Theorem unpde2eg22 14407

Description: If an unordered pair has two elements they are different.

Assertion

Ref	Expression
unpde2eg22	|- ((A e. C /\ B e. D) -> ({A, B} ~~ 2o <-> A =/= B))

Proof of Theorem unpde2eg22

Step	Hyp	Ref	Expression
1		boe 14350	. . . . . . . 8 |- (A e. C -> {A, A} ~~ 1o)
2		prex 3526	. . . . . . . . . . . 12 |- {A, B} e. _V
3		eqeng 5451	. . . . . . . . . . . 12 |- ({A, B} e. _V -> ({A, B} = {A, A} -> {A, B} ~~ {A, A}))
4	2, 3	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- ({A, B} = {A, A} -> {A, B} ~~ {A, A})
5		entr 5473	. . . . . . . . . . . . 13 |- (({A, B} ~~ {A, A} /\ {A, A} ~~ 1o) -> {A, B} ~~ 1o)
6		1sdom2 5619	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1o ~< 2o
7		sdomnen 5446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (1o ~< 2o -> -. 1o ~~ 2o)
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. 1o ~~ 2o
9		1on 5182	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1o e. On
10	9	elisseti 2301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1o e. _V
11	10	ensym 5471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ({A, B} ~~ 1o -> 1o ~~ {A, B})
12		entr 5473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((1o ~~ {A, B} /\ {A, B} ~~ 2o) -> 1o ~~ 2o)
13	12	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (1o ~~ {A, B} -> ({A, B} ~~ 2o -> 1o ~~ 2o))
14	11, 13	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ({A, B} ~~ 1o -> ({A, B} ~~ 2o -> 1o ~~ 2o))
15	8, 14	mtoi 122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ({A, B} ~~ 1o -> -. {A, B} ~~ 2o)
16	15	a1d 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ({A, B} ~~ 1o -> ((A e. C /\ B e. D) -> -. {A, B} ~~ 2o))
17	5, 16	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (({A, B} ~~ {A, A} /\ {A, A} ~~ 1o) -> ((A e. C /\ B e. D) -> -. {A, B} ~~ 2o))
18	17	ex 402	. . . . . . . . . . 11 |- ({A, B} ~~ {A, A} -> ({A, A} ~~ 1o -> ((A e. C /\ B e. D) -> -. {A, B} ~~ 2o)))
19	4, 18	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- ({A, B} = {A, A} -> ({A, A} ~~ 1o -> ((A e. C /\ B e. D) -> -. {A, B} ~~ 2o)))
20	19	com12 14	. . . . . . . . 9 |- ({A, A} ~~ 1o -> ({A, B} = {A, A} -> ((A e. C /\ B e. D) -> -. {A, B} ~~ 2o)))
21	20	a1dd 53	. . . . . . . 8 |- ({A, A} ~~ 1o -> ({A, B} = {A, A} -> (B e. D -> ((A e. C /\ B e. D) -> -. {A, B} ~~ 2o))))
22	1, 21	syl 12	. . . . . . 7 |- (A e. C -> ({A, B} = {A, A} -> (B e. D -> ((A e. C /\ B e. D) -> -. {A, B} ~~ 2o))))
23	22	com23 36	. . . . . 6 |- (A e. C -> (B e. D -> ({A, B} = {A, A} -> ((A e. C /\ B e. D) -> -. {A, B} ~~ 2o))))
24	23	imp 377	. . . . 5 |- ((A e. C /\ B e. D) -> ({A, B} = {A, A} -> ((A e. C /\ B e. D) -> -. {A, B} ~~ 2o)))
25	24	pm2.43a 80	. . . 4 |- ((A e. C /\ B e. D) -> ({A, B} = {A, A} -> -. {A, B} ~~ 2o))
26		preq2 3099	. . . . 5 |- (B = A -> {A, B} = {A, A})
27	26	eqcoms 1887	. . . 4 |- (A = B -> {A, B} = {A, A})
28	25, 27	syl5 20	. . 3 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (A = B -> -. {A, B} ~~ 2o))
29	28	necon2ad 2055	. 2 |- ((A e. C /\ B e. D) -> ({A, B} ~~ 2o -> A =/= B))
30		unpde2eg2 14406	. . 3 |- ((A e. C /\ B e. D /\ A =/= B) -> {A, B} ~~ 2o)
31	30	3expia 1069	. 2 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (A =/= B -> {A, B} ~~ 2o))
32	29, 31	impbid 574	1 |- ((A e. C /\ B e. D) -> ({A, B} ~~ 2o <-> A =/= B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  _Vcvv 2292  {cpr 3045   class class class wbr 3338  Oncon0 3657  1oc1o 5172  2oc2o 5173   ~~ cen 5423   ~< csdm 5425

This theorem is referenced by:  unpam2 14424

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-1o 5177  df-2o 5178  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429

Copyright terms: Public domain