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Theorem uniuni 6608
Description: Expression for double union that moves union into a class builder. (Contributed by FL, 28-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
uniuni  |-  U. U. A  =  U. { x  |  E. y ( x  =  U. y  /\  y  e.  A ) }
Distinct variable group:    x, A, y

Proof of Theorem uniuni
Dummy variables  v 
z  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluni 4254 . . . . . 6  |-  ( u  e.  U. A  <->  E. y
( u  e.  y  /\  y  e.  A
) )
21anbi2i 694 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  u  /\  u  e.  U. A )  <-> 
( z  e.  u  /\  E. y ( u  e.  y  /\  y  e.  A ) ) )
32exbii 1668 . . . 4  |-  ( E. u ( z  e.  u  /\  u  e. 
U. A )  <->  E. u
( z  e.  u  /\  E. y ( u  e.  y  /\  y  e.  A ) ) )
4 19.42v 1776 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( z  e.  u  /\  ( u  e.  y  /\  y  e.  A ) )  <->  ( z  e.  u  /\  E. y
( u  e.  y  /\  y  e.  A
) ) )
54bicomi 202 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  u  /\  E. y ( u  e.  y  /\  y  e.  A ) )  <->  E. y
( z  e.  u  /\  ( u  e.  y  /\  y  e.  A
) ) )
65exbii 1668 . . . . 5  |-  ( E. u ( z  e.  u  /\  E. y
( u  e.  y  /\  y  e.  A
) )  <->  E. u E. y ( z  e.  u  /\  ( u  e.  y  /\  y  e.  A ) ) )
7 excom 1850 . . . . . 6  |-  ( E. u E. y ( z  e.  u  /\  ( u  e.  y  /\  y  e.  A
) )  <->  E. y E. u ( z  e.  u  /\  ( u  e.  y  /\  y  e.  A ) ) )
8 anass 649 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  u  /\  u  e.  y
)  /\  y  e.  A )  <->  ( z  e.  u  /\  (
u  e.  y  /\  y  e.  A )
) )
9 ancom 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  u  /\  u  e.  y
)  /\  y  e.  A )  <->  ( y  e.  A  /\  (
z  e.  u  /\  u  e.  y )
) )
108, 9bitr3i 251 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  u  /\  ( u  e.  y  /\  y  e.  A
) )  <->  ( y  e.  A  /\  (
z  e.  u  /\  u  e.  y )
) )
11102exbii 1669 . . . . . 6  |-  ( E. y E. u ( z  e.  u  /\  ( u  e.  y  /\  y  e.  A
) )  <->  E. y E. u ( y  e.  A  /\  ( z  e.  u  /\  u  e.  y ) ) )
12 exdistr 1777 . . . . . 6  |-  ( E. y E. u ( y  e.  A  /\  ( z  e.  u  /\  u  e.  y
) )  <->  E. y
( y  e.  A  /\  E. u ( z  e.  u  /\  u  e.  y ) ) )
137, 11, 123bitri 271 . . . . 5  |-  ( E. u E. y ( z  e.  u  /\  ( u  e.  y  /\  y  e.  A
) )  <->  E. y
( y  e.  A  /\  E. u ( z  e.  u  /\  u  e.  y ) ) )
14 eluni 4254 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  U. y  <->  E. u
( z  e.  u  /\  u  e.  y
) )
1514bicomi 202 . . . . . . 7  |-  ( E. u ( z  e.  u  /\  u  e.  y )  <->  z  e.  U. y )
1615anbi2i 694 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  E. u ( z  e.  u  /\  u  e.  y ) )  <->  ( y  e.  A  /\  z  e.  U. y ) )
1716exbii 1668 . . . . 5  |-  ( E. y ( y  e.  A  /\  E. u
( z  e.  u  /\  u  e.  y
) )  <->  E. y
( y  e.  A  /\  z  e.  U. y
) )
186, 13, 173bitri 271 . . . 4  |-  ( E. u ( z  e.  u  /\  E. y
( u  e.  y  /\  y  e.  A
) )  <->  E. y
( y  e.  A  /\  z  e.  U. y
) )
19 vex 3112 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
2019uniex 6595 . . . . . . . . . 10  |-  U. y  e.  _V
21 eleq2 2530 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  U. y  -> 
( z  e.  v  <-> 
z  e.  U. y
) )
2220, 21ceqsexv 3146 . . . . . . . . 9  |-  ( E. v ( v  = 
U. y  /\  z  e.  v )  <->  z  e.  U. y )
23 exancom 1672 . . . . . . . . 9  |-  ( E. v ( v  = 
U. y  /\  z  e.  v )  <->  E. v
( z  e.  v  /\  v  =  U. y ) )
2422, 23bitr3i 251 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  U. y  <->  E. v
( z  e.  v  /\  v  =  U. y ) )
2524anbi2i 694 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  U. y
)  <->  ( y  e.  A  /\  E. v
( z  e.  v  /\  v  =  U. y ) ) )
26 19.42v 1776 . . . . . . 7  |-  ( E. v ( y  e.  A  /\  ( z  e.  v  /\  v  =  U. y ) )  <-> 
( y  e.  A  /\  E. v ( z  e.  v  /\  v  =  U. y ) ) )
27 ancom 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( z  e.  v  /\  v  =  U. y ) )  <->  ( (
z  e.  v  /\  v  =  U. y
)  /\  y  e.  A ) )
28 anass 649 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  v  /\  v  =  U. y )  /\  y  e.  A )  <->  ( z  e.  v  /\  (
v  =  U. y  /\  y  e.  A
) ) )
2927, 28bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( z  e.  v  /\  v  =  U. y ) )  <->  ( z  e.  v  /\  (
v  =  U. y  /\  y  e.  A
) ) )
3029exbii 1668 . . . . . . 7  |-  ( E. v ( y  e.  A  /\  ( z  e.  v  /\  v  =  U. y ) )  <->  E. v ( z  e.  v  /\  ( v  =  U. y  /\  y  e.  A )
) )
3125, 26, 303bitr2i 273 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  U. y
)  <->  E. v ( z  e.  v  /\  (
v  =  U. y  /\  y  e.  A
) ) )
3231exbii 1668 . . . . 5  |-  ( E. y ( y  e.  A  /\  z  e. 
U. y )  <->  E. y E. v ( z  e.  v  /\  ( v  =  U. y  /\  y  e.  A )
) )
33 excom 1850 . . . . 5  |-  ( E. y E. v ( z  e.  v  /\  ( v  =  U. y  /\  y  e.  A
) )  <->  E. v E. y ( z  e.  v  /\  ( v  =  U. y  /\  y  e.  A )
) )
34 exdistr 1777 . . . . . 6  |-  ( E. v E. y ( z  e.  v  /\  ( v  =  U. y  /\  y  e.  A
) )  <->  E. v
( z  e.  v  /\  E. y ( v  =  U. y  /\  y  e.  A
) ) )
35 vex 3112 . . . . . . . . . 10  |-  v  e. 
_V
36 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  v  ->  (
x  =  U. y  <->  v  =  U. y ) )
3736anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  v  ->  (
( x  =  U. y  /\  y  e.  A
)  <->  ( v  = 
U. y  /\  y  e.  A ) ) )
3837exbidv 1715 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  v  ->  ( E. y ( x  = 
U. y  /\  y  e.  A )  <->  E. y
( v  =  U. y  /\  y  e.  A
) ) )
3935, 38elab 3246 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  { x  |  E. y ( x  =  U. y  /\  y  e.  A ) } 
<->  E. y ( v  =  U. y  /\  y  e.  A )
)
4039bicomi 202 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( v  = 
U. y  /\  y  e.  A )  <->  v  e.  { x  |  E. y
( x  =  U. y  /\  y  e.  A
) } )
4140anbi2i 694 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  v  /\  E. y ( v  = 
U. y  /\  y  e.  A ) )  <->  ( z  e.  v  /\  v  e.  { x  |  E. y ( x  = 
U. y  /\  y  e.  A ) } ) )
4241exbii 1668 . . . . . 6  |-  ( E. v ( z  e.  v  /\  E. y
( v  =  U. y  /\  y  e.  A
) )  <->  E. v
( z  e.  v  /\  v  e.  {
x  |  E. y
( x  =  U. y  /\  y  e.  A
) } ) )
4334, 42bitri 249 . . . . 5  |-  ( E. v E. y ( z  e.  v  /\  ( v  =  U. y  /\  y  e.  A
) )  <->  E. v
( z  e.  v  /\  v  e.  {
x  |  E. y
( x  =  U. y  /\  y  e.  A
) } ) )
4432, 33, 433bitri 271 . . . 4  |-  ( E. y ( y  e.  A  /\  z  e. 
U. y )  <->  E. v
( z  e.  v  /\  v  e.  {
x  |  E. y
( x  =  U. y  /\  y  e.  A
) } ) )
453, 18, 443bitri 271 . . 3  |-  ( E. u ( z  e.  u  /\  u  e. 
U. A )  <->  E. v
( z  e.  v  /\  v  e.  {
x  |  E. y
( x  =  U. y  /\  y  e.  A
) } ) )
4645abbii 2591 . 2  |-  { z  |  E. u ( z  e.  u  /\  u  e.  U. A ) }  =  { z  |  E. v ( z  e.  v  /\  v  e.  { x  |  E. y ( x  =  U. y  /\  y  e.  A ) } ) }
47 df-uni 4252 . 2  |-  U. U. A  =  { z  |  E. u ( z  e.  u  /\  u  e.  U. A ) }
48 df-uni 4252 . 2  |-  U. {
x  |  E. y
( x  =  U. y  /\  y  e.  A
) }  =  {
z  |  E. v
( z  e.  v  /\  v  e.  {
x  |  E. y
( x  =  U. y  /\  y  e.  A
) } ) }
4946, 47, 483eqtr4i 2496 1  |-  U. U. A  =  U. { x  |  E. y ( x  =  U. y  /\  y  e.  A ) }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   {cab 2442   U.cuni 4251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-rex 2813  df-v 3111  df-uni 4252
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