Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  untuni Structured version   Unicode version

Theorem untuni 30124
Description: The union of a class is untangled iff all its members are untangled. (Contributed by Scott Fenton, 28-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
untuni  |-  ( A. x  e.  U. A  -.  x  e.  x  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  y  -.  x  e.  x )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem untuni
StepHypRef Expression
1 r19.23v 2912 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  (
x  e.  y  ->  -.  x  e.  x
)  <->  ( E. y  e.  A  x  e.  y  ->  -.  x  e.  x ) )
21albii 1687 . . 3  |-  ( A. x A. y  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  x  e.  x
)  <->  A. x ( E. y  e.  A  x  e.  y  ->  -.  x  e.  x )
)
3 ralcom4 3106 . . 3  |-  ( A. y  e.  A  A. x ( x  e.  y  ->  -.  x  e.  x )  <->  A. x A. y  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  x  e.  x
) )
4 eluni2 4226 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. A  <->  E. y  e.  A  x  e.  y )
54imbi1i 326 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U. A  ->  -.  x  e.  x
)  <->  ( E. y  e.  A  x  e.  y  ->  -.  x  e.  x ) )
65albii 1687 . . 3  |-  ( A. x ( x  e. 
U. A  ->  -.  x  e.  x )  <->  A. x ( E. y  e.  A  x  e.  y  ->  -.  x  e.  x ) )
72, 3, 63bitr4ri 281 . 2  |-  ( A. x ( x  e. 
U. A  ->  -.  x  e.  x )  <->  A. y  e.  A  A. x ( x  e.  y  ->  -.  x  e.  x ) )
8 df-ral 2787 . 2  |-  ( A. x  e.  U. A  -.  x  e.  x  <->  A. x
( x  e.  U. A  ->  -.  x  e.  x ) )
9 df-ral 2787 . . 3  |-  ( A. x  e.  y  -.  x  e.  x  <->  A. x
( x  e.  y  ->  -.  x  e.  x ) )
109ralbii 2863 . 2  |-  ( A. y  e.  A  A. x  e.  y  -.  x  e.  x  <->  A. y  e.  A  A. x
( x  e.  y  ->  -.  x  e.  x ) )
117, 8, 103bitr4i 280 1  |-  ( A. x  e.  U. A  -.  x  e.  x  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  y  -.  x  e.  x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187   A.wal 1435    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   U.cuni 4222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ral 2787  df-rex 2788  df-v 3089  df-uni 4223
This theorem is referenced by:  untangtr  30129  dfon2lem3  30218  dfon2lem7  30222
  Copyright terms: Public domain W3C validator