Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unitssxrge0 Structured version   Unicode version

Theorem unitssxrge0 27860
Description: The closed unit is a subset of the set of the extended nonnegative reals. Useful lemma for manipulating probabilities within the closed unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
unitssxrge0  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  ( 0 [,] +oo )

Proof of Theorem unitssxrge0
StepHypRef Expression
1 0e0iccpnf 11642 . 2  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
2 1re 9598 . . . 4  |-  1  e.  RR
32rexri 9649 . . 3  |-  1  e.  RR*
4 0le1 10083 . . 3  |-  0  <_  1
5 pnfge 11350 . . . 4  |-  ( 1  e.  RR*  ->  1  <_ +oo )
63, 5ax-mp 5 . . 3  |-  1  <_ +oo
7 0xr 9643 . . . 4  |-  0  e.  RR*
8 pnfxr 11332 . . . 4  |- +oo  e.  RR*
9 elicc1 11584 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
1  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( 1  e.  RR*  /\  0  <_  1  /\  1  <_ +oo ) ) )
107, 8, 9mp2an 672 . . 3  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( 1  e. 
RR*  /\  0  <_  1  /\  1  <_ +oo )
)
113, 4, 6, 10mpbir3an 1179 . 2  |-  1  e.  ( 0 [,] +oo )
12 iccss2 11606 . 2  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  1  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( 0 [,] 1 )  C_  (
0 [,] +oo )
)
131, 11, 12mp2an 672 1  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  ( 0 [,] +oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ w3a 974    e. wcel 1804    C_ wss 3461   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281   0cc0 9495   1c1 9496   +oocpnf 9628   RR*cxr 9630    <_ cle 9632   [,]cicc 11543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-icc 11547
This theorem is referenced by:  probun  28336
  Copyright terms: Public domain W3C validator