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Theorem unmbl 22132
Description: A union of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
unmbl  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  B )  e.  dom  vol )

Proof of Theorem unmbl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mblss 22126 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
2 mblss 22126 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  B 
C_  RR )
31, 2anim12i 564 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR ) )
4 unss 3616 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  <->  ( A  u.  B )  C_  RR )
53, 4sylib 196 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  B )  C_  RR )
6 elpwi 3963 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P RR  ->  x 
C_  RR )
7 inss1 3658 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  ( A  u.  B ) )  C_  x
8 ovolsscl 22081 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  i^i  ( A  u.  B )
)  C_  x  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
97, 8mp3an1 1313 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
109adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
11 inss1 3658 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  A )  C_  x
12 ovolsscl 22081 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  i^i  A
)  C_  x  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  i^i  A ) )  e.  RR )
1311, 12mp3an1 1313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  i^i  A ) )  e.  RR )
1413adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  i^i  A
) )  e.  RR )
15 difss 3569 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
\  A )  C_  x
16 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  x  C_  RR )
1715, 16syl5ss 3452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( x  \  A )  C_  RR )
18 ovolsscl 22081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  \  A
)  C_  x  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  \  A ) )  e.  RR )
1915, 18mp3an1 1313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  \  A ) )  e.  RR )
2019adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  \  A
) )  e.  RR )
21 inss1 3658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  \  A )  i^i  B )  C_  ( x  \  A )
22 ovolsscl 22081 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  \  A )  i^i  B
)  C_  ( x  \  A )  /\  (
x  \  A )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( x  \  A ) )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B ) )  e.  RR )
2321, 22mp3an1 1313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  \  A
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( x 
\  A ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  e.  RR )
2417, 20, 23syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  e.  RR )
2514, 24readdcld 9573 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) ) )  e.  RR )
26 difss 3569 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
\  ( A  u.  B ) )  C_  x
27 ovolsscl 22081 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  \  ( A  u.  B )
)  C_  x  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
2826, 27mp3an1 1313 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
2928adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
30 incom 3631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  \  A )  i^i  B )  =  ( B  i^i  (
x  \  A )
)
31 indifcom 3694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  i^i  ( x  \  A ) )  =  ( x  i^i  ( B  \  A ) )
3230, 31eqtri 2431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  \  A )  i^i  B )  =  ( x  i^i  ( B  \  A ) )
3332uneq2i 3593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  i^i  A )  u.  ( ( x 
\  A )  i^i 
B ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
x  i^i  ( B  \  A ) ) )
34 indi 3695 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( ( x  i^i  A
)  u.  ( x  i^i  ( B  \  A ) ) )
35 undif2 3847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
3635ineq2i 3637 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( x  i^i  ( A  u.  B ) )
3733, 34, 363eqtr2ri 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  ( A  u.  B ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
( x  \  A
)  i^i  B )
)
3837fveq2i 5808 . . . . . . . 8  |-  ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )  =  ( vol* `  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
( x  \  A
)  i^i  B )
) )
3911, 16syl5ss 3452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( x  i^i 
A )  C_  RR )
4021, 17syl5ss 3452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( x 
\  A )  i^i 
B )  C_  RR )
41 ovolun 22094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  i^i 
A )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( x  \  A )  i^i  B )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( ( x  i^i  A )  u.  ( ( x 
\  A )  i^i 
B ) ) )  <_  ( ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) ) ) )
4239, 14, 40, 24, 41syl22anc 1231 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
( x  \  A
)  i^i  B )
) )  <_  (
( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( (
x  \  A )  i^i  B ) ) ) )
4338, 42syl5eqbr 4427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  <_  (
( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( (
x  \  A )  i^i  B ) ) ) )
4410, 25, 29, 43leadd1dd 10126 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )  +  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) ) )  <_ 
( ( ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) ) )  +  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) ) ) )
45 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  B  e.  dom  vol )
46 mblsplit 22127 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  dom  vol  /\  ( x  \  A
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( x 
\  A ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  \  A ) )  =  ( ( vol* `  (
( x  \  A
)  i^i  B )
)  +  ( vol* `  ( (
x  \  A )  \  B ) ) ) )
4745, 17, 20, 46syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  \  A
) )  =  ( ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  +  ( vol* `  (
( x  \  A
)  \  B )
) ) )
48 difun1 3709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
\  ( A  u.  B ) )  =  ( ( x  \  A )  \  B
)
4948fveq2i 5808 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B
) ) )  =  ( vol* `  ( ( x  \  A )  \  B
) )
5049oveq2i 6245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol* `  (
( x  \  A
)  i^i  B )
)  +  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B
) ) ) )  =  ( ( vol* `  ( (
x  \  A )  i^i  B ) )  +  ( vol* `  ( ( x  \  A )  \  B
) ) )
5147, 50syl6eqr 2461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  \  A
) )  =  ( ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  +  ( vol* `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) ) )
5251oveq2d 6250 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( x  \  A ) ) )  =  ( ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( ( vol* `  (
( x  \  A
)  i^i  B )
)  +  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B
) ) ) ) ) )
53 simpll 752 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  A  e.  dom  vol )
54 simprr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  x )  e.  RR )
55 mblsplit 22127 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  x )  =  ( ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( x  \  A ) ) ) )
5653, 16, 54, 55syl3anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  x )  =  ( ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( x  \  A ) ) ) )
5714recnd 9572 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  i^i  A
) )  e.  CC )
5824recnd 9572 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  e.  CC )
5929recnd 9572 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) )  e.  CC )
6057, 58, 59addassd 9568 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( ( vol* `  (
x  i^i  A )
)  +  ( vol* `  ( (
x  \  A )  i^i  B ) ) )  +  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) ) )  =  ( ( vol* `  ( x  i^i  A
) )  +  ( ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  +  ( vol* `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) ) ) )
6152, 56, 603eqtr4d 2453 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  x )  =  ( ( ( vol* `  ( x  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
( x  \  A
)  i^i  B )
) )  +  ( vol* `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) ) )
6244, 61breqtrrd 4420 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )  +  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) ) )  <_ 
( vol* `  x ) )
6362expr 613 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  x  C_  RR )  ->  ( ( vol* `  x
)  e.  RR  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  +  ( vol* `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) )  <_  ( vol* `  x ) ) )
646, 63sylan2 472 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  x  e. 
~P RR )  -> 
( ( vol* `  x )  e.  RR  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  +  ( vol* `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) )  <_  ( vol* `  x ) ) )
6564ralrimiva 2817 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  A. x  e.  ~P  RR ( ( vol* `  x )  e.  RR  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  +  ( vol* `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) )  <_  ( vol* `  x ) ) )
66 ismbl2 22122 . 2  |-  ( ( A  u.  B )  e.  dom  vol  <->  ( ( A  u.  B )  C_  RR  /\  A. x  e.  ~P  RR ( ( vol* `  x
)  e.  RR  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  +  ( vol* `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) )  <_  ( vol* `  x ) ) ) )
675, 65, 66sylanbrc 662 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  B )  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753    \ cdif 3410    u. cun 3411    i^i cin 3412    C_ wss 3413   ~Pcpw 3954   class class class wbr 4394   dom cdm 4942   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   RRcr 9441    + caddc 9445    <_ cle 9579   vol*covol 22058   volcvol 22059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-sup 7855  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-q 11146  df-rp 11184  df-ioo 11504  df-ico 11506  df-icc 11507  df-fz 11644  df-fl 11879  df-seq 12062  df-exp 12121  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-ovol 22060  df-vol 22061
This theorem is referenced by:  inmbl  22136  finiunmbl  22138  volun  22139  voliunlem1  22144  icombl1  22157  iccmbl  22160  uniiccmbl  22183  mbfimaicc  22224  mbfeqalem  22233  mbfres2  22236  mbfmax  22240  itgss3  22405  ismblfin  31408  mbfposadd  31415  cnambfre  31416  itg2addnclem2  31421  iblabsnclem  31432  ftc1anclem1  31444  ftc1anclem5  31448  iocmbl  35525
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