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Theorem unocv 18506
Description: The orthocomplement of a union. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
inocv.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
Assertion
Ref Expression
unocv  |-  (  ._|_  `  ( A  u.  B
) )  =  ( (  ._|_  `  A )  i^i  (  ._|_  `  B
) )

Proof of Theorem unocv
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unss 3678 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ( Base `  W )  /\  B  C_  ( Base `  W
) )  <->  ( A  u.  B )  C_  ( Base `  W ) )
21bicomi 202 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  B ) 
C_  ( Base `  W
)  <->  ( A  C_  ( Base `  W )  /\  B  C_  ( Base `  W ) ) )
3 ralunb 3685 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( A  u.  B ) ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  ( A. y  e.  A  (
z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
42, 3anbi12i 697 . . . . 5  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  ( A  u.  B ) ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
( ( A  C_  ( Base `  W )  /\  B  C_  ( Base `  W ) )  /\  ( A. y  e.  A  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
5 an4 822 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ( Base `  W )  /\  B  C_  ( Base `  W
) )  /\  ( A. y  e.  A  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )  <->  ( ( A 
C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  A  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( B  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) ) )
64, 5bitri 249 . . . 4  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  ( A  u.  B ) ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
( ( A  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  A  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )  /\  ( B  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
76anbi2i 694 . . 3  |-  ( ( z  e.  ( Base `  W )  /\  (
( A  u.  B
)  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  ( A  u.  B ) ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )  <->  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  ( ( A  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  A  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( B  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) ) ) )
8 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
9 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
10 eqid 2467 . . . . 5  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
11 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
12 inocv.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
138, 9, 10, 11, 12elocv 18494 . . . 4  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  ( A  u.  B )
)  <->  ( ( A  u.  B )  C_  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  ( A  u.  B ) ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
14 3anan12 986 . . . 4  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  ( A  u.  B
) ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
( z  e.  (
Base `  W )  /\  ( ( A  u.  B )  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  ( A  u.  B ) ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
1513, 14bitri 249 . . 3  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  ( A  u.  B )
)  <->  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  ( ( A  u.  B )  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  ( A  u.  B
) ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
168, 9, 10, 11, 12elocv 18494 . . . . . 6  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  A
)  <->  ( A  C_  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  A  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
17 3anan12 986 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  A  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
( z  e.  (
Base `  W )  /\  ( A  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  A  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
1816, 17bitri 249 . . . . 5  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  A
)  <->  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  ( A  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  A  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
198, 9, 10, 11, 12elocv 18494 . . . . . 6  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  B
)  <->  ( B  C_  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
20 3anan12 986 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
( z  e.  (
Base `  W )  /\  ( B  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
2119, 20bitri 249 . . . . 5  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  B
)  <->  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  ( B  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
2218, 21anbi12i 697 . . . 4  |-  ( ( z  e.  (  ._|_  `  A )  /\  z  e.  (  ._|_  `  B
) )  <->  ( (
z  e.  ( Base `  W )  /\  ( A  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  A  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  ( B  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) ) )
23 elin 3687 . . . 4  |-  ( z  e.  ( (  ._|_  `  A )  i^i  (  ._|_  `  B ) )  <-> 
( z  e.  ( 
._|_  `  A )  /\  z  e.  (  ._|_  `  B ) ) )
24 anandi 826 . . . 4  |-  ( ( z  e.  ( Base `  W )  /\  (
( A  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  A  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( B 
C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )  <->  ( (
z  e.  ( Base `  W )  /\  ( A  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  A  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  ( B  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) ) )
2522, 23, 243bitr4i 277 . . 3  |-  ( z  e.  ( (  ._|_  `  A )  i^i  (  ._|_  `  B ) )  <-> 
( z  e.  (
Base `  W )  /\  ( ( A  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  A  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )  /\  ( B  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) ) )
267, 15, 253bitr4i 277 . 2  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  ( A  u.  B )
)  <->  z  e.  ( (  ._|_  `  A )  i^i  (  ._|_  `  B
) ) )
2726eqriv 2463 1  |-  (  ._|_  `  ( A  u.  B
) )  =  ( (  ._|_  `  A )  i^i  (  ._|_  `  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490  Scalarcsca 14558   .icip 14560   0gc0g 14695   ocvcocv 18486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6287  df-ocv 18489
This theorem is referenced by:  cssincl  18514
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