Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  untangtr Structured version   Unicode version

Theorem untangtr 27370
Description: A transitive class is untangled iff its elements are. (Contributed by Scott Fenton, 7-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
untangtr  |-  ( Tr  A  ->  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  y ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem untangtr
StepHypRef Expression
1 df-tr 4391 . . . 4  |-  ( Tr  A  <->  U. A  C_  A
)
2 ssralv 3421 . . . 4  |-  ( U. A  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  A. x  e.  U. A  -.  x  e.  x
) )
31, 2sylbi 195 . . 3  |-  ( Tr  A  ->  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  A. x  e.  U. A  -.  x  e.  x
) )
4 elequ1 1759 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  <->  y  e.  x ) )
5 elequ2 1761 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  y ) )
64, 5bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  <->  y  e.  y ) )
76notbid 294 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  x  <->  -.  y  e.  y ) )
87cbvralv 2952 . . . 4  |-  ( A. x  e.  U. A  -.  x  e.  x  <->  A. y  e.  U. A  -.  y  e.  y )
9 untuni 27365 . . . 4  |-  ( A. y  e.  U. A  -.  y  e.  y  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  y )
108, 9bitri 249 . . 3  |-  ( A. x  e.  U. A  -.  x  e.  x  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  y )
113, 10syl6ib 226 . 2  |-  ( Tr  A  ->  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  y )
)
12 untelirr 27364 . . 3  |-  ( A. y  e.  x  -.  y  e.  y  ->  -.  x  e.  x )
1312ralimi 2796 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  y  ->  A. x  e.  A  -.  x  e.  x )
1411, 13impbid1 203 1  |-  ( Tr  A  ->  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184   A.wral 2720    C_ wss 3333   U.cuni 4096   Tr wtr 4390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ral 2725  df-rex 2726  df-v 2979  df-in 3340  df-ss 3347  df-uni 4097  df-tr 4391
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator