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Theorem unxpdomlem3 7804
Description: Lemma for unxpdom 7805. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unxpdomlem1.1  |-  F  =  ( x  e.  ( a  u.  b ) 
|->  G )
unxpdomlem1.2  |-  G  =  if ( x  e.  a ,  <. x ,  if ( x  =  m ,  t ,  s ) >. ,  <. if ( x  =  t ,  n ,  m
) ,  x >. )
Assertion
Ref Expression
unxpdomlem3  |-  ( ( 1o  ~<  a  /\  1o  ~<  b )  -> 
( a  u.  b
)  ~<_  ( a  X.  b ) )
Distinct variable group:    a, b, m, n, s, t, x
Allowed substitution hints:    F( x, t, m, n, s, a, b)    G( x, t, m, n, s, a, b)

Proof of Theorem unxpdomlem3
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3060 . . 3  |-  a  e. 
_V
2 1sdom 7801 . . 3  |-  ( a  e.  _V  ->  ( 1o  ~<  a  <->  E. m  e.  a  E. n  e.  a  -.  m  =  n ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  ( 1o 
~<  a  <->  E. m  e.  a  E. n  e.  a  -.  m  =  n )
4 vex 3060 . . 3  |-  b  e. 
_V
5 1sdom 7801 . . 3  |-  ( b  e.  _V  ->  ( 1o  ~<  b  <->  E. s  e.  b  E. t  e.  b  -.  s  =  t ) )
64, 5ax-mp 5 . 2  |-  ( 1o 
~<  b  <->  E. s  e.  b  E. t  e.  b  -.  s  =  t )
7 reeanv 2970 . . 3  |-  ( E. m  e.  a  E. s  e.  b  ( E. n  e.  a  -.  m  =  n  /\  E. t  e.  b  -.  s  =  t )  <->  ( E. m  e.  a  E. n  e.  a  -.  m  =  n  /\  E. s  e.  b  E. t  e.  b  -.  s  =  t ) )
8 reeanv 2970 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  a  E. t  e.  b  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  <->  ( E. n  e.  a  -.  m  =  n  /\  E. t  e.  b  -.  s  =  t ) )
9 unxpdomlem1.2 . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  if ( x  e.  a ,  <. x ,  if ( x  =  m ,  t ,  s ) >. ,  <. if ( x  =  t ,  n ,  m
) ,  x >. )
10 simpr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  (
n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  /\  x  e.  ( a  u.  b ) )  /\  x  e.  a )  ->  x  e.  a )
11 simp2r 1041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  ( n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  ->  t  e.  b )
12 simp1r 1039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  ( n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  ->  s  e.  b )
1311, 12ifcld 3936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  ( n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  ->  if ( x  =  m ,  t ,  s )  e.  b )
1413ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  (
n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  /\  x  e.  ( a  u.  b ) )  /\  x  e.  a )  ->  if ( x  =  m ,  t ,  s )  e.  b )
15 opelxpi 4885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  a  /\  if ( x  =  m ,  t ,  s )  e.  b )  ->  <. x ,  if ( x  =  m ,  t ,  s ) >.  e.  (
a  X.  b ) )
1610, 14, 15syl2anc 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  (
n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  /\  x  e.  ( a  u.  b ) )  /\  x  e.  a )  ->  <. x ,  if ( x  =  m ,  t ,  s ) >.  e.  ( a  X.  b ) )
17 simp2l 1040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  ( n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  ->  n  e.  a )
18 simp1l 1038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  ( n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  ->  m  e.  a )
1917, 18ifcld 3936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  ( n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  ->  if ( x  =  t ,  n ,  m )  e.  a )
2019ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  (
n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  /\  x  e.  ( a  u.  b ) )  /\  -.  x  e.  a )  ->  if ( x  =  t ,  n ,  m )  e.  a )
21 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  (
n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  /\  x  e.  ( a  u.  b ) )  ->  x  e.  ( a  u.  b
) )
22 elun 3586 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( a  u.  b )  <->  ( x  e.  a  \/  x  e.  b ) )
2321, 22sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  (
n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  /\  x  e.  ( a  u.  b ) )  ->  ( x  e.  a  \/  x  e.  b ) )
2423orcanai 929 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  (
n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  /\  x  e.  ( a  u.  b ) )  /\  -.  x  e.  a )  ->  x  e.  b )
25 opelxpi 4885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if ( x  =  t ,  n ,  m )  e.  a  /\  x  e.  b )  ->  <. if ( x  =  t ,  n ,  m ) ,  x >.  e.  ( a  X.  b ) )
2620, 24, 25syl2anc 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  (
n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  /\  x  e.  ( a  u.  b ) )  /\  -.  x  e.  a )  ->  <. if ( x  =  t ,  n ,  m ) ,  x >.  e.  ( a  X.  b ) )
2716, 26ifclda 3925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  (
n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  /\  x  e.  ( a  u.  b ) )  ->  if (
x  e.  a , 
<. x ,  if ( x  =  m ,  t ,  s )
>. ,  <. if ( x  =  t ,  n ,  m ) ,  x >. )  e.  ( a  X.  b
) )
289, 27syl5eqel 2544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  (
n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  /\  x  e.  ( a  u.  b ) )  ->  G  e.  ( a  X.  b
) )
29 unxpdomlem1.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  ( a  u.  b ) 
|->  G )
3028, 29fmptd 6069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  ( n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  ->  F : ( a  u.  b ) --> ( a  X.  b ) )
3129, 9unxpdomlem1 7802 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( a  u.  b )  ->  ( F `  z )  =  if ( z  e.  a ,  <. z ,  if ( z  =  m ,  t ,  s ) >. ,  <. if ( z  =  t ,  n ,  m
) ,  z >.
) )
3231ad2antrl 739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  ->  ( F `  z )  =  if ( z  e.  a ,  <. z ,  if ( z  =  m ,  t ,  s ) >. ,  <. if ( z  =  t ,  n ,  m
) ,  z >.
) )
33 iftrue 3899 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  a  ->  if ( z  e.  a ,  <. z ,  if ( z  =  m ,  t ,  s ) >. ,  <. if ( z  =  t ,  n ,  m ) ,  z >. )  =  <. z ,  if ( z  =  m ,  t ,  s ) >. )
3433adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  a  /\  w  e.  a )  ->  if ( z  e.  a ,  <. z ,  if ( z  =  m ,  t ,  s ) >. ,  <. if ( z  =  t ,  n ,  m
) ,  z >.
)  =  <. z ,  if ( z  =  m ,  t ,  s ) >. )
3532, 34sylan9eq 2516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  /\  (
z  e.  a  /\  w  e.  a )
)  ->  ( F `  z )  =  <. z ,  if ( z  =  m ,  t ,  s ) >.
)
3629, 9unxpdomlem1 7802 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( a  u.  b )  ->  ( F `  w )  =  if ( w  e.  a ,  <. w ,  if ( w  =  m ,  t ,  s ) >. ,  <. if ( w  =  t ,  n ,  m
) ,  w >. ) )
3736ad2antll 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  ->  ( F `  w )  =  if ( w  e.  a ,  <. w ,  if ( w  =  m ,  t ,  s ) >. ,  <. if ( w  =  t ,  n ,  m
) ,  w >. ) )
38 iftrue 3899 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  a  ->  if ( w  e.  a ,  <. w ,  if ( w  =  m ,  t ,  s ) >. ,  <. if ( w  =  t ,  n ,  m ) ,  w >. )  =  <. w ,  if ( w  =  m ,  t ,  s ) >. )
3938adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  a  /\  w  e.  a )  ->  if ( w  e.  a ,  <. w ,  if ( w  =  m ,  t ,  s ) >. ,  <. if ( w  =  t ,  n ,  m
) ,  w >. )  =  <. w ,  if ( w  =  m ,  t ,  s ) >. )
4037, 39sylan9eq 2516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  /\  (
z  e.  a  /\  w  e.  a )
)  ->  ( F `  w )  =  <. w ,  if ( w  =  m ,  t ,  s ) >.
)
4135, 40eqeq12d 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  /\  (
z  e.  a  /\  w  e.  a )
)  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <->  <. z ,  if ( z  =  m ,  t ,  s ) >.  =  <. w ,  if ( w  =  m ,  t ,  s ) >.
) )
42 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
43 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  t  e. 
_V
44 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  s  e. 
_V
4543, 44ifex 3961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( z  =  m ,  t ,  s )  e.  _V
4642, 45opth1 4689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
z ,  if ( z  =  m ,  t ,  s )
>.  =  <. w ,  if ( w  =  m ,  t ,  s ) >.  ->  z  =  w )
4741, 46syl6bi 236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  /\  (
z  e.  a  /\  w  e.  a )
)  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) )
48 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  ->  w  e.  ( a  u.  b
) )
49 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  ->  -.  m  =  n )
50 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  ->  -.  s  =  t )
5129, 9, 48, 49, 50unxpdomlem2 7803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  /\  (
z  e.  a  /\  -.  w  e.  a
) )  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )
5251pm2.21d 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  /\  (
z  e.  a  /\  -.  w  e.  a
) )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  -> 
z  =  w ) )
53 eqcom 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <->  ( F `  w )  =  ( F `  z ) )
54 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  ->  z  e.  ( a  u.  b
) )
5529, 9, 54, 49, 50unxpdomlem2 7803 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  /\  (
w  e.  a  /\  -.  z  e.  a
) )  ->  -.  ( F `  w )  =  ( F `  z ) )
5655ancom2s 816 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  /\  ( -.  z  e.  a  /\  w  e.  a
) )  ->  -.  ( F `  w )  =  ( F `  z ) )
5756pm2.21d 110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  /\  ( -.  z  e.  a  /\  w  e.  a
) )  ->  (
( F `  w
)  =  ( F `
 z )  -> 
z  =  w ) )
5853, 57syl5bi 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  /\  ( -.  z  e.  a  /\  w  e.  a
) )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  -> 
z  =  w ) )
59 iffalse 3902 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  z  e.  a  ->  if ( z  e.  a ,  <. z ,  if ( z  =  m ,  t ,  s ) >. ,  <. if ( z  =  t ,  n ,  m ) ,  z >. )  =  <. if ( z  =  t ,  n ,  m ) ,  z
>. )
6059adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  z  e.  a  /\  -.  w  e.  a )  ->  if ( z  e.  a ,  <. z ,  if ( z  =  m ,  t ,  s ) >. ,  <. if ( z  =  t ,  n ,  m ) ,  z >. )  =  <. if ( z  =  t ,  n ,  m ) ,  z
>. )
6132, 60sylan9eq 2516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  /\  ( -.  z  e.  a  /\  -.  w  e.  a ) )  ->  ( F `  z )  =  <. if ( z  =  t ,  n ,  m ) ,  z
>. )
62 iffalse 3902 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  w  e.  a  ->  if ( w  e.  a ,  <. w ,  if ( w  =  m ,  t ,  s ) >. ,  <. if ( w  =  t ,  n ,  m ) ,  w >. )  =  <. if ( w  =  t ,  n ,  m ) ,  w >. )
6362adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  z  e.  a  /\  -.  w  e.  a )  ->  if ( w  e.  a ,  <. w ,  if ( w  =  m ,  t ,  s ) >. ,  <. if ( w  =  t ,  n ,  m ) ,  w >. )  =  <. if ( w  =  t ,  n ,  m ) ,  w >. )
6437, 63sylan9eq 2516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  /\  ( -.  z  e.  a  /\  -.  w  e.  a ) )  ->  ( F `  w )  =  <. if ( w  =  t ,  n ,  m ) ,  w >. )
6561, 64eqeq12d 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  /\  ( -.  z  e.  a  /\  -.  w  e.  a ) )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  <. if ( z  =  t ,  n ,  m ) ,  z >.  =  <. if ( w  =  t ,  n ,  m
) ,  w >. ) )
66 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  n  e. 
_V
67 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  m  e. 
_V
6866, 67ifex 3961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( z  =  t ,  n ,  m )  e.  _V
6968, 42opth 4690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <. if ( z  =  t ,  n ,  m
) ,  z >.  =  <. if ( w  =  t ,  n ,  m ) ,  w >.  <-> 
( if ( z  =  t ,  n ,  m )  =  if ( w  =  t ,  n ,  m
)  /\  z  =  w ) )
7069simprbi 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <. if ( z  =  t ,  n ,  m
) ,  z >.  =  <. if ( w  =  t ,  n ,  m ) ,  w >.  ->  z  =  w )
7165, 70syl6bi 236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  /\  ( -.  z  e.  a  /\  -.  w  e.  a ) )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  -> 
z  =  w ) )
7247, 52, 58, 714casesdan 967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  -> 
z  =  w ) )
7372ralrimivva 2821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  ->  A. z  e.  ( a  u.  b
) A. w  e.  ( a  u.  b
) ( ( F `
 z )  =  ( F `  w
)  ->  z  =  w ) )
74733ad2ant3 1037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  ( n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  ->  A. z  e.  ( a  u.  b
) A. w  e.  ( a  u.  b
) ( ( F `
 z )  =  ( F `  w
)  ->  z  =  w ) )
75 dff13 6184 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( a  u.  b ) -1-1-> ( a  X.  b )  <->  ( F : ( a  u.  b ) --> ( a  X.  b )  /\  A. z  e.  ( a  u.  b ) A. w  e.  ( a  u.  b ) ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) ) )
7630, 74, 75sylanbrc 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  ( n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  ->  F : ( a  u.  b ) -1-1-> ( a  X.  b ) )
771, 4unex 6616 . . . . . . . . 9  |-  ( a  u.  b )  e. 
_V
781, 4xpex 6622 . . . . . . . . 9  |-  ( a  X.  b )  e. 
_V
79 f1dom2g 7613 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  u.  b
)  e.  _V  /\  ( a  X.  b
)  e.  _V  /\  F : ( a  u.  b ) -1-1-> ( a  X.  b ) )  ->  ( a  u.  b )  ~<_  ( a  X.  b ) )
8077, 78, 79mp3an12 1363 . . . . . . . 8  |-  ( F : ( a  u.  b ) -1-1-> ( a  X.  b )  -> 
( a  u.  b
)  ~<_  ( a  X.  b ) )
8176, 80syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  ( n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  ->  (
a  u.  b )  ~<_  ( a  X.  b
) )
82813expia 1217 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  ( n  e.  a  /\  t  e.  b ) )  -> 
( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  -> 
( a  u.  b
)  ~<_  ( a  X.  b ) ) )
8382rexlimdvva 2898 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  ->  ( E. n  e.  a  E. t  e.  b  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  -> 
( a  u.  b
)  ~<_  ( a  X.  b ) ) )
848, 83syl5bir 226 . . . 4  |-  ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  ->  ( ( E. n  e.  a  -.  m  =  n  /\  E. t  e.  b  -.  s  =  t )  -> 
( a  u.  b
)  ~<_  ( a  X.  b ) ) )
8584rexlimivv 2896 . . 3  |-  ( E. m  e.  a  E. s  e.  b  ( E. n  e.  a  -.  m  =  n  /\  E. t  e.  b  -.  s  =  t )  ->  ( a  u.  b )  ~<_  ( a  X.  b ) )
867, 85sylbir 218 . 2  |-  ( ( E. m  e.  a  E. n  e.  a  -.  m  =  n  /\  E. s  e.  b  E. t  e.  b  -.  s  =  t )  ->  (
a  u.  b )  ~<_  ( a  X.  b
) )
873, 6, 86syl2anb 486 1  |-  ( ( 1o  ~<  a  /\  1o  ~<  b )  -> 
( a  u.  b
)  ~<_  ( a  X.  b ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898   A.wral 2749   E.wrex 2750   _Vcvv 3057    u. cun 3414   ifcif 3893   <.cop 3986   class class class wbr 4416    |-> cmpt 4475    X. cxp 4851   -->wf 5597   -1-1->wf1 5598   ` cfv 5601   1oc1o 7201    ~<_ cdom 7593    ~< csdm 7594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-om 6720  df-1o 7208  df-2o 7209  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598
This theorem is referenced by:  unxpdom  7805
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