MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniwun Structured version   Unicode version

Theorem uniwun 9118
Description: Every set is contained in a weak universe. This is the analogue of grothtsk 9213, but it is provable in ZFC without the Tarski-Grothendieck axiom. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
uniwun  |-  U.WUni  =  _V

Proof of Theorem uniwun
Dummy variables  x  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqv 3801 . 2  |-  ( U.WUni  =  _V  <->  A. x  x  e. 
U.WUni )
2 snex 4688 . . . 4  |-  { x }  e.  _V
3 wunex 9117 . . . 4  |-  ( { x }  e.  _V  ->  E. u  e. WUni  { x }  C_  u )
42, 3ax-mp 5 . . 3  |-  E. u  e. WUni  { x }  C_  u
5 eluni2 4249 . . . 4  |-  ( x  e.  U.WUni  <->  E. u  e. WUni  x  e.  u )
6 vex 3116 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
76snss 4151 . . . . 5  |-  ( x  e.  u  <->  { x }  C_  u )
87rexbii 2965 . . . 4  |-  ( E. u  e. WUni  x  e.  u  <->  E. u  e. WUni  { x }  C_  u )
95, 8bitri 249 . . 3  |-  ( x  e.  U.WUni  <->  E. u  e. WUni  { x }  C_  u )
104, 9mpbir 209 . 2  |-  x  e. 
U.WUni
111, 10mpgbir 1605 1  |-  U.WUni  =  _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   {csn 4027   U.cuni 4245  WUnicwun 9078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-wun 9080
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator