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Theorem unxpwdom2 7799
Description: Lemma for unxpwdom 7800. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
unxpwdom2  |-  ( ( A  X.  A ) 
~~  ( B  u.  C )  ->  ( A  ~<_*  B  \/  A  ~<_  C ) )

Proof of Theorem unxpwdom2
Dummy variables  x  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensym 7354 . 2  |-  ( ( A  X.  A ) 
~~  ( B  u.  C )  ->  ( B  u.  C )  ~~  ( A  X.  A
) )
2 bren 7315 . . 3  |-  ( ( B  u.  C ) 
~~  ( A  X.  A )  <->  E. f 
f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A ) )
3 ssdif0 3734 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B
)  <->  ( A  \ 
( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) )  =  (/) )
4 dmxpid 5055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( A  X.  A )  =  A
5 f1ofo 5645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  f :
( B  u.  C
) -onto-> ( A  X.  A ) )
6 forn 5620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : ( B  u.  C ) -onto-> ( A  X.  A )  ->  ran  f  =  ( A  X.  A ) )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ran  f  =  ( A  X.  A
) )
8 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  f  e. 
_V
98rnex 6511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  f  e.  _V
107, 9syl6eqelr 2530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ( A  X.  A )  e.  _V )
11 dmexg 6508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  X.  A )  e.  _V  ->  dom  ( A  X.  A
)  e.  _V )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  dom  ( A  X.  A )  e. 
_V )
134, 12syl5eqelr 2526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  A  e.  _V )
14 imassrn 5177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B )  C_  ran  ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f )
15 f1stres 6597 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1st  |`  ( A  X.  A
) ) : ( A  X.  A ) --> A
16 f1of 5638 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  f :
( B  u.  C
) --> ( A  X.  A ) )
17 fco 5565 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) ) : ( A  X.  A ) --> A  /\  f : ( B  u.  C ) --> ( A  X.  A ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) : ( B  u.  C ) --> A )
1815, 16, 17sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) : ( B  u.  C ) --> A )
19 frn 5562 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) : ( B  u.  C
) --> A  ->  ran  ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f )  C_  A )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ran  ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f )  C_  A
)
2114, 20syl5ss 3364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ( (
( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B )  C_  A
)
2213, 21ssexd 4436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ( (
( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B )  e.  _V )
2322adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  A  C_  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B
) )  ->  (
( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B )  e.  _V )
24 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  A  C_  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B
) )  ->  A  C_  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) )
25 ssdomg 7351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B )  e.  _V  ->  ( A  C_  (
( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B )  ->  A  ~<_  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )
2623, 24, 25sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  A  C_  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B
) )  ->  A  ~<_  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) )
27 domwdom 7785 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  ~<_  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B )  ->  A  ~<_*  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  A  C_  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B
) )  ->  A  ~<_*  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) )
29 ffun 5558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) : ( B  u.  C
) --> A  ->  Fun  ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) )
3018, 29syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  Fun  ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) )
31 ssun1 3516 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  C_  ( B  u.  C
)
32 f1odm 5642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  dom  f  =  ( B  u.  C
) )
338dmex 6510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  f  e.  _V
3432, 33syl6eqelr 2530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ( B  u.  C )  e.  _V )
35 ssexg 4435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  C_  ( B  u.  C )  /\  ( B  u.  C )  e.  _V )  ->  B  e.  _V )
3631, 34, 35sylancr 658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  B  e.  _V )
37 wdomima2g 7797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
)  /\  B  e.  _V  /\  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B
)  e.  _V )  ->  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B )  ~<_*  B )
3830, 36, 22, 37syl3anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ( (
( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B )  ~<_*  B )
3938adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  A  C_  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B
) )  ->  (
( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B )  ~<_*  B )
40 wdomtr 7786 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  ~<_*  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B )  /\  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B
)  ~<_*  B )  ->  A  ~<_*  B )
4128, 39, 40syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  A  C_  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B
) )  ->  A  ~<_*  B )
4241orcd 392 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  A  C_  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B
) )  ->  ( A  ~<_*  B  \/  A  ~<_  C ) )
4342ex 434 . . . . . 6  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ( A  C_  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B )  ->  ( A  ~<_*  B  \/  A  ~<_  C )
) )
443, 43syl5bir 218 . . . . 5  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ( ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B
) )  =  (/)  ->  ( A  ~<_*  B  \/  A  ~<_  C ) ) )
45 n0 3643 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) )  =/=  (/) 
<->  E. x  x  e.  ( A  \  (
( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )
46 ssun2 3517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  C_  ( B  u.  C
)
47 ssexg 4435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  C_  ( B  u.  C )  /\  ( B  u.  C )  e.  _V )  ->  C  e.  _V )
4846, 34, 47sylancr 658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  C  e.  _V )
4948adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  C  e.  _V )
50 f1ofn 5639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  f  Fn  ( B  u.  C
) )
51 elpreima 5820 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  Fn  ( B  u.  C )  ->  (
y  e.  ( `' f " ( { x }  X.  A
) )  <->  ( y  e.  ( B  u.  C
)  /\  ( f `  y )  e.  ( { x }  X.  A ) ) ) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ( y  e.  ( `' f "
( { x }  X.  A ) )  <->  ( y  e.  ( B  u.  C
)  /\  ( f `  y )  e.  ( { x }  X.  A ) ) ) )
5352adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  (
y  e.  ( `' f " ( { x }  X.  A
) )  <->  ( y  e.  ( B  u.  C
)  /\  ( f `  y )  e.  ( { x }  X.  A ) ) ) )
54 elun 3494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( B  u.  C )  <->  ( y  e.  B  \/  y  e.  C ) )
55 df-or 370 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  B  \/  y  e.  C )  <->  ( -.  y  e.  B  ->  y  e.  C ) )
5654, 55bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( B  u.  C )  <->  ( -.  y  e.  B  ->  y  e.  C ) )
57 eldifn 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( A  \ 
( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) )  ->  -.  x  e.  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) )
5857ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( f `  y )  e.  ( { x }  X.  A ) )  ->  -.  x  e.  (
( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) )
5916ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  -> 
f : ( B  u.  C ) --> ( A  X.  A ) )
60 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  e.  B )
6131, 60sseldi 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  e.  ( B  u.  C ) )
62 fvco3 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) --> ( A  X.  A )  /\  y  e.  ( B  u.  C ) )  ->  ( (
( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) `  y )  =  ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) ) `
 ( f `  y ) ) )
6359, 61, 62syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) `  y )  =  ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) ) `  (
f `  y )
) )
64 eldifi 3475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  e.  ( A  \ 
( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) )  ->  x  e.  A )
6564adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  x  e.  A )
6665snssd 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  { x }  C_  A )
67 xpss1 4944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( { x }  C_  A  ->  ( { x }  X.  A )  C_  ( A  X.  A ) )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  ( { x }  X.  A )  C_  ( A  X.  A ) )
6968adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  -> 
( { x }  X.  A )  C_  ( A  X.  A ) )
70 simprl 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  -> 
( f `  y
)  e.  ( { x }  X.  A
) )
7169, 70sseldd 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  -> 
( f `  y
)  e.  ( A  X.  A ) )
72 fvres 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( f `  y )  e.  ( A  X.  A )  ->  (
( 1st  |`  ( A  X.  A ) ) `
 ( f `  y ) )  =  ( 1st `  (
f `  y )
) )
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) ) `
 ( f `  y ) )  =  ( 1st `  (
f `  y )
) )
74 xp1st 6605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( f `  y )  e.  ( { x }  X.  A )  -> 
( 1st `  (
f `  y )
)  e.  { x } )
7570, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  -> 
( 1st `  (
f `  y )
)  e.  { x } )
7673, 75eqeltrd 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) ) `
 ( f `  y ) )  e. 
{ x } )
77 elsni 3899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) ) `
 ( f `  y ) )  e. 
{ x }  ->  ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) ) `
 ( f `  y ) )  =  x )
7876, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) ) `
 ( f `  y ) )  =  x )
7963, 78eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) `  y )  =  x )
80 ffn 5556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) : ( B  u.  C
) --> A  ->  (
( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f )  Fn  ( B  u.  C
) )
8118, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f )  Fn  ( B  u.  C )
)
8281ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f )  Fn  ( B  u.  C
) )
8331a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  ->  B  C_  ( B  u.  C ) )
84 fnfvima 5952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f )  Fn  ( B  u.  C
)  /\  B  C_  ( B  u.  C )  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) `  y )  e.  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) )
8582, 83, 60, 84syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) `  y )  e.  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) )
8679, 85eqeltrrd 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( ( f `
 y )  e.  ( { x }  X.  A )  /\  y  e.  B ) )  ->  x  e.  ( (
( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) )
8786expr 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( f `  y )  e.  ( { x }  X.  A ) )  -> 
( y  e.  B  ->  x  e.  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )
8858, 87mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) ) )  /\  ( f `  y )  e.  ( { x }  X.  A ) )  ->  -.  y  e.  B
)
8988ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  (
( f `  y
)  e.  ( { x }  X.  A
)  ->  -.  y  e.  B ) )
9089imim1d 75 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  (
( -.  y  e.  B  ->  y  e.  C )  ->  (
( f `  y
)  e.  ( { x }  X.  A
)  ->  y  e.  C ) ) )
9156, 90syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  (
y  e.  ( B  u.  C )  -> 
( ( f `  y )  e.  ( { x }  X.  A )  ->  y  e.  C ) ) )
9291imp3a 431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  (
( y  e.  ( B  u.  C )  /\  ( f `  y )  e.  ( { x }  X.  A ) )  -> 
y  e.  C ) )
9353, 92sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  (
y  e.  ( `' f " ( { x }  X.  A
) )  ->  y  e.  C ) )
9493ssrdv 3359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  ( `' f " ( { x }  X.  A ) )  C_  C )
95 ssdomg 7351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  _V  ->  (
( `' f "
( { x }  X.  A ) )  C_  C  ->  ( `' f
" ( { x }  X.  A ) )  ~<_  C ) )
9649, 94, 95sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  ( `' f " ( { x }  X.  A ) )  ~<_  C )
97 f1ocnv 5650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  `' f : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( B  u.  C
) )
98 f1of1 5637 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' f : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( B  u.  C )  ->  `' f : ( A  X.  A )
-1-1-> ( B  u.  C
) )
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  `' f : ( A  X.  A ) -1-1-> ( B  u.  C ) )
10099adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  `' f : ( A  X.  A ) -1-1-> ( B  u.  C ) )
10134adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  ( B  u.  C )  e.  _V )
102 snex 4530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { x }  e.  _V
10313adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  A  e.  _V )
104 xpexg 6506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { x }  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( { x }  X.  A )  e. 
_V )
105102, 103, 104sylancr 658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  ( { x }  X.  A )  e.  _V )
106 f1imaen2g 7366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' f : ( A  X.  A
) -1-1-> ( B  u.  C )  /\  ( B  u.  C )  e.  _V )  /\  (
( { x }  X.  A )  C_  ( A  X.  A )  /\  ( { x }  X.  A )  e.  _V ) )  ->  ( `' f " ( { x }  X.  A ) )  ~~  ( { x }  X.  A ) )
107100, 101, 68, 105, 106syl22anc 1214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  ( `' f " ( { x }  X.  A ) )  ~~  ( { x }  X.  A ) )
108 vex 2973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
109 xpsnen2g 7400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( { x }  X.  A )  ~~  A
)
110108, 103, 109sylancr 658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  ( { x }  X.  A )  ~~  A
)
111 entr 7357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' f "
( { x }  X.  A ) )  ~~  ( { x }  X.  A )  /\  ( { x }  X.  A )  ~~  A
)  ->  ( `' f " ( { x }  X.  A ) ) 
~~  A )
112107, 110, 111syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  ( `' f " ( { x }  X.  A ) )  ~~  A )
113 domen1 7449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' f " ( { x }  X.  A ) )  ~~  A  ->  ( ( `' f " ( { x }  X.  A
) )  ~<_  C  <->  A  ~<_  C ) )
114112, 113syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  (
( `' f "
( { x }  X.  A ) )  ~<_  C  <-> 
A  ~<_  C ) )
11596, 114mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  A  ~<_  C )
116115olcd 393 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  /\  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A
) )  o.  f
) " B ) ) )  ->  ( A  ~<_*  B  \/  A  ~<_  C ) )
117116ex 434 . . . . . . 7  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ( x  e.  ( A  \  (
( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B ) )  -> 
( A  ~<_*  B  \/  A  ~<_  C ) ) )
118117exlimdv 1695 . . . . . 6  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ( E. x  x  e.  ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B
) )  ->  ( A  ~<_*  B  \/  A  ~<_  C ) ) )
11945, 118syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ( ( A  \  ( ( ( 1st  |`  ( A  X.  A ) )  o.  f ) " B
) )  =/=  (/)  ->  ( A  ~<_*  B  \/  A  ~<_  C ) ) )
12044, 119pm2.61dne 2686 . . . 4  |-  ( f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A
)  ->  ( A  ~<_*  B  \/  A  ~<_  C ) )
121120exlimiv 1693 . . 3  |-  ( E. f  f : ( B  u.  C ) -1-1-onto-> ( A  X.  A )  ->  ( A  ~<_*  B  \/  A  ~<_  C )
)
1222, 121sylbi 195 . 2  |-  ( ( B  u.  C ) 
~~  ( A  X.  A )  ->  ( A  ~<_*  B  \/  A  ~<_  C ) )
1231, 122syl 16 1  |-  ( ( A  X.  A ) 
~~  ( B  u.  C )  ->  ( A  ~<_*  B  \/  A  ~<_  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761    =/= wne 2604   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    u. cun 3323    C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874   class class class wbr 4289    X. cxp 4834   `'ccnv 4835   dom cdm 4836   ran crn 4837    |` cres 4838   "cima 4839    o. ccom 4840   Fun wfun 5409    Fn wfn 5410   -->wf 5411   -1-1->wf1 5412   -onto->wfo 5413   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415   1stc1st 6574    ~~ cen 7303    ~<_ cdom 7304    ~<_* cwdom 7768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-wdom 7770
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