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Theorem untuni 28832
Description: The union of a class is untangled iff all its members are untangled. (Contributed by Scott Fenton, 28-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
untuni  |-  ( A. x  e.  U. A  -.  x  e.  x  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  y  -.  x  e.  x )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem untuni
StepHypRef Expression
1 r19.23v 2943 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  (
x  e.  y  ->  -.  x  e.  x
)  <->  ( E. y  e.  A  x  e.  y  ->  -.  x  e.  x ) )
21albii 1620 . . 3  |-  ( A. x A. y  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  x  e.  x
)  <->  A. x ( E. y  e.  A  x  e.  y  ->  -.  x  e.  x )
)
3 ralcom4 3132 . . 3  |-  ( A. y  e.  A  A. x ( x  e.  y  ->  -.  x  e.  x )  <->  A. x A. y  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  x  e.  x
) )
4 eluni2 4249 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. A  <->  E. y  e.  A  x  e.  y )
54imbi1i 325 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U. A  ->  -.  x  e.  x
)  <->  ( E. y  e.  A  x  e.  y  ->  -.  x  e.  x ) )
65albii 1620 . . 3  |-  ( A. x ( x  e. 
U. A  ->  -.  x  e.  x )  <->  A. x ( E. y  e.  A  x  e.  y  ->  -.  x  e.  x ) )
72, 3, 63bitr4ri 278 . 2  |-  ( A. x ( x  e. 
U. A  ->  -.  x  e.  x )  <->  A. y  e.  A  A. x ( x  e.  y  ->  -.  x  e.  x ) )
8 df-ral 2819 . 2  |-  ( A. x  e.  U. A  -.  x  e.  x  <->  A. x
( x  e.  U. A  ->  -.  x  e.  x ) )
9 df-ral 2819 . . 3  |-  ( A. x  e.  y  -.  x  e.  x  <->  A. x
( x  e.  y  ->  -.  x  e.  x ) )
109ralbii 2895 . 2  |-  ( A. y  e.  A  A. x  e.  y  -.  x  e.  x  <->  A. y  e.  A  A. x
( x  e.  y  ->  -.  x  e.  x ) )
117, 8, 103bitr4i 277 1  |-  ( A. x  e.  U. A  -.  x  e.  x  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  y  -.  x  e.  x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184   A.wal 1377    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   U.cuni 4245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ral 2819  df-rex 2820  df-v 3115  df-uni 4246
This theorem is referenced by:  untangtr  28837  dfon2lem3  29070  dfon2lem7  29074
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