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Theorem unocv 19174
Description: The orthocomplement of a union. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
inocv.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
Assertion
Ref Expression
unocv  |-  (  ._|_  `  ( A  u.  B
) )  =  ( (  ._|_  `  A )  i^i  (  ._|_  `  B
) )

Proof of Theorem unocv
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unss 3646 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ( Base `  W )  /\  B  C_  ( Base `  W
) )  <->  ( A  u.  B )  C_  ( Base `  W ) )
21bicomi 205 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  B ) 
C_  ( Base `  W
)  <->  ( A  C_  ( Base `  W )  /\  B  C_  ( Base `  W ) ) )
3 ralunb 3653 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( A  u.  B ) ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  ( A. y  e.  A  (
z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
42, 3anbi12i 701 . . . . 5  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  ( A  u.  B ) ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
( ( A  C_  ( Base `  W )  /\  B  C_  ( Base `  W ) )  /\  ( A. y  e.  A  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
5 an4 831 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ( Base `  W )  /\  B  C_  ( Base `  W
) )  /\  ( A. y  e.  A  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )  <->  ( ( A 
C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  A  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( B  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) ) )
64, 5bitri 252 . . . 4  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  ( A  u.  B ) ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
( ( A  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  A  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )  /\  ( B  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
76anbi2i 698 . . 3  |-  ( ( z  e.  ( Base `  W )  /\  (
( A  u.  B
)  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  ( A  u.  B ) ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )  <->  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  ( ( A  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  A  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( B  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) ) ) )
8 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
9 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
10 eqid 2429 . . . . 5  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
11 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
12 inocv.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
138, 9, 10, 11, 12elocv 19162 . . . 4  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  ( A  u.  B )
)  <->  ( ( A  u.  B )  C_  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  ( A  u.  B ) ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
14 3anan12 995 . . . 4  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  ( A  u.  B
) ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
( z  e.  (
Base `  W )  /\  ( ( A  u.  B )  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  ( A  u.  B ) ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
1513, 14bitri 252 . . 3  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  ( A  u.  B )
)  <->  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  ( ( A  u.  B )  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  ( A  u.  B
) ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
168, 9, 10, 11, 12elocv 19162 . . . . . 6  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  A
)  <->  ( A  C_  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  A  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
17 3anan12 995 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  A  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
( z  e.  (
Base `  W )  /\  ( A  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  A  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
1816, 17bitri 252 . . . . 5  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  A
)  <->  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  ( A  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  A  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
198, 9, 10, 11, 12elocv 19162 . . . . . 6  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  B
)  <->  ( B  C_  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
20 3anan12 995 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
( z  e.  (
Base `  W )  /\  ( B  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
2119, 20bitri 252 . . . . 5  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  B
)  <->  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  ( B  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
2218, 21anbi12i 701 . . . 4  |-  ( ( z  e.  (  ._|_  `  A )  /\  z  e.  (  ._|_  `  B
) )  <->  ( (
z  e.  ( Base `  W )  /\  ( A  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  A  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  ( B  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) ) )
23 elin 3655 . . . 4  |-  ( z  e.  ( (  ._|_  `  A )  i^i  (  ._|_  `  B ) )  <-> 
( z  e.  ( 
._|_  `  A )  /\  z  e.  (  ._|_  `  B ) ) )
24 anandi 835 . . . 4  |-  ( ( z  e.  ( Base `  W )  /\  (
( A  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  A  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( B 
C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )  <->  ( (
z  e.  ( Base `  W )  /\  ( A  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  A  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  ( B  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) ) )
2522, 23, 243bitr4i 280 . . 3  |-  ( z  e.  ( (  ._|_  `  A )  i^i  (  ._|_  `  B ) )  <-> 
( z  e.  (
Base `  W )  /\  ( ( A  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  A  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )  /\  ( B  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) ) )
267, 15, 253bitr4i 280 . 2  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  ( A  u.  B )
)  <->  z  e.  ( (  ._|_  `  A )  i^i  (  ._|_  `  B
) ) )
2726eqriv 2425 1  |-  (  ._|_  `  ( A  u.  B
) )  =  ( (  ._|_  `  A )  i^i  (  ._|_  `  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782    u. cun 3440    i^i cin 3441    C_ wss 3442   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084  Scalarcsca 15155   .icip 15157   0gc0g 15297   ocvcocv 19154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-ov 6308  df-ocv 19157
This theorem is referenced by:  cssincl  19182
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