Theorem unpreima 15683

Description: Preimage of a union.

Assertion

Ref	Expression
unpreima	|- (Fun F -> (`'F"(A u. B)) = ((`'F"A) u. (`'F"B)))

Proof of Theorem unpreima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 4451	. 2 |- (Fun F <-> F Fn dom F)
2		elun 2741	. . . . . . 7 |- ((F` x) e. (A u. B) <-> ((F` x) e. A \/ (F` x) e. B))
3	2	anbi2i 538	. . . . . 6 |- ((x e. dom F /\ (F` x) e. (A u. B)) <-> (x e. dom F /\ ((F` x) e. A \/ (F` x) e. B)))
4		andi 665	. . . . . 6 |- ((x e. dom F /\ ((F` x) e. A \/ (F` x) e. B)) <-> ((x e. dom F /\ (F` x) e. A) \/ (x e. dom F /\ (F` x) e. B)))
5	3, 4	bitri 190	. . . . 5 |- ((x e. dom F /\ (F` x) e. (A u. B)) <-> ((x e. dom F /\ (F` x) e. A) \/ (x e. dom F /\ (F` x) e. B)))
6	5	a1i 8	. . . 4 |- (F Fn dom F -> ((x e. dom F /\ (F` x) e. (A u. B)) <-> ((x e. dom F /\ (F` x) e. A) \/ (x e. dom F /\ (F` x) e. B))))
7		elpreima 10161	. . . 4 |- (F Fn dom F -> (x e. (`'F"(A u. B)) <-> (x e. dom F /\ (F` x) e. (A u. B))))
8		elpreima 10161	. . . . . 6 |- (F Fn dom F -> (x e. (`'F"A) <-> (x e. dom F /\ (F` x) e. A)))
9		elpreima 10161	. . . . . 6 |- (F Fn dom F -> (x e. (`'F"B) <-> (x e. dom F /\ (F` x) e. B)))
10	8, 9	orbi12d 689	. . . . 5 |- (F Fn dom F -> ((x e. (`'F"A) \/ x e. (`'F"B)) <-> ((x e. dom F /\ (F` x) e. A) \/ (x e. dom F /\ (F` x) e. B))))
11		elun 2741	. . . . 5 |- (x e. ((`'F"A) u. (`'F"B)) <-> (x e. (`'F"A) \/ x e. (`'F"B)))
12	10, 11	syl5bb 591	. . . 4 |- (F Fn dom F -> (x e. ((`'F"A) u. (`'F"B)) <-> ((x e. dom F /\ (F` x) e. A) \/ (x e. dom F /\ (F` x) e. B))))
13	6, 7, 12	3bitr4d 609	. . 3 |- (F Fn dom F -> (x e. (`'F"(A u. B)) <-> x e. ((`'F"A) u. (`'F"B))))
14	13	eqrdv 1882	. 2 |- (F Fn dom F -> (`'F"(A u. B)) = ((`'F"A) u. (`'F"B)))
15	1, 14	sylbi 216	1 |- (Fun F -> (`'F"(A u. B)) = ((`'F"A) u. (`'F"B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   u. cun 2591  `'ccnv 3985  dom cdm 3986  "cima 3989  Fun wfun 3992   Fn wfn 3993  ` cfv 3998

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain