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Theorem unwdomg 8028
Description: Weak dominance of a (disjoint) union. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
unwdomg  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  -> 
( A  u.  C
)  ~<_*  ( B  u.  D
) )

Proof of Theorem unwdomg
Dummy variables  a 
b  f  g  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brwdom3i 8027 . . 3  |-  ( A  ~<_*  B  ->  E. f A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b
) )
213ad2ant1 1017 . 2  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  ->  E. f A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b ) )
3 brwdom3i 8027 . . . . 5  |-  ( C  ~<_*  D  ->  E. g A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b
) )
433ad2ant2 1018 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  ->  E. g A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) )
54adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b ) )  ->  E. g A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) )
6 relwdom 8010 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ~<_*
76brrelexi 5049 . . . . . . . . 9  |-  ( A  ~<_*  B  ->  A  e.  _V )
86brrelexi 5049 . . . . . . . . 9  |-  ( C  ~<_*  D  ->  C  e.  _V )
9 unexg 6600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( A  u.  C
)  e.  _V )
107, 8, 9syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( A  u.  C )  e.  _V )
11103adant3 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  -> 
( A  u.  C
)  e.  _V )
1211adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) ) )  ->  ( A  u.  C )  e.  _V )
136brrelex2i 5050 . . . . . . . . 9  |-  ( A  ~<_*  B  ->  B  e.  _V )
146brrelex2i 5050 . . . . . . . . 9  |-  ( C  ~<_*  D  ->  D  e.  _V )
15 unexg 6600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  _V  /\  D  e.  _V )  ->  ( B  u.  D
)  e.  _V )
1613, 14, 15syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( B  u.  D )  e.  _V )
17163adant3 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  -> 
( B  u.  D
)  e.  _V )
1817adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) ) )  ->  ( B  u.  D )  e.  _V )
19 elun 3641 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( A  u.  C )  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  C ) )
20 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  y  ->  (
a  =  ( f `
 b )  <->  y  =  ( f `  b
) ) )
2120rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  y  ->  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  <->  E. b  e.  B  y  =  ( f `  b
) ) )
2221rspcva 3208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b ) )  ->  E. b  e.  B  y  =  ( f `  b ) )
23 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  z  ->  (
f `  b )  =  ( f `  z ) )
2423eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  z  ->  (
y  =  ( f `
 b )  <->  y  =  ( f `  z
) ) )
2524cbvrexv 3085 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. b  e.  B  y  =  ( f `  b )  <->  E. z  e.  B  y  =  ( f `  z
) )
26 ssun1 3663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  B  C_  ( B  u.  D
)
27 iftrue 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  B  ->  if ( z  e.  B ,  f ,  g )  =  f )
2827fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  B  ->  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z )  =  ( f `  z ) )
2928eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  B  ->  (
y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z )  <-> 
y  =  ( f `
 z ) ) )
3029biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  B  ->  (
y  =  ( f `
 z )  -> 
y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) ) )
3130reximia 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. z  e.  B  y  =  ( f `  z )  ->  E. z  e.  B  y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) )
32 ssrexv 3561 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B 
C_  ( B  u.  D )  ->  ( E. z  e.  B  y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D ) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) ) )
3326, 31, 32mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. z  e.  B  y  =  ( f `  z )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D
) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) )
3425, 33sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. b  e.  B  y  =  ( f `  b )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D
) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) )
3522, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b ) )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D )
y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) )
3635ancoms 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  y  e.  A )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D
) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) )
3736adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) )  /\  y  e.  A )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D
) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) )
3837adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  i^i  D )  =  (/)  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) ) )  /\  y  e.  A
)  ->  E. z  e.  ( B  u.  D
) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) )
39 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  y  ->  (
a  =  ( g `
 b )  <->  y  =  ( g `  b
) ) )
4039rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  y  ->  ( E. b  e.  D  a  =  ( g `  b )  <->  E. b  e.  D  y  =  ( g `  b
) ) )
41 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  z  ->  (
g `  b )  =  ( g `  z ) )
4241eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  z  ->  (
y  =  ( g `
 b )  <->  y  =  ( g `  z
) ) )
4342cbvrexv 3085 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. b  e.  D  y  =  ( g `  b )  <->  E. z  e.  D  y  =  ( g `  z
) )
4440, 43syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  y  ->  ( E. b  e.  D  a  =  ( g `  b )  <->  E. z  e.  D  y  =  ( g `  z
) ) )
4544rspccva 3209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b )  /\  y  e.  C )  ->  E. z  e.  D  y  =  ( g `  z
) )
46 ssun2 3664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  D  C_  ( B  u.  D
)
47 minel 3885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  D  /\  ( B  i^i  D )  =  (/) )  ->  -.  z  e.  B )
4847ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  (/)  /\  z  e.  D )  ->  -.  z  e.  B )
4948iffalsed 3955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  (/)  /\  z  e.  D )  ->  if ( z  e.  B ,  f ,  g )  =  g )
5049fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  (/)  /\  z  e.  D )  ->  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z )  =  ( g `  z ) )
5150eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  (/)  /\  z  e.  D )  ->  (
y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z )  <-> 
y  =  ( g `
 z ) ) )
5251biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  (/)  /\  z  e.  D )  ->  (
y  =  ( g `
 z )  -> 
y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) ) )
5352reximdva 2932 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  i^i  D )  =  (/)  ->  ( E. z  e.  D  y  =  ( g `  z )  ->  E. z  e.  D  y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) ) )
5453imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  (/)  /\  E. z  e.  D  y  =  ( g `  z ) )  ->  E. z  e.  D  y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) )
55 ssrexv 3561 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D 
C_  ( B  u.  D )  ->  ( E. z  e.  D  y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D ) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) ) )
5646, 54, 55mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  (/)  /\  E. z  e.  D  y  =  ( g `  z ) )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D )
y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) )
5745, 56sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  (/)  /\  ( A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b )  /\  y  e.  C ) )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D )
y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) )
5857anassrs 648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  i^i  D )  =  (/)  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) )  /\  y  e.  C )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D ) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) )
5958adantlrl 719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  i^i  D )  =  (/)  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) ) )  /\  y  e.  C
)  ->  E. z  e.  ( B  u.  D
) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) )
6038, 59jaodan 785 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  i^i  D )  =  (/)  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) ) )  /\  ( y  e.  A  \/  y  e.  C ) )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D )
y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) )
6119, 60sylan2b 475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  i^i  D )  =  (/)  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) ) )  /\  y  e.  ( A  u.  C ) )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D
) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) )
6261expl 618 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  i^i  D )  =  (/)  ->  ( ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) )  /\  y  e.  ( A  u.  C
) )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D
) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) ) )
63623ad2ant3 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  -> 
( ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) )  /\  y  e.  ( A  u.  C ) )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D )
y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) ) )
6463impl 620 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D )  =  (/) )  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) ) )  /\  y  e.  ( A  u.  C ) )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D
) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) )
6512, 18, 64wdom2d 8024 . . . . 5  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) ) )  ->  ( A  u.  C )  ~<_*  ( B  u.  D
) )
6665expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b ) )  -> 
( A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b )  ->  ( A  u.  C )  ~<_*  ( B  u.  D
) ) )
6766exlimdv 1725 . . 3  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b ) )  -> 
( E. g A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b )  ->  ( A  u.  C )  ~<_*  ( B  u.  D ) ) )
685, 67mpd 15 . 2  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b ) )  -> 
( A  u.  C
)  ~<_*  ( B  u.  D
) )
692, 68exlimddv 1727 1  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  -> 
( A  u.  C
)  ~<_*  ( B  u.  D
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ifcif 3944   class class class wbr 4456   ` cfv 5594    ~<_* cwdom 8001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-wdom 8003
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