Theorem unnei 9011

Description: The union of the neighborhoods of a set equals the topology's underlying set. (Contributed by FL, 18-Sep-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpnei.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
unnei	|- ((J e. Top /\ S C_ X) -> U.((nei` J)` S) = X)

Proof of Theorem unnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpnei.1	. . . . . . 7 |- X = U.J
2	1	neii1 8997	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ x e. ((nei` J)` S)) -> x C_ X)
3	2	ex 402	. . . . 5 |- (J e. Top -> (x e. ((nei` J)` S) -> x C_ X))
4	3	adantr 425	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> (x e. ((nei` J)` S) -> x C_ X))
5	4	r19.21aiv 2175	. . 3 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> A.x e. ((nei` J)` S)x C_ X)
6		unissb 3208	. . 3 |- (U.((nei` J)` S) C_ X <-> A.x e. ((nei` J)` S)x C_ X)
7	5, 6	sylibr 217	. 2 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> U.((nei` J)` S) C_ X)
8	1	tpnei 9010	. . 3 |- (J e. Top -> (S C_ X <-> X e. ((nei` J)` S)))
9	8	biimpa 460	. 2 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> X e. ((nei` J)` S))
10		unissel 3207	. 2 |- ((U.((nei` J)` S) C_ X /\ X e. ((nei` J)` S)) -> U.((nei` J)` S) = X)
11	7, 9, 10	syl11anc 524	1 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> U.((nei` J)` S) = X)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   C_ wss 2593  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  neicnei 8988

This theorem is referenced by:  neifil 10302  hausfillim 10303  limfilnei 14943  conttnf 14944  conttnf2 14945  cnpfillim4 14947  neiplim 15586  limfilcf 15587  flimcls 15588  cnpfillim 15589  fclsfnflim 15614

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-top 8861  df-nei 8989

Copyright terms: Public domain