Theorem unpam2 14424

Description: An unordered pair has at most two elements.

Assertion

Ref	Expression
unpam2	|- ((A e. C /\ B e. D) -> {A, B} ~<_ 2o)

Proof of Theorem unpam2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq2 3099	. . . . . 6 |- (B = A -> {A, B} = {A, A})
2	1	breq1d 3348	. . . . 5 |- (B = A -> ({A, B} ~<_ 2o <-> {A, A} ~<_ 2o))
3		ensn1g 5484	. . . . . . 7 |- (A e. C -> {A} ~~ 1o)
4		domsdomtr 5539	. . . . . . . . 9 |- (({A} ~<_ 1o /\ 1o ~< 2o) -> {A} ~< 2o)
5		sdomdom 5445	. . . . . . . . 9 |- ({A} ~< 2o -> {A} ~<_ 2o)
6	4, 5	syl 12	. . . . . . . 8 |- (({A} ~<_ 1o /\ 1o ~< 2o) -> {A} ~<_ 2o)
7		endom 5444	. . . . . . . 8 |- ({A} ~~ 1o -> {A} ~<_ 1o)
8		1sdom2 5619	. . . . . . . 8 |- 1o ~< 2o
9	6, 7, 8	sylancl 525	. . . . . . 7 |- ({A} ~~ 1o -> {A} ~<_ 2o)
10	3, 9	syl 12	. . . . . 6 |- (A e. C -> {A} ~<_ 2o)
11		dfsn2 3057	. . . . . 6 |- {A} = {A, A}
12	10, 11	syl5eqbrr 3371	. . . . 5 |- (A e. C -> {A, A} ~<_ 2o)
13	2, 12	syl5bir 227	. . . 4 |- (B = A -> (A e. C -> {A, B} ~<_ 2o))
14	13	eqcoms 1887	. . 3 |- (A = B -> (A e. C -> {A, B} ~<_ 2o))
15	14	adantrd 427	. 2 |- (A = B -> ((A e. C /\ B e. D) -> {A, B} ~<_ 2o))
16		unpde2eg22 14407	. . . 4 |- ((A e. C /\ B e. D) -> ({A, B} ~~ 2o <-> A =/= B))
17	16	biimprd 171	. . 3 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (A =/= B -> {A, B} ~~ 2o))
18		endom 5444	. . 3 |- ({A, B} ~~ 2o -> {A, B} ~<_ 2o)
19	17, 18	syl6com 64	. 2 |- (A =/= B -> ((A e. C /\ B e. D) -> {A, B} ~<_ 2o))
20	15, 19	pm2.61ine 2089	1 |- ((A e. C /\ B e. D) -> {A, B} ~<_ 2o)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  {csn 3044  {cpr 3045   class class class wbr 3338  1oc1o 5172  2oc2o 5173   ~~ cen 5423   ~<_ cdom 5424   ~< csdm 5425

This theorem is referenced by:  tarunpa 15235

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-1o 5177  df-2o 5178  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429

Copyright terms: Public domain