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Theorem unwf 8245
Description: A binary union is well-founded iff its elements are. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
unwf  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  <-> 
( A  u.  B
)  e.  U. ( R1 " On ) )

Proof of Theorem unwf
StepHypRef Expression
1 r1rankidb 8239 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  C_  ( R1 `  ( rank `  A )
) )
21adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  A  C_  ( R1 `  ( rank `  A
) ) )
3 ssun1 3663 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  A )  C_  (
( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )
4 rankdmr1 8236 . . . . . . . . 9  |-  ( rank `  A )  e.  dom  R1
5 r1funlim 8201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
65simpri 462 . . . . . . . . . . 11  |-  Lim  dom  R1
7 limord 4946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  Ord  dom  R1 )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  Ord  dom  R1
9 rankdmr1 8236 . . . . . . . . . 10  |-  ( rank `  B )  e.  dom  R1
10 ordunel 6661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  dom  R1  /\  ( rank `  A )  e. 
dom  R1  /\  ( rank `  B )  e. 
dom  R1 )  ->  (
( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )  e.  dom  R1 )
118, 4, 9, 10mp3an 1324 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )  e.  dom  R1
12 r1ord3g 8214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( rank `  A
)  e.  dom  R1  /\  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  e. 
dom  R1 )  ->  (
( rank `  A )  C_  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  -> 
( R1 `  ( rank `  A ) ) 
C_  ( R1 `  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) ) )
134, 11, 12mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank `  A )  C_  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  -> 
( R1 `  ( rank `  A ) ) 
C_  ( R1 `  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) )
143, 13ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( R1
`  ( rank `  A
) )  C_  ( R1 `  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) ) )
152, 14syl6ss 3511 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  A  C_  ( R1 `  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) ) ) )
16 r1rankidb 8239 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  U. ( R1
" On )  ->  B  C_  ( R1 `  ( rank `  B )
) )
1716adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  B  C_  ( R1 `  ( rank `  B
) ) )
18 ssun2 3664 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  B )  C_  (
( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )
19 r1ord3g 8214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( rank `  B
)  e.  dom  R1  /\  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  e. 
dom  R1 )  ->  (
( rank `  B )  C_  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  -> 
( R1 `  ( rank `  B ) ) 
C_  ( R1 `  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) ) )
209, 11, 19mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank `  B )  C_  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  -> 
( R1 `  ( rank `  B ) ) 
C_  ( R1 `  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) )
2118, 20ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( R1
`  ( rank `  B
) )  C_  ( R1 `  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) ) )
2217, 21syl6ss 3511 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  B  C_  ( R1 `  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) ) ) )
2315, 22unssd 3676 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( A  u.  B )  C_  ( R1 `  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) ) ) )
24 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( R1
`  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) ) )  e.  _V
2524elpw2 4620 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  B )  e.  ~P ( R1
`  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) ) )  <->  ( A  u.  B )  C_  ( R1 `  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) ) ) )
2623, 25sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( A  u.  B )  e.  ~P ( R1 `  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
27 r1sucg 8204 . . . . 5  |-  ( ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  e. 
dom  R1  ->  ( R1
`  suc  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )  =  ~P ( R1 `  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) )
2811, 27ax-mp 5 . . . 4  |-  ( R1
`  suc  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )  =  ~P ( R1 `  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) )
2926, 28syl6eleqr 2556 . . 3  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( A  u.  B )  e.  ( R1 `  suc  (
( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
30 r1elwf 8231 . . 3  |-  ( ( A  u.  B )  e.  ( R1 `  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) )  ->  ( A  u.  B )  e.  U. ( R1 " On ) )
3129, 30syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( A  u.  B )  e.  U. ( R1 " On ) )
32 ssun1 3663 . . . 4  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
33 sswf 8243 . . . 4  |-  ( ( ( A  u.  B
)  e.  U. ( R1 " On )  /\  A  C_  ( A  u.  B ) )  ->  A  e.  U. ( R1 " On ) )
3432, 33mpan2 671 . . 3  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  e.  U. ( R1 " On ) )
35 ssun2 3664 . . . 4  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
36 sswf 8243 . . . 4  |-  ( ( ( A  u.  B
)  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  C_  ( A  u.  B ) )  ->  B  e.  U. ( R1 " On ) )
3735, 36mpan2 671 . . 3  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  ->  B  e.  U. ( R1 " On ) )
3834, 37jca 532 . 2  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) ) )
3931, 38impbii 188 1  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  <-> 
( A  u.  B
)  e.  U. ( R1 " On ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    u. cun 3469    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   U.cuni 4251   Ord word 4886   Oncon0 4887   Lim wlim 4888   suc csuc 4889   dom cdm 5008   "cima 5011   Fun wfun 5588   ` cfv 5594   R1cr1 8197   rankcrnk 8198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-r1 8199  df-rank 8200
This theorem is referenced by:  prwf  8246  rankunb  8285
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