MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitrinv Structured version   Unicode version

Theorem unitrinv 16782
Description: A unit times its inverse is the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitinvcl.1  |-  U  =  (Unit `  R )
unitinvcl.2  |-  I  =  ( invr `  R
)
unitinvcl.3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
unitinvcl.4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
unitrinv  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U )  ->  ( X  .x.  ( I `  X ) )  =  .1.  )

Proof of Theorem unitrinv
StepHypRef Expression
1 unitinvcl.1 . . . 4  |-  U  =  (Unit `  R )
2 eqid 2443 . . . 4  |-  ( (mulGrp `  R )s  U )  =  ( (mulGrp `  R )s  U
)
31, 2unitgrp 16771 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (mulGrp `  R )s  U )  e.  Grp )
41, 2unitgrpbas 16770 . . . 4  |-  U  =  ( Base `  (
(mulGrp `  R )s  U
) )
5 fvex 5713 . . . . . 6  |-  (Unit `  R )  e.  _V
61, 5eqeltri 2513 . . . . 5  |-  U  e. 
_V
7 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
8 unitinvcl.3 . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .r `  R )
97, 8mgpplusg 16607 . . . . . 6  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
102, 9ressplusg 14292 . . . . 5  |-  ( U  e.  _V  ->  .x.  =  ( +g  `  ( (mulGrp `  R )s  U ) ) )
116, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  .x.  =  ( +g  `  ( (mulGrp `  R )s  U ) )
12 eqid 2443 . . . 4  |-  ( 0g
`  ( (mulGrp `  R )s  U ) )  =  ( 0g `  (
(mulGrp `  R )s  U
) )
13 unitinvcl.2 . . . . 5  |-  I  =  ( invr `  R
)
141, 2, 13invrfval 16777 . . . 4  |-  I  =  ( invg `  ( (mulGrp `  R )s  U
) )
154, 11, 12, 14grprinv 15597 . . 3  |-  ( ( ( (mulGrp `  R
)s 
U )  e.  Grp  /\  X  e.  U )  ->  ( X  .x.  ( I `  X
) )  =  ( 0g `  ( (mulGrp `  R )s  U ) ) )
163, 15sylan 471 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U )  ->  ( X  .x.  ( I `  X ) )  =  ( 0g `  (
(mulGrp `  R )s  U
) ) )
17 unitinvcl.4 . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
181, 2, 17unitgrpid 16773 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  =  ( 0g `  ( (mulGrp `  R )s  U ) ) )
1918adantr 465 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U )  ->  .1.  =  ( 0g `  ( (mulGrp `  R )s  U
) ) )
2016, 19eqtr4d 2478 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U )  ->  ( X  .x.  ( I `  X ) )  =  .1.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2984   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   ↾s cress 14187   +g cplusg 14250   .rcmulr 14251   0gc0g 14390   Grpcgrp 15422  mulGrpcmgp 16603   1rcur 16615   Ringcrg 16657  Unitcui 16743   invrcinvr 16775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-tpos 6757  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-0g 14392  df-mnd 15427  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-oppr 16727  df-dvdsr 16745  df-unit 16746  df-invr 16776
This theorem is referenced by:  1rinv  16783  0unit  16784  dvrid  16792  drnginvrr  16864  subrguss  16892  subrginv  16893  subrgunit  16895  matunit  18496  slesolinvbi  18499  nminvr  20262  nrginvrcnlem  20283  ply1divalg  21621  dchrn0  22601  dvrcan5  26273  invginvrid  30784
  Copyright terms: Public domain W3C validator