Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unitssxrge0 Structured version   Unicode version

Theorem unitssxrge0 28036
Description: The closed unit is a subset of the set of the extended nonnegative reals. Useful lemma for manipulating probabilities within the closed unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
unitssxrge0  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  ( 0 [,] +oo )

Proof of Theorem unitssxrge0
StepHypRef Expression
1 0e0iccpnf 11552 . 2  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
2 1re 9506 . . . 4  |-  1  e.  RR
32rexri 9557 . . 3  |-  1  e.  RR*
4 0le1 9993 . . 3  |-  0  <_  1
5 pnfge 11260 . . . 4  |-  ( 1  e.  RR*  ->  1  <_ +oo )
63, 5ax-mp 5 . . 3  |-  1  <_ +oo
7 0xr 9551 . . . 4  |-  0  e.  RR*
8 pnfxr 11242 . . . 4  |- +oo  e.  RR*
9 elicc1 11494 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
1  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( 1  e.  RR*  /\  0  <_  1  /\  1  <_ +oo ) ) )
107, 8, 9mp2an 670 . . 3  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( 1  e. 
RR*  /\  0  <_  1  /\  1  <_ +oo )
)
113, 4, 6, 10mpbir3an 1176 . 2  |-  1  e.  ( 0 [,] +oo )
12 iccss2 11516 . 2  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  1  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( 0 [,] 1 )  C_  (
0 [,] +oo )
)
131, 11, 12mp2an 670 1  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  ( 0 [,] +oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ w3a 971    e. wcel 1826    C_ wss 3389   class class class wbr 4367  (class class class)co 6196   0cc0 9403   1c1 9404   +oocpnf 9536   RR*cxr 9538    <_ cle 9540   [,]cicc 11453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-icc 11457
This theorem is referenced by:  probun  28541
  Copyright terms: Public domain W3C validator