Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unxpwdom Unicode version

Theorem unxpwdom 7187
 Description: If a cross product is dominated by a union, then the base set is either weakly dominated by one factor of the union or dominated by the other. Extracted from Lemma 2.3 of [KanamoriPincus] p. 420. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
unxpwdom *

Proof of Theorem unxpwdom
StepHypRef Expression
1 reldom 6755 . . . . 5
21brrelex2i 4637 . . . 4
3 domeng 6762 . . . 4
42, 3syl 17 . . 3
54ibi 234 . 2
6 simprl 735 . . . . . . 7
7 indi 3322 . . . . . . . 8
8 simprr 736 . . . . . . . . 9
9 df-ss 3089 . . . . . . . . 9
108, 9sylib 190 . . . . . . . 8
117, 10syl5eqr 2299 . . . . . . 7
126, 11breqtrrd 3946 . . . . . 6
13 unxpwdom2 7186 . . . . . 6 *
1412, 13syl 17 . . . . 5 *
15 ssun1 3248 . . . . . . . . . 10
162adantr 453 . . . . . . . . . 10
17 ssexg 4057 . . . . . . . . . 10
1815, 16, 17sylancr 647 . . . . . . . . 9
19 inss2 3297 . . . . . . . . 9
20 ssdomg 6793 . . . . . . . . 9
2118, 19, 20ee10 1372 . . . . . . . 8
22 domwdom 7172 . . . . . . . 8 *
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 *
24 wdomtr 7173 . . . . . . . 8 * * *
2524expcom 426 . . . . . . 7 * * *
2623, 25syl 17 . . . . . 6 * *
27 ssun2 3249 . . . . . . . . 9
28 ssexg 4057 . . . . . . . . 9
2927, 16, 28sylancr 647 . . . . . . . 8
30 inss2 3297 . . . . . . . 8
31 ssdomg 6793 . . . . . . . 8
3229, 30, 31ee10 1372 . . . . . . 7
33 domtr 6799 . . . . . . . 8
3433expcom 426 . . . . . . 7
3532, 34syl 17 . . . . . 6
3626, 35orim12d 814 . . . . 5 * *
3714, 36mpd 16 . . . 4 *
3837ex 425 . . 3 *
3938exlimdv 1932 . 2 *
405, 39mpd 16 1 *
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wo 359   wa 360  wex 1537   wceq 1619   wcel 1621  cvv 2727   cun 3076   cin 3077   wss 3078   class class class wbr 3920   cxp 4578   cen 6746   cdom 6747   * cwdom 7155 This theorem is referenced by:  pwcdadom  7726 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-wdom 7157
 Copyright terms: Public domain W3C validator