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Theorem unopf1o 26658
Description: A unitary operator in Hilbert space is one-to-one and onto. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
unopf1o  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
-1-1-onto-> ~H )

Proof of Theorem unopf1o
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elunop 26614 . . . . 5  |-  ( T  e.  UniOp 
<->  ( T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `  x )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( x 
.ih  y ) ) )
21simplbi 460 . . . 4  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H -onto-> ~H )
3 fof 5801 . . . 4  |-  ( T : ~H -onto-> ~H  ->  T : ~H --> ~H )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
--> ~H )
5 unop 26657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  x  e. 
~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) )  =  ( x  .ih  x
) )
653anidm23 1287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) )  =  ( x  .ih  x
) )
763adant3 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) )  =  ( x  .ih  x
) )
8 unop 26657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( y  .ih  y
) )
983anidm23 1287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( y  .ih  y
) )
1093adant2 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( y  .ih  y
) )
117, 10oveq12d 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( ( T `  x )  .ih  ( T `  x )
)  +  ( ( T `  y ) 
.ih  ( T `  y ) ) )  =  ( ( x 
.ih  x )  +  ( y  .ih  y
) ) )
12 unop 26657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( x  .ih  y
) )
13 unop 26657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H  /\  x  e. 
~H )  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  x ) )  =  ( y  .ih  x
) )
14133com23 1202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  x ) )  =  ( y  .ih  x
) )
1512, 14oveq12d 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( ( T `  x )  .ih  ( T `  y )
)  +  ( ( T `  y ) 
.ih  ( T `  x ) ) )  =  ( ( x 
.ih  y )  +  ( y  .ih  x
) ) )
1611, 15oveq12d 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( ( ( T `
 x )  .ih  ( T `  x ) )  +  ( ( T `  y ) 
.ih  ( T `  y ) ) )  -  ( ( ( T `  x ) 
.ih  ( T `  y ) )  +  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  x )
) ) )  =  ( ( ( x 
.ih  x )  +  ( y  .ih  y
) )  -  (
( x  .ih  y
)  +  ( y 
.ih  x ) ) ) )
17163expb 1197 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( T `  x )  .ih  ( T `  x )
)  +  ( ( T `  y ) 
.ih  ( T `  y ) ) )  -  ( ( ( T `  x ) 
.ih  ( T `  y ) )  +  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  x )
) ) )  =  ( ( ( x 
.ih  x )  +  ( y  .ih  y
) )  -  (
( x  .ih  y
)  +  ( y 
.ih  x ) ) ) )
18 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x
)  e.  ~H )
19 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  y
)  e.  ~H )
2018, 19anim12dan 835 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  x )  e.  ~H  /\  ( T `
 y )  e. 
~H ) )
214, 20sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  x )  e.  ~H  /\  ( T `
 y )  e. 
~H ) )
22 normlem9at 25861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( ( ( T `
 x )  -h  ( T `  y
) )  .ih  (
( T `  x
)  -h  ( T `
 y ) ) )  =  ( ( ( ( T `  x )  .ih  ( T `  x )
)  +  ( ( T `  y ) 
.ih  ( T `  y ) ) )  -  ( ( ( T `  x ) 
.ih  ( T `  y ) )  +  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  x )
) ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( T `  x
)  -h  ( T `
 y ) ) 
.ih  ( ( T `
 x )  -h  ( T `  y
) ) )  =  ( ( ( ( T `  x ) 
.ih  ( T `  x ) )  +  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  y )
) )  -  (
( ( T `  x )  .ih  ( T `  y )
)  +  ( ( T `  y ) 
.ih  ( T `  x ) ) ) ) )
24 normlem9at 25861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( x  -h  y )  .ih  (
x  -h  y ) )  =  ( ( ( x  .ih  x
)  +  ( y 
.ih  y ) )  -  ( ( x 
.ih  y )  +  ( y  .ih  x
) ) ) )
2524adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
x  -h  y ) 
.ih  ( x  -h  y ) )  =  ( ( ( x 
.ih  x )  +  ( y  .ih  y
) )  -  (
( x  .ih  y
)  +  ( y 
.ih  x ) ) ) )
2617, 23, 253eqtr4rd 2519 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
x  -h  y ) 
.ih  ( x  -h  y ) )  =  ( ( ( T `
 x )  -h  ( T `  y
) )  .ih  (
( T `  x
)  -h  ( T `
 y ) ) ) )
2726eqeq1d 2469 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( x  -h  y
)  .ih  ( x  -h  y ) )  =  0  <->  ( ( ( T `  x )  -h  ( T `  y ) )  .ih  ( ( T `  x )  -h  ( T `  y )
) )  =  0 ) )
28 hvsubcl 25757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  -h  y
)  e.  ~H )
29 his6 25839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  -h  y )  e.  ~H  ->  (
( ( x  -h  y )  .ih  (
x  -h  y ) )  =  0  <->  (
x  -h  y )  =  0h ) )
3028, 29syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( x  -h  y )  .ih  ( x  -h  y
) )  =  0  <-> 
( x  -h  y
)  =  0h )
)
31 hvsubeq0 25808 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( x  -h  y )  =  0h  <->  x  =  y ) )
3230, 31bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( x  -h  y )  .ih  ( x  -h  y
) )  =  0  <-> 
x  =  y ) )
3332adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( x  -h  y
)  .ih  ( x  -h  y ) )  =  0  <->  x  =  y
) )
34 hvsubcl 25757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( ( T `  x )  -h  ( T `  y )
)  e.  ~H )
35 his6 25839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T `  x
)  -h  ( T `
 y ) )  e.  ~H  ->  (
( ( ( T `
 x )  -h  ( T `  y
) )  .ih  (
( T `  x
)  -h  ( T `
 y ) ) )  =  0  <->  (
( T `  x
)  -h  ( T `
 y ) )  =  0h ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( ( ( ( T `  x )  -h  ( T `  y ) )  .ih  ( ( T `  x )  -h  ( T `  y )
) )  =  0  <-> 
( ( T `  x )  -h  ( T `  y )
)  =  0h )
)
37 hvsubeq0 25808 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( ( ( T `
 x )  -h  ( T `  y
) )  =  0h  <->  ( T `  x )  =  ( T `  y ) ) )
3836, 37bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( ( ( ( T `  x )  -h  ( T `  y ) )  .ih  ( ( T `  x )  -h  ( T `  y )
) )  =  0  <-> 
( T `  x
)  =  ( T `
 y ) ) )
3921, 38syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( T `  x )  -h  ( T `  y )
)  .ih  ( ( T `  x )  -h  ( T `  y
) ) )  =  0  <->  ( T `  x )  =  ( T `  y ) ) )
4027, 33, 393bitr3rd 284 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  x )  =  ( T `  y )  <->  x  =  y ) )
4140biimpd 207 . . . 4  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  x )  =  ( T `  y )  ->  x  =  y ) )
4241ralrimivva 2888 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( T `
 x )  =  ( T `  y
)  ->  x  =  y ) )
43 dff13 6165 . . 3  |-  ( T : ~H -1-1-> ~H  <->  ( T : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( T `
 x )  =  ( T `  y
)  ->  x  =  y ) ) )
444, 42, 43sylanbrc 664 . 2  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
-1-1-> ~H )
45 df-f1o 5601 . 2  |-  ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  <->  ( T : ~H
-1-1-> ~H  /\  T : ~H -onto-> ~H ) )
4644, 2, 45sylanbrc 664 1  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
-1-1-onto-> ~H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   -onto->wfo 5592   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   0cc0 9504    + caddc 9507    - cmin 9817   ~Hchil 25659    .ih csp 25662   0hc0v 25664    -h cmv 25665   UniOpcuo 25689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-hilex 25739  ax-hfvadd 25740  ax-hvcom 25741  ax-hvass 25742  ax-hv0cl 25743  ax-hvaddid 25744  ax-hfvmul 25745  ax-hvmulid 25746  ax-hvdistr2 25749  ax-hvmul0 25750  ax-hfi 25819  ax-his1 25822  ax-his2 25823  ax-his3 25824  ax-his4 25825
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-2 10606  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-hvsub 25711  df-unop 26585
This theorem is referenced by:  unopnorm  26659  cnvunop  26660  unopadj  26661  unoplin  26662  counop  26663  unopbd  26757
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