( `' f
" ( { x }  X.  A ) )  ~<_  C ) )
9649, 94, 95sylc 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  ( `' f " ( { x }  X.  A ) )  ~<_  C )
97 f1ocnv 5843 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  `' f : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( B  u.  C
) )
98 f1of1 5830 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' f : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( B  u.  C )  ->  `' f : ( A  X.  A )
-1-1-> ( B  u.  C
) )
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  `' f : ( A  X.  A ) -1-1-> ( B  u.  C ) )
10099adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  `' f : ( A  X.  A ) -1-1-> ( B  u.  C ) )
10134adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  ( B  u.  C )  e.  _V )
102 snex 4662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { x }  e.  _V
10313adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  A  e.  _V )
104 xpexg 6607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { x }  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( { x }  X.  A )  e. 
_V )
105102, 103, 104sylancr 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  ( { x }  X.  A )  e.  _V )
106 f1imaen2g 7640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' f : ( A  X.  A
) -1-1-> ( B  u.  C )  /\  ( B  u.  C )  e.  _V )  /\  (
( { x }  X.  A )  C_  ( A  X.  A )  /\  ( { x }  X.  A )  e.  _V ) )  ->  ( `' f " ( { x }  X.  A ) )  ~~  ( { x }  X.  A ) )
107100, 101, 68, 105, 106syl22anc 1265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  ( `' f " ( { x }  X.  A ) )  ~~  ( { x }  X.  A ) )
108 vex 3083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
109 xpsnen2g 7674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( { x }  X.  A )  ~~  A
)
110108, 103, 109sylancr 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  ( { x }  X.  A )  ~~  A
)
111 entr 7631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' f "
( { x }  X.  A ) )  ~~  ( { x }  X.  A )  /\  ( { x }  X.  A )  ~~  A
)  ->  ( `' f " ( { x }  X.  A ) ) 
~~  A )
112107, 110, 111syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  ( `' f " ( { x }  X.  A ) )  ~~  A )
113 domen1 7723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' f " ( { x }  X.  A ) )  ~~  A  ->  ( ( `' f " ( { x }  X.  A
) )  ~<_  C  <->  A  ~<_  C ) )
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  (
( `' f "
( { x }  X.  A ) )  ~<_  C  <-> 
A  ~<_  C ) )
11596, 114mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  A  ~<_  C )
116115olcd 394 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  ( A  ~<_*  B  \/  A  ~<_  C ) )
117116ex 435 . . . . . . 7  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ( x  e.  ( A  \  (
( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) )  -> 
( A  ~<_*  B  \/  A  ~<_  C ) ) )
118117exlimdv 1772 . . . . . 6  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ( E. x  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B
) )  ->  ( A  ~<_*  B  \/  A  ~<_  C ) ) )
11945, 118syl5bi 220 . . . . 5  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ( ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B
) )  =/=  (/)  ->  ( A  ~<_*  B  \/  A  ~<_  C ) ) )
12044, 119pm2.61dne 2737 . . . 4  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ( A  ~<_*  B  \/  A  ~<_  C ) )
121120exlimiv 1770 . . 3  |-  ( E. f  f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  ->  ( A  ~<_*  B  \/  A  ~<_  C )
)
1222, 121sylbi 198 . 2  |-  ( ( B  u.  C ) 
~~  ( A  X.  A )  ->  ( A  ~<_*  B  \/  A  ~<_  C ) )
1231, 122syl 17 1  |-  ( ( A  X.  A ) 
~~  ( B  u.  C )  ->  ( A  ~<_*  B  \/  A  ~<_  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2614   _Vcvv 3080    \ cdif 3433    u. cun 3434    C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3998   class class class wbr 4423    X. cxp 4851   `'ccnv 4852   dom cdm 4853   ran crn 4854    |` cres 4855   "cima 4856    o. ccom 4857   Fun wfun 5595    Fn wfn 5596   -->wf 5597   -1-1->wf1 5598   -onto->wfo 5599   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601   1stc1st 6805    ~~ cen 7577    ~<_ cdom 7578    ~<_* cwdom 8081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-wdom 8083
This theorem is referenced by:  unxpwdom  8113  ttac  35861
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