Theorem uniuni 3806

Description: Expression for double union that moves union into a class builder. (Contributed by FL, 28-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniuni	|- U.U.A = U.{x | E.y(x = U.y /\ y e. A)}

Distinct variable group:   x,A,y

Proof of Theorem uniuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 3180	. . . . . 6 |- (u e. U.A <-> E.y(u e. y /\ y e. A))
2	1	anbi2i 538	. . . . 5 |- ((z e. u /\ u e. U.A) <-> (z e. u /\ E.y(u e. y /\ y e. A)))
3	2	exbii 1398	. . . 4 |- (E.u(z e. u /\ u e. U.A) <-> E.u(z e. u /\ E.y(u e. y /\ y e. A)))
4		19.42v 1688	. . . . . . . 8 |- (E.y(z e. u /\ (u e. y /\ y e. A)) <-> (z e. u /\ E.y(u e. y /\ y e. A)))
5	4	bicomi 189	. . . . . . 7 |- ((z e. u /\ E.y(u e. y /\ y e. A)) <-> E.y(z e. u /\ (u e. y /\ y e. A)))
6	5	exbii 1398	. . . . . 6 |- (E.u(z e. u /\ E.y(u e. y /\ y e. A)) <-> E.uE.y(z e. u /\ (u e. y /\ y e. A)))
7		excom 1393	. . . . . . 7 |- (E.uE.y(z e. u /\ (u e. y /\ y e. A)) <-> E.yE.u(z e. u /\ (u e. y /\ y e. A)))
8		anass 487	. . . . . . . . 9 |- (((z e. u /\ u e. y) /\ y e. A) <-> (z e. u /\ (u e. y /\ y e. A)))
9		ancom 482	. . . . . . . . 9 |- (((z e. u /\ u e. y) /\ y e. A) <-> (y e. A /\ (z e. u /\ u e. y)))
10	8, 9	bitr3i 192	. . . . . . . 8 |- ((z e. u /\ (u e. y /\ y e. A)) <-> (y e. A /\ (z e. u /\ u e. y)))
11	10	2exbii 1399	. . . . . . 7 |- (E.yE.u(z e. u /\ (u e. y /\ y e. A)) <-> E.yE.u(y e. A /\ (z e. u /\ u e. y)))
12	7, 11	bitri 190	. . . . . 6 |- (E.uE.y(z e. u /\ (u e. y /\ y e. A)) <-> E.yE.u(y e. A /\ (z e. u /\ u e. y)))
13		exdistr 1689	. . . . . 6 |- (E.yE.u(y e. A /\ (z e. u /\ u e. y)) <-> E.y(y e. A /\ E.u(z e. u /\ u e. y)))
14	6, 12, 13	3bitri 194	. . . . 5 |- (E.u(z e. u /\ E.y(u e. y /\ y e. A)) <-> E.y(y e. A /\ E.u(z e. u /\ u e. y)))
15		eluni 3180	. . . . . . . 8 |- (z e. U.y <-> E.u(z e. u /\ u e. y))
16	15	bicomi 189	. . . . . . 7 |- (E.u(z e. u /\ u e. y) <-> z e. U.y)
17	16	anbi2i 538	. . . . . 6 |- ((y e. A /\ E.u(z e. u /\ u e. y)) <-> (y e. A /\ z e. U.y))
18	17	exbii 1398	. . . . 5 |- (E.y(y e. A /\ E.u(z e. u /\ u e. y)) <-> E.y(y e. A /\ z e. U.y))
19	14, 18	bitri 190	. . . 4 |- (E.u(z e. u /\ E.y(u e. y /\ y e. A)) <-> E.y(y e. A /\ z e. U.y))
20		visset 2295	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
21	20	uniex 3794	. . . . . . . . . . 11 |- U.y e. _V
22		eleq2 1958	. . . . . . . . . . 11 |- (v = U.y -> (z e. v <-> z e. U.y))
23	21, 22	ceqsexv 2325	. . . . . . . . . 10 |- (E.v(v = U.y /\ z e. v) <-> z e. U.y)
24		exancom 1401	. . . . . . . . . 10 |- (E.v(v = U.y /\ z e. v) <-> E.v(z e. v /\ v = U.y))
25	23, 24	bitr3i 192	. . . . . . . . 9 |- (z e. U.y <-> E.v(z e. v /\ v = U.y))
26	25	anbi2i 538	. . . . . . . 8 |- ((y e. A /\ z e. U.y) <-> (y e. A /\ E.v(z e. v /\ v = U.y)))
27		19.42v 1688	. . . . . . . 8 |- (E.v(y e. A /\ (z e. v /\ v = U.y)) <-> (y e. A /\ E.v(z e. v /\ v = U.y)))
28		ancom 482	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. A /\ (z e. v /\ v = U.y)) <-> ((z e. v /\ v = U.y) /\ y e. A))
29		anass 487	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. v /\ v = U.y) /\ y e. A) <-> (z e. v /\ (v = U.y /\ y e. A)))
30	28, 29	bitri 190	. . . . . . . . 9 |- ((y e. A /\ (z e. v /\ v = U.y)) <-> (z e. v /\ (v = U.y /\ y e. A)))
31	30	exbii 1398	. . . . . . . 8 |- (E.v(y e. A /\ (z e. v /\ v = U.y)) <-> E.v(z e. v /\ (v = U.y /\ y e. A)))
32	26, 27, 31	3bitr2i 196	. . . . . . 7 |- ((y e. A /\ z e. U.y) <-> E.v(z e. v /\ (v = U.y /\ y e. A)))
33	32	exbii 1398	. . . . . 6 |- (E.y(y e. A /\ z e. U.y) <-> E.yE.v(z e. v /\ (v = U.y /\ y e. A)))
34		excom 1393	. . . . . 6 |- (E.yE.v(z e. v /\ (v = U.y /\ y e. A)) <-> E.vE.y(z e. v /\ (v = U.y /\ y e. A)))
35	33, 34	bitri 190	. . . . 5 |- (E.y(y e. A /\ z e. U.y) <-> E.vE.y(z e. v /\ (v = U.y /\ y e. A)))
36		exdistr 1689	. . . . 5 |- (E.vE.y(z e. v /\ (v = U.y /\ y e. A)) <-> E.v(z e. v /\ E.y(v = U.y /\ y e. A)))
37		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- v e. _V
38		eqeq1 1890	. . . . . . . . . . 11 |- (x = v -> (x = U.y <-> v = U.y))
39	38	anbi1d 679	. . . . . . . . . 10 |- (x = v -> ((x = U.y /\ y e. A) <-> (v = U.y /\ y e. A)))
40	39	exbidv 1657	. . . . . . . . 9 |- (x = v -> (E.y(x = U.y /\ y e. A) <-> E.y(v = U.y /\ y e. A)))
41	37, 40	elab 2403	. . . . . . . 8 |- (v e. {x | E.y(x = U.y /\ y e. A)} <-> E.y(v = U.y /\ y e. A))
42	41	bicomi 189	. . . . . . 7 |- (E.y(v = U.y /\ y e. A) <-> v e. {x | E.y(x = U.y /\ y e. A)})
43	42	anbi2i 538	. . . . . 6 |- ((z e. v /\ E.y(v = U.y /\ y e. A)) <-> (z e. v /\ v e. {x | E.y(x = U.y /\ y e. A)}))
44	43	exbii 1398	. . . . 5 |- (E.v(z e. v /\ E.y(v = U.y /\ y e. A)) <-> E.v(z e. v /\ v e. {x | E.y(x = U.y /\ y e. A)}))
45	35, 36, 44	3bitri 194	. . . 4 |- (E.y(y e. A /\ z e. U.y) <-> E.v(z e. v /\ v e. {x | E.y(x = U.y /\ y e. A)}))
46	3, 19, 45	3bitri 194	. . 3 |- (E.u(z e. u /\ u e. U.A) <-> E.v(z e. v /\ v e. {x | E.y(x = U.y /\ y e. A)}))
47	46	abbii 2006	. 2 |- {z | E.u(z e. u /\ u e. U.A)} = {z | E.v(z e. v /\ v e. {x | E.y(x = U.y /\ y e. A)})}
48		df-uni 3178	. 2 |- U.U.A = {z | E.u(z e. u /\ u e. U.A)}
49		df-uni 3178	. 2 |- U.{x | E.y(x = U.y /\ y e. A)} = {z | E.v(z e. v /\ v e. {x | E.y(x = U.y /\ y e. A)})}
50	47, 48, 49	3eqtr4i 1921	1 |- U.U.A = U.{x | E.y(x = U.y /\ y e. A)}

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  U.cuni 3177

This theorem is referenced by:  qusp 14908

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-rex 2110  df-v 2294  df-uni 3178

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