Theorem unixp0 4423

Description: A cross product is empty iff its union is empty.

Assertion

Ref	Expression
unixp0	|- ((A X. B) = (/) <-> U.(A X. B) = (/))

Proof of Theorem unixp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unieq 3185	. . 3 |- ((A X. B) = (/) -> U.(A X. B) = U.(/))
2		uni0 3205	. . 3 |- U.(/) = (/)
3	1, 2	syl6eq 1944	. 2 |- ((A X. B) = (/) -> U.(A X. B) = (/))
4		neq0 2885	. . . 4 |- (-. (A X. B) = (/) <-> E.z z e. (A X. B))
5		elxp3 4049	. . . . . 6 |- (z e. (A X. B) <-> E.xE.y(<.x, y>. = z /\ <.x, y>. e. (A X. B)))
6		snssi 3129	. . . . . . . . 9 |- (<.x, y>. e. (A X. B) -> {<.x, y>.} C_ (A X. B))
7		uniss 3199	. . . . . . . . . 10 |- ({<.x, y>.} C_ (A X. B) -> U.{<.x, y>.} C_ U.(A X. B))
8		opex 3527	. . . . . . . . . . 11 |- <.x, y>. e. _V
9	8	unisn 3193	. . . . . . . . . 10 |- U.{<.x, y>.} = <.x, y>.
10	7, 9	syl5ssr 2662	. . . . . . . . 9 |- ({<.x, y>.} C_ (A X. B) -> <.x, y>. C_ U.(A X. B))
11		opnz 3541	. . . . . . . . . 10 |- -. <.x, y>. = (/)
12		sseq2 2639	. . . . . . . . . . . 12 |- (U.(A X. B) = (/) -> (<.x, y>. C_ U.(A X. B) <-> <.x, y>. C_ (/)))
13	12	biimpd 170	. . . . . . . . . . 11 |- (U.(A X. B) = (/) -> (<.x, y>. C_ U.(A X. B) -> <.x, y>. C_ (/)))
14		ss0 2902	. . . . . . . . . . 11 |- (<.x, y>. C_ (/) -> <.x, y>. = (/))
15	13, 14	syl6com 64	. . . . . . . . . 10 |- (<.x, y>. C_ U.(A X. B) -> (U.(A X. B) = (/) -> <.x, y>. = (/)))
16	11, 15	mtoi 122	. . . . . . . . 9 |- (<.x, y>. C_ U.(A X. B) -> -. U.(A X. B) = (/))
17	6, 10, 16	3syl 24	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. e. (A X. B) -> -. U.(A X. B) = (/))
18	17	adantl 424	. . . . . . 7 |- ((<.x, y>. = z /\ <.x, y>. e. (A X. B)) -> -. U.(A X. B) = (/))
19	18	19.23aivv 1675	. . . . . 6 |- (E.xE.y(<.x, y>. = z /\ <.x, y>. e. (A X. B)) -> -. U.(A X. B) = (/))
20	5, 19	sylbi 216	. . . . 5 |- (z e. (A X. B) -> -. U.(A X. B) = (/))
21	20	19.23aiv 1674	. . . 4 |- (E.z z e. (A X. B) -> -. U.(A X. B) = (/))
22	4, 21	sylbi 216	. . 3 |- (-. (A X. B) = (/) -> -. U.(A X. B) = (/))
23	22	con4i 90	. 2 |- (U.(A X. B) = (/) -> (A X. B) = (/))
24	3, 23	impbii 174	1 |- ((A X. B) = (/) <-> U.(A X. B) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   C_ wss 2593  (/)c0 2875  {csn 3044  <.cop 3046  U.cuni 3177   X. cxp 3984

This theorem is referenced by:  rankxpsuc 5826

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-opab 3396  df-xp 4000

Copyright terms: Public domain