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Theorem untsucf 30387
Description: If a class is untangled, then so is its successor. (Contributed by Scott Fenton, 28-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
untsucf.1  |-  F/_ y A
Assertion
Ref Expression
untsucf  |-  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  A. y  e.  suc  A  -.  y  e.  y
)
Distinct variable groups:    x, A    x, y
Allowed substitution hint:    A( y)

Proof of Theorem untsucf
StepHypRef Expression
1 untsucf.1 . . 3  |-  F/_ y A
2 nfv 1772 . . 3  |-  F/ y  -.  x  e.  x
31, 2nfral 2786 . 2  |-  F/ y A. x  e.  A  -.  x  e.  x
4 vex 3060 . . . 4  |-  y  e. 
_V
54elsuc 5515 . . 3  |-  ( y  e.  suc  A  <->  ( y  e.  A  \/  y  =  A ) )
6 elequ1 1905 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  <->  y  e.  x ) )
7 elequ2 1912 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  y ) )
86, 7bitrd 261 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  <->  y  e.  y ) )
98notbid 300 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  x  <->  -.  y  e.  y ) )
109rspccv 3159 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  y
) )
11 untelirr 30385 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  -.  A  e.  A )
12 eleq1 2528 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  y  <->  A  e.  y ) )
13 eleq2 2529 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  ( A  e.  y  <->  A  e.  A ) )
1412, 13bitrd 261 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  y  <->  A  e.  A ) )
1514notbid 300 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  ( -.  y  e.  y  <->  -.  A  e.  A ) )
1611, 15syl5ibrcom 230 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  ( y  =  A  ->  -.  y  e.  y
) )
1710, 16jaod 386 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  ( ( y  e.  A  \/  y  =  A
)  ->  -.  y  e.  y ) )
185, 17syl5bi 225 . 2  |-  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  ( y  e.  suc  A  ->  -.  y  e.  y ) )
193, 18ralrimi 2800 1  |-  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  A. y  e.  suc  A  -.  y  e.  y
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 374    = wceq 1455    e. wcel 1898   F/_wnfc 2590   A.wral 2749   suc csuc 5448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ral 2754  df-v 3059  df-un 3421  df-sn 3981  df-suc 5452
This theorem is referenced by:  dfon2lem3  30481
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