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Theorem unwdomg 8022
Description: Weak dominance of a (disjoint) union. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
unwdomg  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  -> 
( A  u.  C
)  ~<_*  ( B  u.  D
) )

Proof of Theorem unwdomg
Dummy variables  a 
b  f  g  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brwdom3i 8021 . . 3  |-  ( A  ~<_*  B  ->  E. f A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b
) )
213ad2ant1 1017 . 2  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  ->  E. f A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b ) )
3 brwdom3i 8021 . . . . 5  |-  ( C  ~<_*  D  ->  E. g A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b
) )
433ad2ant2 1018 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  ->  E. g A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) )
54adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b ) )  ->  E. g A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) )
6 relwdom 8004 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ~<_*
76brrelexi 5046 . . . . . . . . 9  |-  ( A  ~<_*  B  ->  A  e.  _V )
86brrelexi 5046 . . . . . . . . 9  |-  ( C  ~<_*  D  ->  C  e.  _V )
9 unexg 6596 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( A  u.  C
)  e.  _V )
107, 8, 9syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( A  u.  C )  e.  _V )
11103adant3 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  -> 
( A  u.  C
)  e.  _V )
1211adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) ) )  ->  ( A  u.  C )  e.  _V )
136brrelex2i 5047 . . . . . . . . 9  |-  ( A  ~<_*  B  ->  B  e.  _V )
146brrelex2i 5047 . . . . . . . . 9  |-  ( C  ~<_*  D  ->  D  e.  _V )
15 unexg 6596 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  _V  /\  D  e.  _V )  ->  ( B  u.  D
)  e.  _V )
1613, 14, 15syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( B  u.  D )  e.  _V )
17163adant3 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  -> 
( B  u.  D
)  e.  _V )
1817adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) ) )  ->  ( B  u.  D )  e.  _V )
19 elun 3650 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( A  u.  C )  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  C ) )
20 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  y  ->  (
a  =  ( f `
 b )  <->  y  =  ( f `  b
) ) )
2120rexbidv 2978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  y  ->  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  <->  E. b  e.  B  y  =  ( f `  b
) ) )
2221rspcva 3217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b ) )  ->  E. b  e.  B  y  =  ( f `  b ) )
23 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  z  ->  (
f `  b )  =  ( f `  z ) )
2423eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  z  ->  (
y  =  ( f `
 b )  <->  y  =  ( f `  z
) ) )
2524cbvrexv 3094 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. b  e.  B  y  =  ( f `  b )  <->  E. z  e.  B  y  =  ( f `  z
) )
26 ssun1 3672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  B  C_  ( B  u.  D
)
27 iftrue 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  B  ->  if ( z  e.  B ,  f ,  g )  =  f )
2827fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  B  ->  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z )  =  ( f `  z ) )
2928eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  B  ->  (
y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z )  <-> 
y  =  ( f `
 z ) ) )
3029biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  B  ->  (
y  =  ( f `
 z )  -> 
y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) ) )
3130reximia 2933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. z  e.  B  y  =  ( f `  z )  ->  E. z  e.  B  y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) )
32 ssrexv 3570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B 
C_  ( B  u.  D )  ->  ( E. z  e.  B  y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D ) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) ) )
3326, 31, 32mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. z  e.  B  y  =  ( f `  z )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D
) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) )
3425, 33sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. b  e.  B  y  =  ( f `  b )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D
) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) )
3522, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b ) )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D )
y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) )
3635ancoms 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  y  e.  A )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D
) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) )
3736adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) )  /\  y  e.  A )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D
) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) )
3837adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  i^i  D )  =  (/)  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) ) )  /\  y  e.  A
)  ->  E. z  e.  ( B  u.  D
) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) )
39 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  y  ->  (
a  =  ( g `
 b )  <->  y  =  ( g `  b
) ) )
4039rexbidv 2978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  y  ->  ( E. b  e.  D  a  =  ( g `  b )  <->  E. b  e.  D  y  =  ( g `  b
) ) )
41 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  z  ->  (
g `  b )  =  ( g `  z ) )
4241eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  z  ->  (
y  =  ( g `
 b )  <->  y  =  ( g `  z
) ) )
4342cbvrexv 3094 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. b  e.  D  y  =  ( g `  b )  <->  E. z  e.  D  y  =  ( g `  z
) )
4440, 43syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  y  ->  ( E. b  e.  D  a  =  ( g `  b )  <->  E. z  e.  D  y  =  ( g `  z
) ) )
4544rspccva 3218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b )  /\  y  e.  C )  ->  E. z  e.  D  y  =  ( g `  z
) )
46 ssun2 3673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  D  C_  ( B  u.  D
)
47 minel 3887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  D  /\  ( B  i^i  D )  =  (/) )  ->  -.  z  e.  B )
4847ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  (/)  /\  z  e.  D )  ->  -.  z  e.  B )
49 iffalse 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  z  e.  B  ->  if ( z  e.  B ,  f ,  g )  =  g )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  (/)  /\  z  e.  D )  ->  if ( z  e.  B ,  f ,  g )  =  g )
5150fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  (/)  /\  z  e.  D )  ->  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z )  =  ( g `  z ) )
5251eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  (/)  /\  z  e.  D )  ->  (
y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z )  <-> 
y  =  ( g `
 z ) ) )
5352biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  (/)  /\  z  e.  D )  ->  (
y  =  ( g `
 z )  -> 
y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) ) )
5453reximdva 2942 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  i^i  D )  =  (/)  ->  ( E. z  e.  D  y  =  ( g `  z )  ->  E. z  e.  D  y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) ) )
5554imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  (/)  /\  E. z  e.  D  y  =  ( g `  z ) )  ->  E. z  e.  D  y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) )
56 ssrexv 3570 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D 
C_  ( B  u.  D )  ->  ( E. z  e.  D  y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D ) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) ) )
5746, 55, 56mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  (/)  /\  E. z  e.  D  y  =  ( g `  z ) )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D )
y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) )
5845, 57sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  (/)  /\  ( A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b )  /\  y  e.  C ) )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D )
y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) )
5958anassrs 648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  i^i  D )  =  (/)  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) )  /\  y  e.  C )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D ) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) )
6059adantlrl 719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  i^i  D )  =  (/)  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) ) )  /\  y  e.  C
)  ->  E. z  e.  ( B  u.  D
) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) )
6138, 60jaodan 783 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  i^i  D )  =  (/)  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) ) )  /\  ( y  e.  A  \/  y  e.  C ) )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D )
y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) )
6219, 61sylan2b 475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  i^i  D )  =  (/)  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) ) )  /\  y  e.  ( A  u.  C ) )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D
) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) )
6362expl 618 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  i^i  D )  =  (/)  ->  ( ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) )  /\  y  e.  ( A  u.  C
) )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D
) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) ) )
64633ad2ant3 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  -> 
( ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) )  /\  y  e.  ( A  u.  C ) )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D )
y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z ) ) )
6564impl 620 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D )  =  (/) )  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) ) )  /\  y  e.  ( A  u.  C ) )  ->  E. z  e.  ( B  u.  D
) y  =  ( if ( z  e.  B ,  f ,  g ) `  z
) )
6612, 18, 65wdom2d 8018 . . . . 5  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b ) ) )  ->  ( A  u.  C )  ~<_*  ( B  u.  D
) )
6766expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b ) )  -> 
( A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b )  ->  ( A  u.  C )  ~<_*  ( B  u.  D
) ) )
6867exlimdv 1700 . . 3  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b ) )  -> 
( E. g A. a  e.  C  E. b  e.  D  a  =  ( g `  b )  ->  ( A  u.  C )  ~<_*  ( B  u.  D ) ) )
695, 68mpd 15 . 2  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b ) )  -> 
( A  u.  C
)  ~<_*  ( B  u.  D
) )
702, 69exlimddv 1702 1  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D  /\  ( B  i^i  D
)  =  (/) )  -> 
( A  u.  C
)  ~<_*  ( B  u.  D
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118    u. cun 3479    i^i cin 3480    C_ wss 3481   (/)c0 3790   ifcif 3945   class class class wbr 4453   ` cfv 5594    ~<_* cwdom 7995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-wdom 7997
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