MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitg Structured version   Unicode version

Theorem unitg 19335
Description: The topology generated by a basis  B is a topology on  U. B. Importantly, this theorem means that we don't have to specify separately the base set for the topological space generated by a basis. In other words, any member of the class  TopBases completely specifies the basis it corresponds to. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
unitg  |-  ( B  e.  V  ->  U. ( topGen `
 B )  = 
U. B )

Proof of Theorem unitg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluni2 4255 . . . 4  |-  ( x  e.  U. ( topGen `  B )  <->  E. y  e.  ( topGen `  B )
x  e.  y )
2 eltg 19325 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  (
y  e.  ( topGen `  B )  <->  y  C_  U. ( B  i^i  ~P y ) ) )
3 inss1 3723 . . . . . . . . 9  |-  ( B  i^i  ~P y ) 
C_  B
43unissi 4274 . . . . . . . 8  |-  U. ( B  i^i  ~P y ) 
C_  U. B
5 sstr 3517 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  U. ( B  i^i  ~P y )  /\  U. ( B  i^i  ~P y ) 
C_  U. B )  -> 
y  C_  U. B )
64, 5mpan2 671 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  U. ( B  i^i  ~P y )  ->  y  C_ 
U. B )
76sseld 3508 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  U. ( B  i^i  ~P y )  ->  (
x  e.  y  ->  x  e.  U. B ) )
82, 7syl6bi 228 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  (
y  e.  ( topGen `  B )  ->  (
x  e.  y  ->  x  e.  U. B ) ) )
98rexlimdv 2957 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  ( E. y  e.  ( topGen `
 B ) x  e.  y  ->  x  e.  U. B ) )
101, 9syl5bi 217 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  U. ( topGen `
 B )  ->  x  e.  U. B ) )
11 bastg 19334 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
1211unissd 4275 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  U. B  C_ 
U. ( topGen `  B
) )
1312sseld 3508 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  U. B  ->  x  e.  U. ( topGen `
 B ) ) )
1410, 13impbid 191 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  U. ( topGen `
 B )  <->  x  e.  U. B ) )
1514eqrdv 2464 1  |-  ( B  e.  V  ->  U. ( topGen `
 B )  = 
U. B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2818    i^i cin 3480    C_ wss 3481   ~Pcpw 4016   U.cuni 4251   ` cfv 5594   topGenctg 14709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-topgen 14715
This theorem is referenced by:  tgcl  19337  tgtopon  19339  tgcmp  19767  2ndcsep  19826  txtopon  19958  ptuni  19961  xkouni  19966  prdstopn  19995  tgqtop  20079  alexsubb  20412  alexsubALTlem3  20415  alexsubALTlem4  20416  ptcmplem1  20418  uniretop  21135  fneval  30104  fnemeet1  30118  kelac2  30945
  Copyright terms: Public domain W3C validator