MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitlinv Structured version   Unicode version

Theorem unitlinv 17197
Description: A unit times its inverse is the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitinvcl.1  |-  U  =  (Unit `  R )
unitinvcl.2  |-  I  =  ( invr `  R
)
unitinvcl.3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
unitinvcl.4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
unitlinv  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U )  ->  (
( I `  X
)  .x.  X )  =  .1.  )

Proof of Theorem unitlinv
StepHypRef Expression
1 unitinvcl.1 . . . 4  |-  U  =  (Unit `  R )
2 eqid 2441 . . . 4  |-  ( (mulGrp `  R )s  U )  =  ( (mulGrp `  R )s  U
)
31, 2unitgrp 17187 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (mulGrp `  R )s  U )  e.  Grp )
41, 2unitgrpbas 17186 . . . 4  |-  U  =  ( Base `  (
(mulGrp `  R )s  U
) )
5 fvex 5863 . . . . . 6  |-  (Unit `  R )  e.  _V
61, 5eqeltri 2525 . . . . 5  |-  U  e. 
_V
7 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
8 unitinvcl.3 . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .r `  R )
97, 8mgpplusg 17016 . . . . . 6  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
102, 9ressplusg 14613 . . . . 5  |-  ( U  e.  _V  ->  .x.  =  ( +g  `  ( (mulGrp `  R )s  U ) ) )
116, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  .x.  =  ( +g  `  ( (mulGrp `  R )s  U ) )
12 eqid 2441 . . . 4  |-  ( 0g
`  ( (mulGrp `  R )s  U ) )  =  ( 0g `  (
(mulGrp `  R )s  U
) )
13 unitinvcl.2 . . . . 5  |-  I  =  ( invr `  R
)
141, 2, 13invrfval 17193 . . . 4  |-  I  =  ( invg `  ( (mulGrp `  R )s  U
) )
154, 11, 12, 14grplinv 15967 . . 3  |-  ( ( ( (mulGrp `  R
)s 
U )  e.  Grp  /\  X  e.  U )  ->  ( ( I `
 X )  .x.  X )  =  ( 0g `  ( (mulGrp `  R )s  U ) ) )
163, 15sylan 471 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U )  ->  (
( I `  X
)  .x.  X )  =  ( 0g `  ( (mulGrp `  R )s  U
) ) )
17 unitinvcl.4 . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
181, 2, 17unitgrpid 17189 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  =  ( 0g `  ( (mulGrp `  R )s  U ) ) )
1918adantr 465 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U )  ->  .1.  =  ( 0g `  ( (mulGrp `  R )s  U
) ) )
2016, 19eqtr4d 2485 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U )  ->  (
( I `  X
)  .x.  X )  =  .1.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   _Vcvv 3093   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   ↾s cress 14507   +g cplusg 14571   .rcmulr 14572   0gc0g 14711   Grpcgrp 15924  mulGrpcmgp 17012   1rcur 17024   Ringcrg 17069  Unitcui 17159   invrcinvr 17191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-tpos 6954  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-er 7310  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-0g 14713  df-mgm 15743  df-sgrp 15782  df-mnd 15792  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-mgp 17013  df-ur 17025  df-ring 17071  df-oppr 17143  df-dvdsr 17161  df-unit 17162  df-invr 17192
This theorem is referenced by:  dvrcan1  17211  drnginvrl  17286  subrginv  17316  subrgunit  17318  unitrrg  17813  matinv  19049  matunit  19050  slesolinv  19052  nrginvrcnlem  21069  uc1pmon1p  22422  ornglmullt  27667  rhmunitinv  27682  kerunit  27683  lincresunit3lem3  32805
  Copyright terms: Public domain W3C validator