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Theorem unxpdomlem3 7519
Description: Lemma for unxpdom 7520. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unxpdomlem1.1  |-  F  =  ( x  e.  ( a  u.  b ) 
|->  G )
unxpdomlem1.2  |-  G  =  if ( x  e.  a ,  <. x ,  if ( x  =  m ,  t ,  s ) >. ,  <. if ( x  =  t ,  n ,  m
) ,  x >. )
Assertion
Ref Expression
unxpdomlem3  |-  ( ( 1o  ~<  a  /\  1o  ~<  b )  -> 
( a  u.  b
)  ~<_  ( a  X.  b ) )
Distinct variable group:    a, b, m, n, s, t, x
Allowed substitution hints:    F( x, t, m, n, s, a, b)    G( x, t, m, n, s, a, b)

Proof of Theorem unxpdomlem3
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2975 . . 3  |-  a  e. 
_V
2 1sdom 7515 . . 3  |-  ( a  e.  _V  ->  ( 1o  ~<  a  <->  E. m  e.  a  E. n  e.  a  -.  m  =  n ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  ( 1o 
~<  a  <->  E. m  e.  a  E. n  e.  a  -.  m  =  n )
4 vex 2975 . . 3  |-  b  e. 
_V
5 1sdom 7515 . . 3  |-  ( b  e.  _V  ->  ( 1o  ~<  b  <->  E. s  e.  b  E. t  e.  b  -.  s  =  t ) )
64, 5ax-mp 5 . 2  |-  ( 1o 
~<  b  <->  E. s  e.  b  E. t  e.  b  -.  s  =  t )
7 reeanv 2888 . . 3  |-  ( E. m  e.  a  E. s  e.  b  ( E. n  e.  a  -.  m  =  n  /\  E. t  e.  b  -.  s  =  t )  <->  ( E. m  e.  a  E. n  e.  a  -.  m  =  n  /\  E. s  e.  b  E. t  e.  b  -.  s  =  t ) )
8 reeanv 2888 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  a  E. t  e.  b  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  <->  ( E. n  e.  a  -.  m  =  n  /\  E. t  e.  b  -.  s  =  t ) )
9 unxpdomlem1.2 . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  if ( x  e.  a ,  <. x ,  if ( x  =  m ,  t ,  s ) >. ,  <. if ( x  =  t ,  n ,  m
) ,  x >. )
10 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  (
n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  /\  x  e.  ( a  u.  b ) )  /\  x  e.  a )  ->  x  e.  a )
11 simp2r 1015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  ( n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  ->  t  e.  b )
12 simp1r 1013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  ( n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  ->  s  e.  b )
13 ifcl 3831 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  b  /\  s  e.  b )  ->  if ( x  =  m ,  t ,  s )  e.  b )
1411, 12, 13syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  ( n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  ->  if ( x  =  m ,  t ,  s )  e.  b )
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  (
n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  /\  x  e.  ( a  u.  b ) )  /\  x  e.  a )  ->  if ( x  =  m ,  t ,  s )  e.  b )
16 opelxpi 4871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  a  /\  if ( x  =  m ,  t ,  s )  e.  b )  ->  <. x ,  if ( x  =  m ,  t ,  s ) >.  e.  (
a  X.  b ) )
1710, 15, 16syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  (
n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  /\  x  e.  ( a  u.  b ) )  /\  x  e.  a )  ->  <. x ,  if ( x  =  m ,  t ,  s ) >.  e.  ( a  X.  b ) )
18 simp2l 1014 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  ( n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  ->  n  e.  a )
19 simp1l 1012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  ( n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  ->  m  e.  a )
20 ifcl 3831 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  a  /\  m  e.  a )  ->  if ( x  =  t ,  n ,  m )  e.  a )
2118, 19, 20syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  ( n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  ->  if ( x  =  t ,  n ,  m )  e.  a )
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  (
n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  /\  x  e.  ( a  u.  b ) )  /\  -.  x  e.  a )  ->  if ( x  =  t ,  n ,  m )  e.  a )
23 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  (
n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  /\  x  e.  ( a  u.  b ) )  ->  x  e.  ( a  u.  b
) )
24 elun 3497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( a  u.  b )  <->  ( x  e.  a  \/  x  e.  b ) )
2523, 24sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  (
n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  /\  x  e.  ( a  u.  b ) )  ->  ( x  e.  a  \/  x  e.  b ) )
2625orcanai 904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  (
n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  /\  x  e.  ( a  u.  b ) )  /\  -.  x  e.  a )  ->  x  e.  b )
27 opelxpi 4871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if ( x  =  t ,  n ,  m )  e.  a  /\  x  e.  b )  ->  <. if ( x  =  t ,  n ,  m ) ,  x >.  e.  ( a  X.  b ) )
2822, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  (
n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  /\  x  e.  ( a  u.  b ) )  /\  -.  x  e.  a )  ->  <. if ( x  =  t ,  n ,  m ) ,  x >.  e.  ( a  X.  b ) )
2917, 28ifclda 3821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  (
n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  /\  x  e.  ( a  u.  b ) )  ->  if (
x  e.  a , 
<. x ,  if ( x  =  m ,  t ,  s )
>. ,  <. if ( x  =  t ,  n ,  m ) ,  x >. )  e.  ( a  X.  b
) )
309, 29syl5eqel 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  (
n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  /\  x  e.  ( a  u.  b ) )  ->  G  e.  ( a  X.  b
) )
31 unxpdomlem1.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  ( a  u.  b ) 
|->  G )
3230, 31fmptd 5867 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  ( n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  ->  F : ( a  u.  b ) --> ( a  X.  b ) )
3331, 9unxpdomlem1 7517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( a  u.  b )  ->  ( F `  z )  =  if ( z  e.  a ,  <. z ,  if ( z  =  m ,  t ,  s ) >. ,  <. if ( z  =  t ,  n ,  m
) ,  z >.
) )
3433ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  ->  ( F `  z )  =  if ( z  e.  a ,  <. z ,  if ( z  =  m ,  t ,  s ) >. ,  <. if ( z  =  t ,  n ,  m
) ,  z >.
) )
35 iftrue 3797 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  a  ->  if ( z  e.  a ,  <. z ,  if ( z  =  m ,  t ,  s ) >. ,  <. if ( z  =  t ,  n ,  m ) ,  z >. )  =  <. z ,  if ( z  =  m ,  t ,  s ) >. )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  a  /\  w  e.  a )  ->  if ( z  e.  a ,  <. z ,  if ( z  =  m ,  t ,  s ) >. ,  <. if ( z  =  t ,  n ,  m
) ,  z >.
)  =  <. z ,  if ( z  =  m ,  t ,  s ) >. )
3734, 36sylan9eq 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  /\  (
z  e.  a  /\  w  e.  a )
)  ->  ( F `  z )  =  <. z ,  if ( z  =  m ,  t ,  s ) >.
)
3831, 9unxpdomlem1 7517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( a  u.  b )  ->  ( F `  w )  =  if ( w  e.  a ,  <. w ,  if ( w  =  m ,  t ,  s ) >. ,  <. if ( w  =  t ,  n ,  m
) ,  w >. ) )
3938ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  ->  ( F `  w )  =  if ( w  e.  a ,  <. w ,  if ( w  =  m ,  t ,  s ) >. ,  <. if ( w  =  t ,  n ,  m
) ,  w >. ) )
40 iftrue 3797 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  a  ->  if ( w  e.  a ,  <. w ,  if ( w  =  m ,  t ,  s ) >. ,  <. if ( w  =  t ,  n ,  m ) ,  w >. )  =  <. w ,  if ( w  =  m ,  t ,  s ) >. )
4140adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  a  /\  w  e.  a )  ->  if ( w  e.  a ,  <. w ,  if ( w  =  m ,  t ,  s ) >. ,  <. if ( w  =  t ,  n ,  m
) ,  w >. )  =  <. w ,  if ( w  =  m ,  t ,  s ) >. )
4239, 41sylan9eq 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  /\  (
z  e.  a  /\  w  e.  a )
)  ->  ( F `  w )  =  <. w ,  if ( w  =  m ,  t ,  s ) >.
)
4337, 42eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  /\  (
z  e.  a  /\  w  e.  a )
)  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <->  <. z ,  if ( z  =  m ,  t ,  s ) >.  =  <. w ,  if ( w  =  m ,  t ,  s ) >.
) )
44 vex 2975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
45 vex 2975 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  t  e. 
_V
46 vex 2975 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  s  e. 
_V
4745, 46ifex 3858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( z  =  m ,  t ,  s )  e.  _V
4844, 47opth1 4565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
z ,  if ( z  =  m ,  t ,  s )
>.  =  <. w ,  if ( w  =  m ,  t ,  s ) >.  ->  z  =  w )
4943, 48syl6bi 228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  /\  (
z  e.  a  /\  w  e.  a )
)  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) )
50 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  ->  w  e.  ( a  u.  b
) )
51 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  ->  -.  m  =  n )
52 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  ->  -.  s  =  t )
5331, 9, 50, 51, 52unxpdomlem2 7518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  /\  (
z  e.  a  /\  -.  w  e.  a
) )  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )
5453pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  /\  (
z  e.  a  /\  -.  w  e.  a
) )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  -> 
z  =  w ) )
55 eqcom 2445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <->  ( F `  w )  =  ( F `  z ) )
56 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  ->  z  e.  ( a  u.  b
) )
5731, 9, 56, 51, 52unxpdomlem2 7518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  /\  (
w  e.  a  /\  -.  z  e.  a
) )  ->  -.  ( F `  w )  =  ( F `  z ) )
5857ancom2s 800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  /\  ( -.  z  e.  a  /\  w  e.  a
) )  ->  -.  ( F `  w )  =  ( F `  z ) )
5958pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  /\  ( -.  z  e.  a  /\  w  e.  a
) )  ->  (
( F `  w
)  =  ( F `
 z )  -> 
z  =  w ) )
6055, 59syl5bi 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  /\  ( -.  z  e.  a  /\  w  e.  a
) )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  -> 
z  =  w ) )
61 iffalse 3799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  z  e.  a  ->  if ( z  e.  a ,  <. z ,  if ( z  =  m ,  t ,  s ) >. ,  <. if ( z  =  t ,  n ,  m ) ,  z >. )  =  <. if ( z  =  t ,  n ,  m ) ,  z
>. )
6261adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  z  e.  a  /\  -.  w  e.  a )  ->  if ( z  e.  a ,  <. z ,  if ( z  =  m ,  t ,  s ) >. ,  <. if ( z  =  t ,  n ,  m ) ,  z >. )  =  <. if ( z  =  t ,  n ,  m ) ,  z
>. )
6334, 62sylan9eq 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  /\  ( -.  z  e.  a  /\  -.  w  e.  a ) )  ->  ( F `  z )  =  <. if ( z  =  t ,  n ,  m ) ,  z
>. )
64 iffalse 3799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  w  e.  a  ->  if ( w  e.  a ,  <. w ,  if ( w  =  m ,  t ,  s ) >. ,  <. if ( w  =  t ,  n ,  m ) ,  w >. )  =  <. if ( w  =  t ,  n ,  m ) ,  w >. )
6564adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  z  e.  a  /\  -.  w  e.  a )  ->  if ( w  e.  a ,  <. w ,  if ( w  =  m ,  t ,  s ) >. ,  <. if ( w  =  t ,  n ,  m ) ,  w >. )  =  <. if ( w  =  t ,  n ,  m ) ,  w >. )
6639, 65sylan9eq 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  /\  ( -.  z  e.  a  /\  -.  w  e.  a ) )  ->  ( F `  w )  =  <. if ( w  =  t ,  n ,  m ) ,  w >. )
6763, 66eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  /\  ( -.  z  e.  a  /\  -.  w  e.  a ) )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  <. if ( z  =  t ,  n ,  m ) ,  z >.  =  <. if ( w  =  t ,  n ,  m
) ,  w >. ) )
68 vex 2975 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  n  e. 
_V
69 vex 2975 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  m  e. 
_V
7068, 69ifex 3858 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( z  =  t ,  n ,  m )  e.  _V
7170, 44opth 4566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <. if ( z  =  t ,  n ,  m
) ,  z >.  =  <. if ( w  =  t ,  n ,  m ) ,  w >.  <-> 
( if ( z  =  t ,  n ,  m )  =  if ( w  =  t ,  n ,  m
)  /\  z  =  w ) )
7271simprbi 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <. if ( z  =  t ,  n ,  m
) ,  z >.  =  <. if ( w  =  t ,  n ,  m ) ,  w >.  ->  z  =  w )
7367, 72syl6bi 228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  /\  ( -.  z  e.  a  /\  -.  w  e.  a ) )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  -> 
z  =  w ) )
7449, 54, 60, 734casesdan 941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  /\  ( z  e.  ( a  u.  b )  /\  w  e.  ( a  u.  b ) ) )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  -> 
z  =  w ) )
7574ralrimivva 2808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  ->  A. z  e.  ( a  u.  b
) A. w  e.  ( a  u.  b
) ( ( F `
 z )  =  ( F `  w
)  ->  z  =  w ) )
76753ad2ant3 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  ( n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  ->  A. z  e.  ( a  u.  b
) A. w  e.  ( a  u.  b
) ( ( F `
 z )  =  ( F `  w
)  ->  z  =  w ) )
77 dff13 5971 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( a  u.  b ) -1-1-> ( a  X.  b )  <->  ( F : ( a  u.  b ) --> ( a  X.  b )  /\  A. z  e.  ( a  u.  b ) A. w  e.  ( a  u.  b ) ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) ) )
7832, 76, 77sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  ( n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  ->  F : ( a  u.  b ) -1-1-> ( a  X.  b ) )
791, 4unex 6378 . . . . . . . . 9  |-  ( a  u.  b )  e. 
_V
801, 4xpex 6508 . . . . . . . . 9  |-  ( a  X.  b )  e. 
_V
81 f1dom2g 7327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  u.  b
)  e.  _V  /\  ( a  X.  b
)  e.  _V  /\  F : ( a  u.  b ) -1-1-> ( a  X.  b ) )  ->  ( a  u.  b )  ~<_  ( a  X.  b ) )
8279, 80, 81mp3an12 1304 . . . . . . . 8  |-  ( F : ( a  u.  b ) -1-1-> ( a  X.  b )  -> 
( a  u.  b
)  ~<_  ( a  X.  b ) )
8378, 82syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  ( n  e.  a  /\  t  e.  b )  /\  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t ) )  ->  (
a  u.  b )  ~<_  ( a  X.  b
) )
84833expia 1189 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  /\  ( n  e.  a  /\  t  e.  b ) )  -> 
( ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  -> 
( a  u.  b
)  ~<_  ( a  X.  b ) ) )
8584rexlimdvva 2848 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  ->  ( E. n  e.  a  E. t  e.  b  ( -.  m  =  n  /\  -.  s  =  t )  -> 
( a  u.  b
)  ~<_  ( a  X.  b ) ) )
868, 85syl5bir 218 . . . 4  |-  ( ( m  e.  a  /\  s  e.  b )  ->  ( ( E. n  e.  a  -.  m  =  n  /\  E. t  e.  b  -.  s  =  t )  -> 
( a  u.  b
)  ~<_  ( a  X.  b ) ) )
8786rexlimivv 2846 . . 3  |-  ( E. m  e.  a  E. s  e.  b  ( E. n  e.  a  -.  m  =  n  /\  E. t  e.  b  -.  s  =  t )  ->  ( a  u.  b )  ~<_  ( a  X.  b ) )
887, 87sylbir 213 . 2  |-  ( ( E. m  e.  a  E. n  e.  a  -.  m  =  n  /\  E. s  e.  b  E. t  e.  b  -.  s  =  t )  ->  (
a  u.  b )  ~<_  ( a  X.  b
) )
893, 6, 88syl2anb 479 1  |-  ( ( 1o  ~<  a  /\  1o  ~<  b )  -> 
( a  u.  b
)  ~<_  ( a  X.  b ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    u. cun 3326   ifcif 3791   <.cop 3883   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350    X. cxp 4838   -->wf 5414   -1-1->wf1 5415   ` cfv 5418   1oc1o 6913    ~<_ cdom 7308    ~< csdm 7309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-om 6477  df-1o 6920  df-2o 6921  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313
This theorem is referenced by:  unxpdom  7520
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