Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unxpdom Structured version   Unicode version

Theorem unxpdom 7785
 Description: Cartesian product dominates union for sets with cardinality greater than 1. Proposition 10.36 of [TakeutiZaring] p. 93. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unxpdom

Proof of Theorem unxpdom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relsdom 7584 . . . 4
21brrelex2i 4896 . . 3
31brrelex2i 4896 . . 3
42, 3anim12i 568 . 2
5 breq2 4430 . . . . 5
65anbi1d 709 . . . 4
7 uneq1 3619 . . . . 5
8 xpeq1 4868 . . . . 5
97, 8breq12d 4439 . . . 4
106, 9imbi12d 321 . . 3
11 breq2 4430 . . . . 5
1211anbi2d 708 . . . 4
13 uneq2 3620 . . . . 5
14 xpeq2 4869 . . . . 5
1513, 14breq12d 4439 . . . 4
1612, 15imbi12d 321 . . 3
17 eqid 2429 . . . 4
18 eqid 2429 . . . 4
1917, 18unxpdomlem3 7784 . . 3
2010, 16, 19vtocl2g 3149 . 2
214, 20mpcom 37 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  cvv 3087   cun 3440  cif 3915  cop 4008   class class class wbr 4426   cmpt 4484   cxp 4852  c1o 7183   cdom 7575   csdm 7576 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-om 6707  df-1o 7190  df-2o 7191  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580 This theorem is referenced by:  unxpdom2  7786  sucxpdom  7787  cdaxpdom  8617
 Copyright terms: Public domain W3C validator