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Theorem unmbl 22503
Description: A union of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
unmbl  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  B )  e.  dom  vol )

Proof of Theorem unmbl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mblss 22497 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
2 mblss 22497 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  B 
C_  RR )
31, 2anim12i 570 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR ) )
4 unss 3610 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  <->  ( A  u.  B )  C_  RR )
53, 4sylib 200 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  B )  C_  RR )
6 elpwi 3962 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P RR  ->  x 
C_  RR )
7 inss1 3654 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  ( A  u.  B ) )  C_  x
8 ovolsscl 22451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  i^i  ( A  u.  B )
)  C_  x  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
97, 8mp3an1 1353 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
109adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
11 inss1 3654 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  A )  C_  x
12 ovolsscl 22451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  i^i  A
)  C_  x  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  i^i  A ) )  e.  RR )
1311, 12mp3an1 1353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  i^i  A ) )  e.  RR )
1413adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  i^i  A
) )  e.  RR )
15 difss 3562 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
\  A )  C_  x
16 simprl 765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  x  C_  RR )
1715, 16syl5ss 3445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( x  \  A )  C_  RR )
18 ovolsscl 22451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  \  A
)  C_  x  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  \  A ) )  e.  RR )
1915, 18mp3an1 1353 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  \  A ) )  e.  RR )
2019adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  \  A
) )  e.  RR )
21 inss1 3654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  \  A )  i^i  B )  C_  ( x  \  A )
22 ovolsscl 22451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  \  A )  i^i  B
)  C_  ( x  \  A )  /\  (
x  \  A )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( x  \  A ) )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B ) )  e.  RR )
2321, 22mp3an1 1353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  \  A
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( x 
\  A ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  e.  RR )
2417, 20, 23syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  e.  RR )
2514, 24readdcld 9675 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) ) )  e.  RR )
26 difss 3562 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
\  ( A  u.  B ) )  C_  x
27 ovolsscl 22451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  \  ( A  u.  B )
)  C_  x  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
2826, 27mp3an1 1353 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
2928adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
30 incom 3627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  \  A )  i^i  B )  =  ( B  i^i  (
x  \  A )
)
31 indifcom 3690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  i^i  ( x  \  A ) )  =  ( x  i^i  ( B  \  A ) )
3230, 31eqtri 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  \  A )  i^i  B )  =  ( x  i^i  ( B  \  A ) )
3332uneq2i 3587 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  i^i  A )  u.  ( ( x 
\  A )  i^i 
B ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
x  i^i  ( B  \  A ) ) )
34 indi 3691 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( ( x  i^i  A
)  u.  ( x  i^i  ( B  \  A ) ) )
35 undif2 3845 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
3635ineq2i 3633 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( x  i^i  ( A  u.  B ) )
3733, 34, 363eqtr2ri 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  ( A  u.  B ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
( x  \  A
)  i^i  B )
)
3837fveq2i 5873 . . . . . . . 8  |-  ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )  =  ( vol* `  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
( x  \  A
)  i^i  B )
) )
3911, 16syl5ss 3445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( x  i^i 
A )  C_  RR )
4021, 17syl5ss 3445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( x 
\  A )  i^i 
B )  C_  RR )
41 ovolun 22464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  i^i 
A )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( x  \  A )  i^i  B )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( ( x  i^i  A )  u.  ( ( x 
\  A )  i^i 
B ) ) )  <_  ( ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) ) ) )
4239, 14, 40, 24, 41syl22anc 1270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
( x  \  A
)  i^i  B )
) )  <_  (
( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( (
x  \  A )  i^i  B ) ) ) )
4338, 42syl5eqbr 4439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  <_  (
( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( (
x  \  A )  i^i  B ) ) ) )
4410, 25, 29, 43leadd1dd 10234 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )  +  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) ) )  <_ 
( ( ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) ) )  +  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) ) ) )
45 simplr 763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  B  e.  dom  vol )
46 mblsplit 22498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  dom  vol  /\  ( x  \  A
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( x 
\  A ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  \  A ) )  =  ( ( vol* `  (
( x  \  A
)  i^i  B )
)  +  ( vol* `  ( (
x  \  A )  \  B ) ) ) )
4745, 17, 20, 46syl3anc 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  \  A
) )  =  ( ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  +  ( vol* `  (
( x  \  A
)  \  B )
) ) )
48 difun1 3705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
\  ( A  u.  B ) )  =  ( ( x  \  A )  \  B
)
4948fveq2i 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B
) ) )  =  ( vol* `  ( ( x  \  A )  \  B
) )
5049oveq2i 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol* `  (
( x  \  A
)  i^i  B )
)  +  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B
) ) ) )  =  ( ( vol* `  ( (
x  \  A )  i^i  B ) )  +  ( vol* `  ( ( x  \  A )  \  B
) ) )
5147, 50syl6eqr 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  \  A
) )  =  ( ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  +  ( vol* `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) ) )
5251oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( x  \  A ) ) )  =  ( ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( ( vol* `  (
( x  \  A
)  i^i  B )
)  +  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B
) ) ) ) ) )
53 simpll 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  A  e.  dom  vol )
54 simprr 767 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  x )  e.  RR )
55 mblsplit 22498 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  x )  =  ( ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( x  \  A ) ) ) )
5653, 16, 54, 55syl3anc 1269 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  x )  =  ( ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( x  \  A ) ) ) )
5714recnd 9674 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  i^i  A
) )  e.  CC )
5824recnd 9674 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  e.  CC )
5929recnd 9674 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) )  e.  CC )
6057, 58, 59addassd 9670 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( ( vol* `  (
x  i^i  A )
)  +  ( vol* `  ( (
x  \  A )  i^i  B ) ) )  +  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) ) )  =  ( ( vol* `  ( x  i^i  A
) )  +  ( ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  +  ( vol* `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) ) ) )
6152, 56, 603eqtr4d 2497 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  x )  =  ( ( ( vol* `  ( x  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
( x  \  A
)  i^i  B )
) )  +  ( vol* `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) ) )
6244, 61breqtrrd 4432 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )  +  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) ) )  <_ 
( vol* `  x ) )
6362expr 620 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  x  C_  RR )  ->  ( ( vol* `  x
)  e.  RR  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  +  ( vol* `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) )  <_  ( vol* `  x ) ) )
646, 63sylan2 477 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  x  e. 
~P RR )  -> 
( ( vol* `  x )  e.  RR  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  +  ( vol* `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) )  <_  ( vol* `  x ) ) )
6564ralrimiva 2804 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  A. x  e.  ~P  RR ( ( vol* `  x )  e.  RR  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  +  ( vol* `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) )  <_  ( vol* `  x ) ) )
66 ismbl2 22493 . 2  |-  ( ( A  u.  B )  e.  dom  vol  <->  ( ( A  u.  B )  C_  RR  /\  A. x  e.  ~P  RR ( ( vol* `  x
)  e.  RR  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  +  ( vol* `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) )  <_  ( vol* `  x ) ) ) )
675, 65, 66sylanbrc 671 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  B )  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   A.wral 2739    \ cdif 3403    u. cun 3404    i^i cin 3405    C_ wss 3406   ~Pcpw 3953   class class class wbr 4405   dom cdm 4837   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   RRcr 9543    + caddc 9547    <_ cle 9681   vol*covol 22425   volcvol 22427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7961  df-inf 7962  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-ovol 22428  df-vol 22430
This theorem is referenced by:  inmbl  22507  finiunmbl  22509  volun  22510  voliunlem1  22515  icombl1  22528  iccmbl  22531  uniiccmbl  22560  mbfimaicc  22601  mbfeqalem  22610  mbfres2  22613  mbfmax  22617  itgss3  22784  ismblfin  31993  mbfposadd  32000  cnambfre  32001  itg2addnclem2  32006  iblabsnclem  32017  ftc1anclem1  32029  ftc1anclem5  32033  iocmbl  36109
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