Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitnegcl Structured version   Unicode version

Theorem unitnegcl 17650
 Description: The negative of a unit is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitnegcl.1 Unit
unitnegcl.2
Assertion
Ref Expression
unitnegcl

Proof of Theorem unitnegcl
StepHypRef Expression
1 simpl 455 . . 3
2 ringgrp 17523 . . . . . 6
3 eqid 2402 . . . . . . 7
4 unitnegcl.1 . . . . . . 7 Unit
53, 4unitcl 17628 . . . . . 6
6 unitnegcl.2 . . . . . . 7
73, 6grpinvcl 16419 . . . . . 6
82, 5, 7syl2an 475 . . . . 5
9 eqid 2402 . . . . . 6 r r
103, 9, 6dvdsrneg 17623 . . . . 5 r
118, 10syldan 468 . . . 4 r
123, 6grpinvinv 16429 . . . . 5
132, 5, 12syl2an 475 . . . 4
1411, 13breqtrd 4419 . . 3 r
15 simpr 459 . . . . 5
16 eqid 2402 . . . . . 6
17 eqid 2402 . . . . . 6 oppr oppr
18 eqid 2402 . . . . . 6 roppr roppr
194, 16, 9, 17, 18isunit 17626 . . . . 5 r roppr
2015, 19sylib 196 . . . 4 r roppr
2120simpld 457 . . 3 r
223, 9dvdsrtr 17621 . . 3 r r r
231, 14, 21, 22syl3anc 1230 . 2 r
2417opprring 17600 . . . 4 oppr
2524adantr 463 . . 3 oppr
2617, 3opprbas 17598 . . . . . 6 oppr
2717, 6opprneg 17604 . . . . . 6 oppr
2826, 18, 27dvdsrneg 17623 . . . . 5 oppr roppr
2925, 8, 28syl2anc 659 . . . 4 roppr
3029, 13breqtrd 4419 . . 3 roppr
3120simprd 461 . . 3 roppr
3226, 18dvdsrtr 17621 . . 3 oppr roppr roppr roppr
3325, 30, 31, 32syl3anc 1230 . 2 roppr
344, 16, 9, 17, 18isunit 17626 . 2 r roppr
3523, 33, 34sylanbrc 662 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842   class class class wbr 4395  cfv 5569  cbs 14841  cgrp 16377  cminusg 16378  cur 17473  crg 17518  opprcoppr 17591  rcdsr 17607  Unitcui 17608 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-oppr 17592  df-dvdsr 17610  df-unit 17611 This theorem is referenced by:  irredneg  17679  deg1invg  22799  nzrneg1ne0  38186  invginvrid  38471  lincresunit3lem3  38586  lincresunitlem1  38587
 Copyright terms: Public domain W3C validator