Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unxpdom Structured version   Unicode version

Theorem unxpdom 7728
 Description: Cartesian product dominates union for sets with cardinality greater than 1. Proposition 10.36 of [TakeutiZaring] p. 93. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unxpdom

Proof of Theorem unxpdom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relsdom 7524 . . . 4
21brrelex2i 5041 . . 3
31brrelex2i 5041 . . 3
42, 3anim12i 566 . 2
5 breq2 4451 . . . . 5
65anbi1d 704 . . . 4
7 uneq1 3651 . . . . 5
8 xpeq1 5013 . . . . 5
97, 8breq12d 4460 . . . 4
106, 9imbi12d 320 . . 3
11 breq2 4451 . . . . 5
1211anbi2d 703 . . . 4
13 uneq2 3652 . . . . 5
14 xpeq2 5014 . . . . 5
1513, 14breq12d 4460 . . . 4
1612, 15imbi12d 320 . . 3
17 eqid 2467 . . . 4
18 eqid 2467 . . . 4
1917, 18unxpdomlem3 7727 . . 3
2010, 16, 19vtocl2g 3175 . 2
214, 20mpcom 36 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3113   cun 3474  cif 3939  cop 4033   class class class wbr 4447   cmpt 4505   cxp 4997  c1o 7124   cdom 7515   csdm 7516 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-om 6686  df-1o 7131  df-2o 7132  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520 This theorem is referenced by:  unxpdom2  7729  sucxpdom  7730  cdaxpdom  8570
 Copyright terms: Public domain W3C validator