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Theorem unopf1o 25492
Description: A unitary operator in Hilbert space is one-to-one and onto. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
unopf1o  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
-1-1-onto-> ~H )

Proof of Theorem unopf1o
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elunop 25448 . . . . 5  |-  ( T  e.  UniOp 
<->  ( T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `  x )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( x 
.ih  y ) ) )
21simplbi 460 . . . 4  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H -onto-> ~H )
3 fof 5731 . . . 4  |-  ( T : ~H -onto-> ~H  ->  T : ~H --> ~H )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
--> ~H )
5 unop 25491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  x  e. 
~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) )  =  ( x  .ih  x
) )
653anidm23 1278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) )  =  ( x  .ih  x
) )
763adant3 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) )  =  ( x  .ih  x
) )
8 unop 25491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( y  .ih  y
) )
983anidm23 1278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( y  .ih  y
) )
1093adant2 1007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( y  .ih  y
) )
117, 10oveq12d 6221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( ( T `  x )  .ih  ( T `  x )
)  +  ( ( T `  y ) 
.ih  ( T `  y ) ) )  =  ( ( x 
.ih  x )  +  ( y  .ih  y
) ) )
12 unop 25491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( x  .ih  y
) )
13 unop 25491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H  /\  x  e. 
~H )  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  x ) )  =  ( y  .ih  x
) )
14133com23 1194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  x ) )  =  ( y  .ih  x
) )
1512, 14oveq12d 6221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( ( T `  x )  .ih  ( T `  y )
)  +  ( ( T `  y ) 
.ih  ( T `  x ) ) )  =  ( ( x 
.ih  y )  +  ( y  .ih  x
) ) )
1611, 15oveq12d 6221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( ( ( T `
 x )  .ih  ( T `  x ) )  +  ( ( T `  y ) 
.ih  ( T `  y ) ) )  -  ( ( ( T `  x ) 
.ih  ( T `  y ) )  +  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  x )
) ) )  =  ( ( ( x 
.ih  x )  +  ( y  .ih  y
) )  -  (
( x  .ih  y
)  +  ( y 
.ih  x ) ) ) )
17163expb 1189 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( T `  x )  .ih  ( T `  x )
)  +  ( ( T `  y ) 
.ih  ( T `  y ) ) )  -  ( ( ( T `  x ) 
.ih  ( T `  y ) )  +  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  x )
) ) )  =  ( ( ( x 
.ih  x )  +  ( y  .ih  y
) )  -  (
( x  .ih  y
)  +  ( y 
.ih  x ) ) ) )
18 ffvelrn 5953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x
)  e.  ~H )
19 ffvelrn 5953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  y
)  e.  ~H )
2018, 19anim12dan 833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  x )  e.  ~H  /\  ( T `
 y )  e. 
~H ) )
214, 20sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  x )  e.  ~H  /\  ( T `
 y )  e. 
~H ) )
22 normlem9at 24695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( ( ( T `
 x )  -h  ( T `  y
) )  .ih  (
( T `  x
)  -h  ( T `
 y ) ) )  =  ( ( ( ( T `  x )  .ih  ( T `  x )
)  +  ( ( T `  y ) 
.ih  ( T `  y ) ) )  -  ( ( ( T `  x ) 
.ih  ( T `  y ) )  +  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  x )
) ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( T `  x
)  -h  ( T `
 y ) ) 
.ih  ( ( T `
 x )  -h  ( T `  y
) ) )  =  ( ( ( ( T `  x ) 
.ih  ( T `  x ) )  +  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  y )
) )  -  (
( ( T `  x )  .ih  ( T `  y )
)  +  ( ( T `  y ) 
.ih  ( T `  x ) ) ) ) )
24 normlem9at 24695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( x  -h  y )  .ih  (
x  -h  y ) )  =  ( ( ( x  .ih  x
)  +  ( y 
.ih  y ) )  -  ( ( x 
.ih  y )  +  ( y  .ih  x
) ) ) )
2524adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
x  -h  y ) 
.ih  ( x  -h  y ) )  =  ( ( ( x 
.ih  x )  +  ( y  .ih  y
) )  -  (
( x  .ih  y
)  +  ( y 
.ih  x ) ) ) )
2617, 23, 253eqtr4rd 2506 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
x  -h  y ) 
.ih  ( x  -h  y ) )  =  ( ( ( T `
 x )  -h  ( T `  y
) )  .ih  (
( T `  x
)  -h  ( T `
 y ) ) ) )
2726eqeq1d 2456 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( x  -h  y
)  .ih  ( x  -h  y ) )  =  0  <->  ( ( ( T `  x )  -h  ( T `  y ) )  .ih  ( ( T `  x )  -h  ( T `  y )
) )  =  0 ) )
28 hvsubcl 24591 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  -h  y
)  e.  ~H )
29 his6 24673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  -h  y )  e.  ~H  ->  (
( ( x  -h  y )  .ih  (
x  -h  y ) )  =  0  <->  (
x  -h  y )  =  0h ) )
3028, 29syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( x  -h  y )  .ih  ( x  -h  y
) )  =  0  <-> 
( x  -h  y
)  =  0h )
)
31 hvsubeq0 24642 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( x  -h  y )  =  0h  <->  x  =  y ) )
3230, 31bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( x  -h  y )  .ih  ( x  -h  y
) )  =  0  <-> 
x  =  y ) )
3332adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( x  -h  y
)  .ih  ( x  -h  y ) )  =  0  <->  x  =  y
) )
34 hvsubcl 24591 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( ( T `  x )  -h  ( T `  y )
)  e.  ~H )
35 his6 24673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T `  x
)  -h  ( T `
 y ) )  e.  ~H  ->  (
( ( ( T `
 x )  -h  ( T `  y
) )  .ih  (
( T `  x
)  -h  ( T `
 y ) ) )  =  0  <->  (
( T `  x
)  -h  ( T `
 y ) )  =  0h ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( ( ( ( T `  x )  -h  ( T `  y ) )  .ih  ( ( T `  x )  -h  ( T `  y )
) )  =  0  <-> 
( ( T `  x )  -h  ( T `  y )
)  =  0h )
)
37 hvsubeq0 24642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( ( ( T `
 x )  -h  ( T `  y
) )  =  0h  <->  ( T `  x )  =  ( T `  y ) ) )
3836, 37bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( ( ( ( T `  x )  -h  ( T `  y ) )  .ih  ( ( T `  x )  -h  ( T `  y )
) )  =  0  <-> 
( T `  x
)  =  ( T `
 y ) ) )
3921, 38syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( T `  x )  -h  ( T `  y )
)  .ih  ( ( T `  x )  -h  ( T `  y
) ) )  =  0  <->  ( T `  x )  =  ( T `  y ) ) )
4027, 33, 393bitr3rd 284 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  x )  =  ( T `  y )  <->  x  =  y ) )
4140biimpd 207 . . . 4  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  x )  =  ( T `  y )  ->  x  =  y ) )
4241ralrimivva 2914 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( T `
 x )  =  ( T `  y
)  ->  x  =  y ) )
43 dff13 6083 . . 3  |-  ( T : ~H -1-1-> ~H  <->  ( T : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( T `
 x )  =  ( T `  y
)  ->  x  =  y ) ) )
444, 42, 43sylanbrc 664 . 2  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
-1-1-> ~H )
45 df-f1o 5536 . 2  |-  ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  <->  ( T : ~H
-1-1-> ~H  /\  T : ~H -onto-> ~H ) )
4644, 2, 45sylanbrc 664 1  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
-1-1-onto-> ~H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   -->wf 5525   -1-1->wf1 5526   -onto->wfo 5527   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   0cc0 9396    + caddc 9399    - cmin 9709   ~Hchil 24493    .ih csp 24496   0hc0v 24498    -h cmv 24499   UniOpcuo 24523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-hilex 24573  ax-hfvadd 24574  ax-hvcom 24575  ax-hvass 24576  ax-hv0cl 24577  ax-hvaddid 24578  ax-hfvmul 24579  ax-hvmulid 24580  ax-hvdistr2 24583  ax-hvmul0 24584  ax-hfi 24653  ax-his1 24656  ax-his2 24657  ax-his3 24658  ax-his4 24659
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-2 10494  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-hvsub 24545  df-unop 25419
This theorem is referenced by:  unopnorm  25493  cnvunop  25494  unopadj  25495  unoplin  25496  counop  25497  unopbd  25591
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