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Theorem uniun 4235
Description: The class union of the union of two classes. Theorem 8.3 of [Quine] p. 53. (Contributed by NM, 20-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
uniun  |-  U. ( A  u.  B )  =  ( U. A  u.  U. B )

Proof of Theorem uniun
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 19.43 1737 . . . 4  |-  ( E. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  \/  (
x  e.  y  /\  y  e.  B )
)  <->  ( E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  A
)  \/  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ) )
2 elun 3606 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( A  u.  B )  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  B ) )
32anbi2i 698 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  u.  B ) )  <->  ( x  e.  y  /\  (
y  e.  A  \/  y  e.  B )
) )
4 andi 875 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( y  e.  A  \/  y  e.  B
) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  A )  \/  ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ) )
53, 4bitri 252 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  u.  B ) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  A )  \/  ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ) )
65exbii 1712 . . . 4  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  u.  B
) )  <->  E. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  \/  (
x  e.  y  /\  y  e.  B )
) )
7 eluni 4219 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. A  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  A
) )
8 eluni 4219 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. B  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  B
) )
97, 8orbi12i 523 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U. A  \/  x  e.  U. B
)  <->  ( E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  A
)  \/  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ) )
101, 6, 93bitr4i 280 . . 3  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  u.  B
) )  <->  ( x  e.  U. A  \/  x  e.  U. B ) )
11 eluni 4219 . . 3  |-  ( x  e.  U. ( A  u.  B )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  u.  B ) ) )
12 elun 3606 . . 3  |-  ( x  e.  ( U. A  u.  U. B )  <->  ( x  e.  U. A  \/  x  e.  U. B ) )
1310, 11, 123bitr4i 280 . 2  |-  ( x  e.  U. ( A  u.  B )  <->  x  e.  ( U. A  u.  U. B ) )
1413eqriv 2418 1  |-  U. ( A  u.  B )  =  ( U. A  u.  U. B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1868    u. cun 3434   U.cuni 4216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-v 3083  df-un 3441  df-uni 4217
This theorem is referenced by:  unidif0  4593  unisuc  5514  fvssunirn  5900  fvun  5947  onuninsuci  6677  tc2  8227  fin1a2lem10  8839  fin1a2lem12  8841  incexclem  13879  dprd2da  17660  dmdprdsplit2lem  17663  ordtuni  20190  cmpcld  20401  uncmp  20402  refun0  20514  lfinun  20524  1stckgenlem  20552  filcon  20882  ufildr  20930  alexsubALTlem3  21048  cldsubg  21109  icccmplem2  21825  uniioombllem3  22527  sxbrsigalem0  29086  fiunelcarsg  29141  carsgclctunlem1  29142  carsggect  29143  cvmscld  29989  refssfne  31004  topjoin  31011  mbfresfi  31898  fourierdlem80  37867  isomenndlem  38127
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