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Theorem unmbl 21683
Description: A union of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
unmbl  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  B )  e.  dom  vol )

Proof of Theorem unmbl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mblss 21677 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
2 mblss 21677 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  B 
C_  RR )
31, 2anim12i 566 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR ) )
4 unss 3678 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  <->  ( A  u.  B )  C_  RR )
53, 4sylib 196 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  B )  C_  RR )
6 elpwi 4019 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P RR  ->  x 
C_  RR )
7 inss1 3718 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  ( A  u.  B ) )  C_  x
8 ovolsscl 21632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  i^i  ( A  u.  B )
)  C_  x  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
97, 8mp3an1 1311 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
109adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
11 inss1 3718 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  A )  C_  x
12 ovolsscl 21632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  i^i  A
)  C_  x  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  i^i  A ) )  e.  RR )
1311, 12mp3an1 1311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  i^i  A ) )  e.  RR )
1413adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  i^i  A
) )  e.  RR )
15 difss 3631 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
\  A )  C_  x
16 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  x  C_  RR )
1715, 16syl5ss 3515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( x  \  A )  C_  RR )
18 ovolsscl 21632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  \  A
)  C_  x  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  \  A ) )  e.  RR )
1915, 18mp3an1 1311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  \  A ) )  e.  RR )
2019adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  \  A
) )  e.  RR )
21 inss1 3718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  \  A )  i^i  B )  C_  ( x  \  A )
22 ovolsscl 21632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  \  A )  i^i  B
)  C_  ( x  \  A )  /\  (
x  \  A )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( x  \  A ) )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B ) )  e.  RR )
2321, 22mp3an1 1311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  \  A
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( x 
\  A ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  e.  RR )
2417, 20, 23syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  e.  RR )
2514, 24readdcld 9619 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) ) )  e.  RR )
26 difss 3631 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
\  ( A  u.  B ) )  C_  x
27 ovolsscl 21632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  \  ( A  u.  B )
)  C_  x  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
2826, 27mp3an1 1311 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
2928adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
30 incom 3691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  \  A )  i^i  B )  =  ( B  i^i  (
x  \  A )
)
31 indifcom 3743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  i^i  ( x  \  A ) )  =  ( x  i^i  ( B  \  A ) )
3230, 31eqtri 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  \  A )  i^i  B )  =  ( x  i^i  ( B  \  A ) )
3332uneq2i 3655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  i^i  A )  u.  ( ( x 
\  A )  i^i 
B ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
x  i^i  ( B  \  A ) ) )
34 indi 3744 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( ( x  i^i  A
)  u.  ( x  i^i  ( B  \  A ) ) )
35 undif2 3903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
3635ineq2i 3697 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( x  i^i  ( A  u.  B ) )
3733, 34, 363eqtr2ri 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  ( A  u.  B ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
( x  \  A
)  i^i  B )
)
3837fveq2i 5867 . . . . . . . 8  |-  ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )  =  ( vol* `  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
( x  \  A
)  i^i  B )
) )
3911, 16syl5ss 3515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( x  i^i 
A )  C_  RR )
4021, 17syl5ss 3515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( x 
\  A )  i^i 
B )  C_  RR )
41 ovolun 21645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  i^i 
A )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( x  \  A )  i^i  B )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( ( x  i^i  A )  u.  ( ( x 
\  A )  i^i 
B ) ) )  <_  ( ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) ) ) )
4239, 14, 40, 24, 41syl22anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
( x  \  A
)  i^i  B )
) )  <_  (
( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( (
x  \  A )  i^i  B ) ) ) )
4338, 42syl5eqbr 4480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  <_  (
( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( (
x  \  A )  i^i  B ) ) ) )
4410, 25, 29, 43leadd1dd 10162 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )  +  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) ) )  <_ 
( ( ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) ) )  +  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) ) ) )
45 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  B  e.  dom  vol )
46 mblsplit 21678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  dom  vol  /\  ( x  \  A
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( x 
\  A ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( x  \  A ) )  =  ( ( vol* `  (
( x  \  A
)  i^i  B )
)  +  ( vol* `  ( (
x  \  A )  \  B ) ) ) )
4745, 17, 20, 46syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  \  A
) )  =  ( ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  +  ( vol* `  (
( x  \  A
)  \  B )
) ) )
48 difun1 3758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
\  ( A  u.  B ) )  =  ( ( x  \  A )  \  B
)
4948fveq2i 5867 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B
) ) )  =  ( vol* `  ( ( x  \  A )  \  B
) )
5049oveq2i 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol* `  (
( x  \  A
)  i^i  B )
)  +  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B
) ) ) )  =  ( ( vol* `  ( (
x  \  A )  i^i  B ) )  +  ( vol* `  ( ( x  \  A )  \  B
) ) )
5147, 50syl6eqr 2526 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  \  A
) )  =  ( ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  +  ( vol* `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) ) )
5251oveq2d 6298 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( x  \  A ) ) )  =  ( ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( ( vol* `  (
( x  \  A
)  i^i  B )
)  +  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B
) ) ) ) ) )
53 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  A  e.  dom  vol )
54 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  x )  e.  RR )
55 mblsplit 21678 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> 
( vol* `  x )  =  ( ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( x  \  A ) ) ) )
5653, 16, 54, 55syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  x )  =  ( ( vol* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( x  \  A ) ) ) )
5714recnd 9618 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  i^i  A
) )  e.  CC )
5824recnd 9618 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  e.  CC )
5929recnd 9618 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) )  e.  CC )
6057, 58, 59addassd 9614 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( ( vol* `  (
x  i^i  A )
)  +  ( vol* `  ( (
x  \  A )  i^i  B ) ) )  +  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) ) )  =  ( ( vol* `  ( x  i^i  A
) )  +  ( ( vol* `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  +  ( vol* `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) ) ) )
6152, 56, 603eqtr4d 2518 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  x )  =  ( ( ( vol* `  ( x  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
( x  \  A
)  i^i  B )
) )  +  ( vol* `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) ) )
6244, 61breqtrrd 4473 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )  +  ( vol* `  ( x  \  ( A  u.  B )
) ) )  <_ 
( vol* `  x ) )
6362expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  x  C_  RR )  ->  ( ( vol* `  x
)  e.  RR  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  +  ( vol* `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) )  <_  ( vol* `  x ) ) )
646, 63sylan2 474 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  x  e. 
~P RR )  -> 
( ( vol* `  x )  e.  RR  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  +  ( vol* `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) )  <_  ( vol* `  x ) ) )
6564ralrimiva 2878 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  A. x  e.  ~P  RR ( ( vol* `  x )  e.  RR  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  +  ( vol* `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) )  <_  ( vol* `  x ) ) )
66 ismbl2 21673 . 2  |-  ( ( A  u.  B )  e.  dom  vol  <->  ( ( A  u.  B )  C_  RR  /\  A. x  e.  ~P  RR ( ( vol* `  x
)  e.  RR  ->  ( ( vol* `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  +  ( vol* `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) )  <_  ( vol* `  x ) ) ) )
675, 65, 66sylanbrc 664 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  B )  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487    + caddc 9491    <_ cle 9625   vol*covol 21609   volcvol 21610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-ovol 21611  df-vol 21612
This theorem is referenced by:  inmbl  21687  finiunmbl  21689  volun  21690  voliunlem1  21695  icombl1  21708  iccmbl  21711  uniiccmbl  21734  mbfimaicc  21775  mbfeqalem  21784  mbfres2  21787  mbfmax  21791  itgss3  21956  ismblfin  29632  mbfposadd  29639  cnambfre  29640  itg2addnclem2  29644  iblabsnclem  29655  ftc1anclem1  29667  ftc1anclem5  29671  iocmbl  30785
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