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Theorem unprj 14511
Description: Union of two projections of a cartesian product.
Assertion
Ref Expression
unprj |- ((F e. X_x e. B C /\ G e. X_x e. (A \ B)C /\ B C_ A) -> (F u. G) e. X_x e. A C)
Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,F   x,G
Proof of Theorem unprj
StepHypRef Expression
1 unexg 3798 . . . 4 |- ((F e. X_x e. B C /\ G e. X_x e. (A \ B)C) -> (F u. G) e. _V)
213adant3 896 . . 3 |- ((F e. X_x e. B C /\ G e. X_x e. (A \ B)C /\ B C_ A) -> (F u. G) e. _V)
3 elixp2a 14493 . . . . . 6 |- (G e. X_x e. (A \ B)C -> G Fn (A \ B))
4 fnun 4520 . . . . . . . . 9 |- (((F Fn B /\ G Fn (A \ B)) /\ (B i^i (A \ B)) = (/)) -> (F u. G) Fn (B u. (A \ B)))
5 bnj633 12569 . . . . . . . . 9 |- ((G Fn (A \ B) /\ F Fn B /\ B C_ A) -> (F Fn B /\ G Fn (A \ B)))
6 difdisj 2945 . . . . . . . . 9 |- (B i^i (A \ B)) = (/)
74, 5, 6sylancl 525 . . . . . . . 8 |- ((G Fn (A \ B) /\ F Fn B /\ B C_ A) -> (F u. G) Fn (B u. (A \ B)))
8 undif 2954 . . . . . . . . . . . 12 |- (B C_ A <-> (B u. (A \ B)) = A)
98biimpi 168 . . . . . . . . . . 11 |- (B C_ A -> (B u. (A \ B)) = A)
109eqcomd 1889 . . . . . . . . . 10 |- (B C_ A -> A = (B u. (A \ B)))
11103ad2ant3 899 . . . . . . . . 9 |- ((G Fn (A \ B) /\ F Fn B /\ B C_ A) -> A = (B u. (A \ B)))
1211fneq2d 4506 . . . . . . . 8 |- ((G Fn (A \ B) /\ F Fn B /\ B C_ A) -> ((F u. G) Fn A <-> (F u. G) Fn (B u. (A \ B))))
137, 12mpbird 213 . . . . . . 7 |- ((G Fn (A \ B) /\ F Fn B /\ B C_ A) -> (F u. G) Fn A)
14133exp 1066 . . . . . 6 |- (G Fn (A \ B) -> (F Fn B -> (B C_ A -> (F u. G) Fn A)))
153, 14syl 12 . . . . 5 |- (G e. X_x e. (A \ B)C -> (F Fn B -> (B C_ A -> (F u. G) Fn A)))
16 elixp2a 14493 . . . . 5 |- (F e. X_x e. B C -> F Fn B)
1715, 16syl5com 63 . . . 4 |- (F e. X_x e. B C -> (G e. X_x e. (A \ B)C -> (B C_ A -> (F u. G) Fn A)))
18173imp 1061 . . 3 |- ((F e. X_x e. B C /\ G e. X_x e. (A \ B)C /\ B C_ A) -> (F u. G) Fn A)
19 raleq 2266 . . . . . . . . . 10 |- (A = (B u. (A \ B)) -> (A.x e. A ((F` x) u. (G` x)) e. C <-> A.x e. (B u. (A \ B))((F` x) u. (G` x)) e. C))
2019imbi2d 674 . . . . . . . . 9 |- (A = (B u. (A \ B)) -> ((G e. X_x e. (A \ B)C -> A.x e. A ((F` x) u. (G` x)) e. C) <-> (G e. X_x e. (A \ B)C -> A.x e. (B u. (A \ B))((F` x) u. (G` x)) e. C)))
21 ralunb 2784 . . . . . . . . . . 11 |- (A.x e. (B u. (A \ B))((F` x) u. (G` x)) e. C <-> (A.x e. B ((F` x) u. (G` x)) e. C /\ A.x e. (A \ B)((F` x) u. (G` x)) e. C))
22 elixp2b 14494 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (F e. X_x e. B C -> A.x e. B (F` x) e. C)
23 eqtr 1904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((F` x) u. (G` x)) = ((F` x) u. (/)) /\ ((F` x) u. (/)) = (F` x)) -> ((F` x) u. (G` x)) = (F` x))
24 eleq1 1957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((F` x) = ((F` x) u. (G` x)) -> ((F` x) e. C <-> ((F` x) u. (G` x)) e. C))
2524biimpd 170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((F` x) = ((F` x) u. (G` x)) -> ((F` x) e. C -> ((F` x) u. (G` x)) e. C))
2625eqcoms 1887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((F` x) u. (G` x)) = (F` x) -> ((F` x) e. C -> ((F` x) u. (G` x)) e. C))
2723, 26syl 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((F` x) u. (G` x)) = ((F` x) u. (/)) /\ ((F` x) u. (/)) = (F` x)) -> ((F` x) e. C -> ((F` x) u. (G` x)) e. C))
28 uneq2 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((G` x) = (/) -> ((F` x) u. (G` x)) = ((F` x) u. (/)))
29 un0 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((F` x) u. (/)) = (F` x)
3027, 28, 29sylancl 525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((G` x) = (/) -> ((F` x) e. C -> ((F` x) u. (G` x)) e. C))
3130com12 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((F` x) e. C -> ((G` x) = (/) -> ((F` x) u. (G` x)) e. C))
3231ral2imi 2169 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.x e. B (F` x) e. C -> (A.x e. B (G` x) = (/) -> A.x e. B ((F` x) u. (G` x)) e. C))
3322, 32syl 12 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (F e. X_x e. B C -> (A.x e. B (G` x) = (/) -> A.x e. B ((F` x) u. (G` x)) e. C))
34 fndm 4512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (G Fn (A \ B) -> dom G = (A \ B))
35 eleq2 1958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((A \ B) = dom G -> (x e. (A \ B) <-> x e. dom G))
3635notbid 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((A \ B) = dom G -> (-. x e. (A \ B) <-> -. x e. dom G))
3736eqcoms 1887 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (dom G = (A \ B) -> (-. x e. (A \ B) <-> -. x e. dom G))
38 ndmfv 4702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (-. x e. dom G -> (G` x) = (/))
3937, 38syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (dom G = (A \ B) -> (-. x e. (A \ B) -> (G` x) = (/)))
40 elndif 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. B -> -. x e. (A \ B))
4139, 40syl5 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (dom G = (A \ B) -> (x e. B -> (G` x) = (/)))
4234, 41syl 12 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (G Fn (A \ B) -> (x e. B -> (G` x) = (/)))
4342r19.21aiv 2175 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (G Fn (A \ B) -> A.x e. B (G` x) = (/))
4433, 43syl5com 63 . . . . . . . . . . . . 13 |- (G Fn (A \ B) -> (F e. X_x e. B C -> A.x e. B ((F` x) u. (G` x)) e. C))
453, 44syl 12 . . . . . . . . . . . 12 |- (G e. X_x e. (A \ B)C -> (F e. X_x e. B C -> A.x e. B ((F` x) u. (G` x)) e. C))
4645impcom 378 . . . . . . . . . . 11 |- ((F e. X_x e. B C /\ G e. X_x e. (A \ B)C) -> A.x e. B ((F` x) u. (G` x)) e. C)
47 elixp2b 14494 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (G e. X_x e. (A \ B)C -> A.x e. (A \ B)(G` x) e. C)
48 eqtr 1904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((F` x) u. (G` x)) = ((G` x) u. (/)) /\ ((G` x) u. (/)) = (G` x)) -> ((F` x) u. (G` x)) = (G` x))
49 eleq1 1957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((G` x) = ((F` x) u. (G` x)) -> ((G` x) e. C <-> ((F` x) u. (G` x)) e. C))
5049biimpd 170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((G` x) = ((F` x) u. (G` x)) -> ((G` x) e. C -> ((F` x) u. (G` x)) e. C))
5150eqcoms 1887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((F` x) u. (G` x)) = (G` x) -> ((G` x) e. C -> ((F` x) u. (G` x)) e. C))
5248, 51syl 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((F` x) u. (G` x)) = ((G` x) u. (/)) /\ ((G` x) u. (/)) = (G` x)) -> ((G` x) e. C -> ((F` x) u. (G` x)) e. C))
53 eqtr 1904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((F` x) u. (G` x)) = ((/) u. (G` x)) /\ ((/) u. (G` x)) = ((G` x) u. (/))) -> ((F` x) u. (G` x)) = ((G` x) u. (/)))
54 un0 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((G` x) u. (/)) = (G` x)
5552, 53, 54sylancl 525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((F` x) u. (G` x)) = ((/) u. (G` x)) /\ ((/) u. (G` x)) = ((G` x) u. (/))) -> ((G` x) e. C -> ((F` x) u. (G` x)) e. C))
56 uneq1 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((F` x) = (/) -> ((F` x) u. (G` x)) = ((/) u. (G` x)))
57 uncom 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((/) u. (G` x)) = ((G` x) u. (/))
5855, 56, 57sylancl 525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((F` x) = (/) -> ((G` x) e. C -> ((F` x) u. (G` x)) e. C))
5958com12 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((G` x) e. C -> ((F` x) = (/) -> ((F` x) u. (G` x)) e. C))
6059ral2imi 2169 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.x e. (A \ B)(G` x) e. C -> (A.x e. (A \ B)(F` x) = (/) -> A.x e. (A \ B)((F` x) u. (G` x)) e. C))
6147, 60syl 12 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (G e. X_x e. (A \ B)C -> (A.x e. (A \ B)(F` x) = (/) -> A.x e. (A \ B)((F` x) u. (G` x)) e. C))
62 fndm 4512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (F Fn B -> dom F = B)
63 eleq2 1958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (B = dom F -> (x e. B <-> x e. dom F))
6463notbid 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (B = dom F -> (-. x e. B <-> -. x e. dom F))
65 ndmfv 4702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (-. x e. dom F -> (F` x) = (/))
6664, 65syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (B = dom F -> (-. x e. B -> (F` x) = (/)))
6766eqcoms 1887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (dom F = B -> (-. x e. B -> (F` x) = (/)))
6862, 67syl 12 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (F Fn B -> (-. x e. B -> (F` x) = (/)))
69 eldifn 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. (A \ B) -> -. x e. B)
7068, 69syl5 20 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (F Fn B -> (x e. (A \ B) -> (F` x) = (/)))
7170r19.21aiv 2175 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (F Fn B -> A.x e. (A \ B)(F` x) = (/))
7261, 71syl5com 63 . . . . . . . . . . . . 13 |- (F Fn B -> (G e. X_x e. (A \ B)C -> A.x e. (A \ B)((F` x) u. (G` x)) e. C))
7316, 72syl 12 . . . . . . . . . . . 12 |- (F e. X_x e. B C -> (G e. X_x e. (A \ B)C -> A.x e. (A \ B)((F` x) u. (G` x)) e. C))
7473imp 377 . . . . . . . . . . 11 |- ((F e. X_x e. B C /\ G e. X_x e. (A \ B)C) -> A.x e. (A \ B)((F` x) u. (G` x)) e. C)
7521, 46, 74sylanbrc 527 . . . . . . . . . 10 |- ((F e. X_x e. B C /\ G e. X_x e. (A \ B)C) -> A.x e. (B u. (A \ B))((F` x) u. (G` x)) e. C)
7675ex 402 . . . . . . . . 9 |- (F e. X_x e. B C -> (G e. X_x e. (A \ B)C -> A.x e. (B u. (A \ B))((F` x) u. (G` x)) e. C))
7720, 76syl5bir 227 . . . . . . . 8 |- (A = (B u. (A \ B)) -> (F e. X_x e. B C -> (G e. X_x e. (A \ B)C -> A.x e. A ((F` x) u. (G` x)) e. C)))
7877eqcoms 1887 . . . . . . 7 |- ((B u. (A \ B)) = A -> (F e. X_x e. B C -> (G e. X_x e. (A \ B)C -> A.x e. A ((F` x) u. (G` x)) e. C)))
798, 78sylbi 216 . . . . . 6 |- (B C_ A -> (F e. X_x e. B C -> (G e. X_x e. (A \ B)C -> A.x e. A ((F` x) u. (G` x)) e. C)))
8079com3l 38 . . . . 5 |- (F e. X_x e. B C -> (G e. X_x e. (A \ B)C -> (B C_ A -> A.x e. A ((F` x) u. (G` x)) e. C)))
81803imp 1061 . . . 4 |- ((F e. X_x e. B C /\ G e. X_x e. (A \ B)C /\ B C_ A) -> A.x e. A ((F` x) u. (G` x)) e. C)
82 df-fn 4009 . . . . . . . 8 |- (G Fn (A \ B) <-> (Fun G /\ dom G = (A \ B)))
83 df-fn 4009 . . . . . . . . . 10 |- (F Fn B <-> (Fun F /\ dom F = B))
84 ax-17 1317 . . . . . . . . . . . 12 |- (((Fun F /\ dom F = B) /\ (Fun G /\ dom G = (A \ B)) /\ B C_ A) -> A.x((Fun F /\ dom F = B) /\ (Fun G /\ dom G = (A \ B)) /\ B C_ A))
85 simpl 346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((Fun F /\ dom F = B) -> Fun F)
86 simpl 346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((Fun G /\ dom G = (A \ B)) -> Fun G)
8785, 86anim12i 360 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((Fun F /\ dom F = B) /\ (Fun G /\ dom G = (A \ B))) -> (Fun F /\ Fun G))
88873adant3 896 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (((Fun F /\ dom F = B) /\ (Fun G /\ dom G = (A \ B)) /\ B C_ A) -> (Fun F /\ Fun G))
89 ineq12 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((dom F = B /\ dom G = (A \ B)) -> (dom F i^i dom G) = (B i^i (A \ B)))
9089, 6syl6eq 1944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((dom F = B /\ dom G = (A \ B)) -> (dom F i^i dom G) = (/))
9190ad2ant2l 444 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((Fun F /\ dom F = B) /\ (Fun G /\ dom G = (A \ B))) -> (dom F i^i dom G) = (/))
92913adant3 896 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (((Fun F /\ dom F = B) /\ (Fun G /\ dom G = (A \ B)) /\ B C_ A) -> (dom F i^i dom G) = (/))
93 valfunun 14460 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (((Fun F /\ Fun G) /\ (dom F i^i dom G) = (/)) -> ((F u. G)` x) = ((F` x) u. (G` x)))
9488, 92, 93syl11anc 524 . . . . . . . . . . . . 13 |- (((Fun F /\ dom F = B) /\ (Fun G /\ dom G = (A \ B)) /\ B C_ A) -> ((F u. G)` x) = ((F` x) u. (G` x)))
9594eleq1d 1963 . . . . . . . . . . . 12 |- (((Fun F /\ dom F = B) /\ (Fun G /\ dom G = (A \ B)) /\ B C_ A) -> (((F u. G)` x) e. C <-> ((F` x) u. (G` x)) e. C))
9684, 95ralbid 2121 . . . . . . . . . . 11 |- (((Fun F /\ dom F = B) /\ (Fun G /\ dom G = (A \ B)) /\ B C_ A) -> (A.x e. A ((F u. G)` x) e. C <-> A.x e. A ((F` x) u. (G` x)) e. C))
97963exp 1066 . . . . . . . . . 10 |- ((Fun F /\ dom F = B) -> ((Fun G /\ dom G = (A \ B)) -> (B C_ A -> (A.x e. A ((F u. G)` x) e. C <-> A.x e. A ((F` x) u. (G` x)) e. C))))
9883, 97sylbi 216 . . . . . . . . 9 |- (F Fn B -> ((Fun G /\ dom G = (A \ B)) -> (B C_ A -> (A.x e. A ((F u. G)` x) e. C <-> A.x e. A ((F` x) u. (G` x)) e. C))))
9998com12 14 . . . . . . . 8 |- ((Fun G /\ dom G = (A \ B)) -> (F Fn B -> (B C_ A -> (A.x e. A ((F u. G)` x) e. C <-> A.x e. A ((F` x) u. (G` x)) e. C))))
10082, 99sylbi 216 . . . . . . 7 |- (G Fn (A \ B) -> (F Fn B -> (B C_ A -> (A.x e. A ((F u. G)` x) e. C <-> A.x e. A ((F` x) u. (G` x)) e. C))))
1013, 100syl 12 . . . . . 6 |- (G e. X_x e. (A \ B)C -> (F Fn B -> (B C_ A -> (A.x e. A ((F u. G)` x) e. C <-> A.x e. A ((F` x) u. (G` x)) e. C))))
102101, 16syl5com 63 . . . . 5 |- (F e. X_x e. B C -> (G e. X_x e. (A \ B)C -> (B C_ A -> (A.x e. A ((F u. G)` x) e. C <-> A.x e. A ((F` x) u. (G` x)) e. C))))
1031023imp 1061 . . . 4 |- ((F e. X_x e. B C /\ G e. X_x e. (A \ B)C /\ B C_ A) -> (A.x e. A ((F u. G)` x) e. C <-> A.x e. A ((F` x) u. (G` x)) e. C))
10481, 103mpbird 213 . . 3 |- ((F e. X_x e. B C /\ G e. X_x e. (A \ B)C /\ B C_ A) -> A.x e. A ((F u. G)` x) e. C)
1052, 18, 1043jca 1050 . 2 |- ((F e. X_x e. B C /\ G e. X_x e. (A \ B)C /\ B C_ A) -> ((F u. G) e. _V /\ (F u. G) Fn A /\ A.x e. A ((F u. G)` x) e. C))
106 elixp2 5408 . 2 |- ((F u. G) e. X_x e. A C <-> ((F u. G) e. _V /\ (F u. G) Fn A /\ A.x e. A ((F u. G)` x) e. C))
107105, 106sylibr 217 1 |- ((F e. X_x e. B C /\ G e. X_x e. (A \ B)C /\ B C_ A) -> (F u. G) e. X_x e. A C)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292   \ cdif 2590   u. cun 2591   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  dom cdm 3986  Fun wfun 3992   Fn wfn 3993  ` cfv 3998  X_cixp 5406
This theorem is referenced by:  prl 14512
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-ixp 5407
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