MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitnmn0 Structured version   Unicode version

Theorem unitnmn0 20374
Description: The norm of a unit is nonzero in a nonzero normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nminvr.n  |-  N  =  ( norm `  R
)
nminvr.u  |-  U  =  (Unit `  R )
Assertion
Ref Expression
unitnmn0  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  A )  =/=  0
)

Proof of Theorem unitnmn0
StepHypRef Expression
1 nrgngp 20368 . . 3  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e. NrmGrp )
213ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  R  e. NrmGrp )
3 eqid 2451 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
4 nminvr.u . . . 4  |-  U  =  (Unit `  R )
53, 4unitcl 16866 . . 3  |-  ( A  e.  U  ->  A  e.  ( Base `  R
) )
653ad2ant3 1011 . 2  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  A  e.  ( Base `  R )
)
7 eqid 2451 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
84, 7nzrunit 17463 . . 3  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  A  e.  U )  ->  A  =/=  ( 0g `  R
) )
983adant1 1006 . 2  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  A  =/=  ( 0g `  R ) )
10 nminvr.n . . 3  |-  N  =  ( norm `  R
)
113, 10, 7nmne0 20335 . 2  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  A  e.  ( Base `  R
)  /\  A  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( N `  A )  =/=  0
)
122, 6, 9, 11syl3anc 1219 1  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  A )  =/=  0
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   ` cfv 5519   0cc0 9386   Basecbs 14285   0gc0g 14489  Unitcui 16846  NzRingcnzr 17454   normcnm 20294  NrmGrpcngp 20295  NrmRingcnrg 20297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-tpos 6848  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-0g 14491  df-topgen 14493  df-mnd 15526  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-oppr 16830  df-dvdsr 16848  df-unit 16849  df-invr 16879  df-nzr 17455  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-xms 20020  df-ms 20021  df-nm 20300  df-ngp 20301  df-nrg 20303
This theorem is referenced by:  nminvr  20375  nmdvr  20376
  Copyright terms: Public domain W3C validator