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Theorem unwdomg 8108
Description: Weak dominance of a (disjoint) union. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
unwdomg  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  -> 
( A  u.  C
)  ~<_*  ( B  u.  D
) )

Proof of Theorem unwdomg
Dummy variables  a 
b  f  g  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brwdom3i 8107 . . 3  |-  ( A  ~<_*  B  ->  E. f A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b
) )
213ad2ant1 1026 . 2  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  ->  E. f A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b ) )
3 brwdom3i 8107 . . . . 5  |-  ( C  ~<_*  D  ->  E. g A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b
) )
433ad2ant2 1027 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  ->  E. g A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) )
54adantr 466 . . 3  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b ) )  ->  E. g A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) )
6 relwdom 8090 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ~<_*
76brrelexi 4894 . . . . . . . . 9  |-  ( A  ~<_*  B  ->  A  e.  _V )
86brrelexi 4894 . . . . . . . . 9  |-  ( C  ~<_*  D  ->  C  e.  _V )
9 unexg 6606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( A  u.  C
)  e.  _V )
107, 8, 9syl2an 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( A  u.  C )  e.  _V )
11103adant3 1025 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  -> 
( A  u.  C
)  e.  _V )
1211adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) ) )  ->  ( A  u.  C )  e.  _V )
136brrelex2i 4895 . . . . . . . . 9  |-  ( A  ~<_*  B  ->  B  e.  _V )
146brrelex2i 4895 . . . . . . . . 9  |-  ( C  ~<_*  D  ->  D  e.  _V )
15 unexg 6606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  _V  /\  D  e.  _V )  ->  ( B  u.  D
)  e.  _V )
1613, 14, 15syl2an 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( B  u.  D )  e.  _V )
17163adant3 1025 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  -> 
( B  u.  D
)  e.  _V )
1817adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) ) )  ->  ( B  u.  D )  e.  _V )
19 elun 3606 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( A  u.  C )  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  C ) )
20 eqeq1 2426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  y  ->  (
a  =  ( f `
 b )  <->  y  =  ( f `  b
) ) )
2120rexbidv 2936 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  y  ->  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  <->  E. b  e.  B  y  =  ( f `  b
) ) )
2221rspcva 3180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b ) )  ->  E. b  e.  B  y  =  ( f `  b ) )
23 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  z  ->  (
f `  b )  =  ( f `  z ) )
2423eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  z  ->  (
y  =  ( f `
 b )  <->  y  =  ( f `  z
) ) )
2524cbvrexv 3055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. b  e.  B  y  =  ( f `  b )  <->  E. z  e.  B  y  =  ( f `  z
) )
26 ssun1 3629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  B  C_  ( B  u.  D
)
27 iftrue 3917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  B  ->  if ( z  e.  B ,  f ,  g )  =  f )
2827fveq1d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  B  ->  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z )  =  ( f `  z ) )
2928eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  B  ->  (
y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z )  <-> 
y  =  ( f `
 z ) ) )
3029biimprd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  B  ->  (
y  =  ( f `
 z )  -> 
y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) ) )
3130reximia 2888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. z  e.  B  y  =  ( f `  z )  ->  E. z  e.  B  y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) )
32 ssrexv 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B 
C_  ( B  u.  D )  ->  ( E. z  e.  B  y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D ) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) ) )
3326, 31, 32mpsyl 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. z  e.  B  y  =  ( f `  z )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D
) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) )
3425, 33sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. b  e.  B  y  =  ( f `  b )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D
) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) )
3522, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b ) )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D )
y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) )
3635ancoms 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  y  e.  A )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D
) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) )
3736adantlr 719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) )  /\  y  e.  A )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D
) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) )
3837adantll 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  i^i  D )  =  (/)  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) ) )  /\  y  e.  A
)  ->  E. z  e.  ( B  u.  D
) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) )
39 eqeq1 2426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  y  ->  (
a  =  ( g `
 b )  <->  y  =  ( g `  b
) ) )
4039rexbidv 2936 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  y  ->  ( E. b  e.  D  a  =  ( g `  b )  <->  E. b  e.  D  y  =  ( g `  b
) ) )
41 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  z  ->  (
g `  b )  =  ( g `  z ) )
4241eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  z  ->  (
y  =  ( g `
 b )  <->  y  =  ( g `  z
) ) )
4342cbvrexv 3055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. b  e.  D  y  =  ( g `  b )  <->  E. z  e.  D  y  =  ( g `  z
) )
4440, 43syl6bb 264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  y  ->  ( E. b  e.  D  a  =  ( g `  b )  <->  E. z  e.  D  y  =  ( g `  z
) ) )
4544rspccva 3181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b )  /\  y  e.  C )  ->  E. z  e.  D  y  =  ( g `  z
) )
46 ssun2 3630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  D  C_  ( B  u.  D
)
47 minel 3850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  D  /\  ( B  i^i  D )  =  (/) )  ->  -.  z  e.  B )
4847ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  (/)  /\  z  e.  D )  ->  -.  z  e.  B )
4948iffalsed 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  (/)  /\  z  e.  D )  ->  if ( z  e.  B ,  f ,  g )  =  g )
5049fveq1d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  (/)  /\  z  e.  D )  ->  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z )  =  ( g `  z ) )
5150eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  (/)  /\  z  e.  D )  ->  (
y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z )  <-> 
y  =  ( g `
 z ) ) )
5251biimprd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  (/)  /\  z  e.  D )  ->  (
y  =  ( g `
 z )  -> 
y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) ) )
5352reximdva 2897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  i^i  D )  =  (/)  ->  ( E. z  e.  D  y  =  ( g `  z )  ->  E. z  e.  D  y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) ) )
5453imp 430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  (/)  /\  E. z  e.  D  y  =  ( g `  z ) )  ->  E. z  e.  D  y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) )
55 ssrexv 3526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D 
C_  ( B  u.  D )  ->  ( E. z  e.  D  y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D ) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) ) )
5646, 54, 55mpsyl 65 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  (/)  /\  E. z  e.  D  y  =  ( g `  z ) )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D )
y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) )
5745, 56sylan2 476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  (/)  /\  ( A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b )  /\  y  e.  C ) )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D )
y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) )
5857anassrs 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  i^i  D )  =  (/)  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) )  /\  y  e.  C )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D ) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) )
5958adantlrl 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  i^i  D )  =  (/)  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) ) )  /\  y  e.  C
)  ->  E. z  e.  ( B  u.  D
) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) )
6038, 59jaodan 792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  i^i  D )  =  (/)  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) ) )  /\  ( y  e.  A  \/  y  e.  C ) )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D )
y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) )
6119, 60sylan2b 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  i^i  D )  =  (/)  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) ) )  /\  y  e.  ( A  u.  C ) )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D
) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) )
6261expl 622 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  i^i  D )  =  (/)  ->  ( ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) )  /\  y  e.  ( A  u.  C
) )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D
) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) ) )
63623ad2ant3 1028 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  -> 
( ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) )  /\  y  e.  ( A  u.  C ) )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D )
y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) ) )
6463impl 624 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D )  =  (/) )  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) ) )  /\  y  e.  ( A  u.  C ) )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D
) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) )
6512, 18, 64wdom2d 8104 . . . . 5  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) ) )  ->  ( A  u.  C )  ~<_*  ( B  u.  D
) )
6665expr 618 . . . 4  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b ) )  -> 
( A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b )  ->  ( A  u.  C )  ~<_*  ( B  u.  D
) ) )
6766exlimdv 1772 . . 3  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b ) )  -> 
( E. g A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b )  ->  ( A  u.  C )  ~<_*  ( B  u.  D ) ) )
685, 67mpd 15 . 2  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b ) )  -> 
( A  u.  C
)  ~<_*  ( B  u.  D
) )
692, 68exlimddv 1774 1  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  -> 
( A  u.  C
)  ~<_*  ( B  u.  D
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772   _Vcvv 3080    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ifcif 3911   class class class wbr 4423   ` cfv 5601    ~<_* cwdom 8081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-wdom 8083
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