MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitlinv Structured version   Unicode version

Theorem unitlinv 17139
Description: A unit times its inverse is the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitinvcl.1  |-  U  =  (Unit `  R )
unitinvcl.2  |-  I  =  ( invr `  R
)
unitinvcl.3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
unitinvcl.4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
unitlinv  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U )  ->  (
( I `  X
)  .x.  X )  =  .1.  )

Proof of Theorem unitlinv
StepHypRef Expression
1 unitinvcl.1 . . . 4  |-  U  =  (Unit `  R )
2 eqid 2467 . . . 4  |-  ( (mulGrp `  R )s  U )  =  ( (mulGrp `  R )s  U
)
31, 2unitgrp 17129 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (mulGrp `  R )s  U )  e.  Grp )
41, 2unitgrpbas 17128 . . . 4  |-  U  =  ( Base `  (
(mulGrp `  R )s  U
) )
5 fvex 5876 . . . . . 6  |-  (Unit `  R )  e.  _V
61, 5eqeltri 2551 . . . . 5  |-  U  e. 
_V
7 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
8 unitinvcl.3 . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .r `  R )
97, 8mgpplusg 16959 . . . . . 6  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
102, 9ressplusg 14600 . . . . 5  |-  ( U  e.  _V  ->  .x.  =  ( +g  `  ( (mulGrp `  R )s  U ) ) )
116, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  .x.  =  ( +g  `  ( (mulGrp `  R )s  U ) )
12 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 0g
`  ( (mulGrp `  R )s  U ) )  =  ( 0g `  (
(mulGrp `  R )s  U
) )
13 unitinvcl.2 . . . . 5  |-  I  =  ( invr `  R
)
141, 2, 13invrfval 17135 . . . 4  |-  I  =  ( invg `  ( (mulGrp `  R )s  U
) )
154, 11, 12, 14grplinv 15910 . . 3  |-  ( ( ( (mulGrp `  R
)s 
U )  e.  Grp  /\  X  e.  U )  ->  ( ( I `
 X )  .x.  X )  =  ( 0g `  ( (mulGrp `  R )s  U ) ) )
163, 15sylan 471 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U )  ->  (
( I `  X
)  .x.  X )  =  ( 0g `  ( (mulGrp `  R )s  U
) ) )
17 unitinvcl.4 . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
181, 2, 17unitgrpid 17131 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  =  ( 0g `  ( (mulGrp `  R )s  U ) ) )
1918adantr 465 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U )  ->  .1.  =  ( 0g `  ( (mulGrp `  R )s  U
) ) )
2016, 19eqtr4d 2511 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U )  ->  (
( I `  X
)  .x.  X )  =  .1.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   ↾s cress 14494   +g cplusg 14558   .rcmulr 14559   0gc0g 14698   Grpcgrp 15730  mulGrpcmgp 16955   1rcur 16967   Ringcrg 17012  Unitcui 17101   invrcinvr 17133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-tpos 6956  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-0g 14700  df-mnd 15735  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-oppr 17085  df-dvdsr 17103  df-unit 17104  df-invr 17134
This theorem is referenced by:  dvrcan1  17153  drnginvrl  17227  subrginv  17257  subrgunit  17259  unitrrg  17753  matinv  18986  matunit  18987  slesolinv  18989  nrginvrcnlem  21026  uc1pmon1p  22379  ornglmullt  27557  rhmunitinv  27572  kerunit  27573  lincresunit3lem3  32373
  Copyright terms: Public domain W3C validator