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Theorem unmbl 20978
Description: A union of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
unmbl  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  B )  e.  dom  vol )

Proof of Theorem unmbl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mblss 20973 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
2 mblss 20973 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  B 
C_  RR )
31, 2anim12i 563 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR ) )
4 unss 3527 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  <->  ( A  u.  B )  C_  RR )
53, 4sylib 196 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  B )  C_  RR )
6 elpwi 3866 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P RR  ->  x 
C_  RR )
7 inss1 3567 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  ( A  u.  B ) )  C_  x
8 ovolsscl 20928 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  i^i  ( A  u.  B )
)  C_  x  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
97, 8mp3an1 1296 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
109adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
11 inss1 3567 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  A )  C_  x
12 ovolsscl 20928 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  i^i  A
)  C_  x  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  i^i  A ) )  e.  RR )
1311, 12mp3an1 1296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  i^i  A ) )  e.  RR )
1413adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  i^i  A
) )  e.  RR )
15 difss 3480 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
\  A )  C_  x
16 simprl 750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  x  C_  RR )
1715, 16syl5ss 3364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( x  \  A )  C_  RR )
18 ovolsscl 20928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  \  A
)  C_  x  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  \  A ) )  e.  RR )
1915, 18mp3an1 1296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  \  A ) )  e.  RR )
2019adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  \  A
) )  e.  RR )
21 inss1 3567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  \  A )  i^i  B )  C_  ( x  \  A )
22 ovolsscl 20928 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  \  A )  i^i  B
)  C_  ( x  \  A )  /\  (
x  \  A )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( x  \  A ) )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B ) )  e.  RR )
2321, 22mp3an1 1296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  \  A
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( x 
\  A ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  e.  RR )
2417, 20, 23syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  e.  RR )
2514, 24readdcld 9409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) ) )  e.  RR )
26 difss 3480 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
\  ( A  u.  B ) )  C_  x
27 ovolsscl 20928 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  \  ( A  u.  B )
)  C_  x  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
2826, 27mp3an1 1296 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
2928adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
30 incom 3540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  \  A )  i^i  B )  =  ( B  i^i  (
x  \  A )
)
31 indifcom 3592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  i^i  ( x  \  A ) )  =  ( x  i^i  ( B  \  A ) )
3230, 31eqtri 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  \  A )  i^i  B )  =  ( x  i^i  ( B  \  A ) )
3332uneq2i 3504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  i^i  A )  u.  ( ( x 
\  A )  i^i 
B ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
x  i^i  ( B  \  A ) ) )
34 indi 3593 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( ( x  i^i  A
)  u.  ( x  i^i  ( B  \  A ) ) )
35 undif2 3752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
3635ineq2i 3546 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( x  i^i  ( A  u.  B ) )
3733, 34, 363eqtr2ri 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  ( A  u.  B ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
( x  \  A
)  i^i  B )
)
3837fveq2i 5691 . . . . . . . 8  |-  ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )  =  ( vol* `  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
( x  \  A
)  i^i  B )
) )
3911, 16syl5ss 3364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( x  i^i 
A )  C_  RR )
4021, 17syl5ss 3364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( x 
\  A )  i^i 
B )  C_  RR )
41 ovolun 20941 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  i^i 
A )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( x  \  A )  i^i  B )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( ( x  i^i  A )  u.  ( ( x 
\  A )  i^i 
B ) ) )  <_  ( ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) ) ) )
4239, 14, 40, 24, 41syl22anc 1214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
( x  \  A
)  i^i  B )
) )  <_  (
( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( (
x  \  A )  i^i  B ) ) ) )
4338, 42syl5eqbr 4322 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  <_  (
( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( (
x  \  A )  i^i  B ) ) ) )
4410, 25, 29, 43leadd1dd 9949 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )  +  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) ) )  <_ 
( ( ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) ) )  +  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) ) ) )
45 simplr 749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  B  e.  dom  vol )
46 mblsplit 20974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  dom  vol  /\  ( x  \  A
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( x 
\  A ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  \  A ) )  =  ( ( vol* `  (
( x  \  A
)  i^i  B )
)  +  ( vol* `  ( (
x  \  A )  \  B ) ) ) )
4745, 17, 20, 46syl3anc 1213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  \  A
) )  =  ( ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  +  ( vol* `  (
( x  \  A
)  \  B )
) ) )
48 difun1 3607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
\  ( A  u.  B ) )  =  ( ( x  \  A )  \  B
)
4948fveq2i 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B
) ) )  =  ( vol* `  ( ( x  \  A )  \  B
) )
5049oveq2i 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol* `  (
( x  \  A
)  i^i  B )
)  +  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B
) ) ) )  =  ( ( vol* `  ( (
x  \  A )  i^i  B ) )  +  ( vol* `  ( ( x  \  A )  \  B
) ) )
5147, 50syl6eqr 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  \  A
) )  =  ( ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  +  ( vol* `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) ) )
5251oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( x  \  A ) ) )  =  ( ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( ( vol* `  (
( x  \  A
)  i^i  B )
)  +  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B
) ) ) ) ) )
53 simpll 748 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  A  e.  dom  vol )
54 simprr 751 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  x )  e.  RR )
55 mblsplit 20974 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  x )  =  ( ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( x  \  A ) ) ) )
5653, 16, 54, 55syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  x )  =  ( ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( x  \  A ) ) ) )
5714recnd 9408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  i^i  A
) )  e.  CC )
5824recnd 9408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  e.  CC )
5929recnd 9408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) )  e.  CC )
6057, 58, 59addassd 9404 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( ( vol* `  (
x  i^i  A )
)  +  ( vol* `  ( (
x  \  A )  i^i  B ) ) )  +  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) ) )  =  ( ( vol* `  ( x  i^i  A
) )  +  ( ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  +  ( vol* `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) ) ) )
6152, 56, 603eqtr4d 2483 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  x )  =  ( ( ( vol* `  ( x  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
( x  \  A
)  i^i  B )
) )  +  ( vol* `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) ) )
6244, 61breqtrrd 4315 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )  +  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) ) )  <_ 
( vol* `  x ) )
6362expr 612 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  x  C_  RR )  ->  ( ( vol* `  x
)  e.  RR  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  +  ( vol* `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) )  <_  ( vol* `  x ) ) )
646, 63sylan2 471 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  x  e. 
~P RR )  -> 
( ( vol* `  x )  e.  RR  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  +  ( vol* `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) )  <_  ( vol* `  x ) ) )
6564ralrimiva 2797 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  A. x  e.  ~P  RR ( ( vol* `  x )  e.  RR  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  +  ( vol* `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) )  <_  ( vol* `  x ) ) )
66 ismbl2 20969 . 2  |-  ( ( A  u.  B )  e.  dom  vol  <->  ( ( A  u.  B )  C_  RR  /\  A. x  e.  ~P  RR ( ( vol* `  x
)  e.  RR  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  +  ( vol* `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) )  <_  ( vol* `  x ) ) ) )
675, 65, 66sylanbrc 659 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  B )  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713    \ cdif 3322    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   ~Pcpw 3857   class class class wbr 4289   dom cdm 4836   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277    + caddc 9281    <_ cle 9415   vol*covol 20905   volcvol 20906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-ovol 20907  df-vol 20908
This theorem is referenced by:  inmbl  20982  finiunmbl  20984  volun  20985  voliunlem1  20990  icombl1  21003  iccmbl  21006  uniiccmbl  21029  mbfimaicc  21070  mbfeqalem  21079  mbfres2  21082  mbfmax  21086  itgss3  21251  ismblfin  28357  mbfposadd  28364  cnambfre  28365  itg2addnclem2  28369  iblabsnclem  28380  ftc1anclem1  28392  ftc1anclem5  28396  iocmbl  29513
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