MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitg Structured version   Unicode version

Theorem unitg 18594
Description: The topology generated by a basis  B is a topology on  U. B. Importantly, this theorem means that we don't have to specify separately the base set for the topological space generated by a basis. In other words, any member of the class  TopBases completely specifies the basis it corresponds to. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
unitg  |-  ( B  e.  V  ->  U. ( topGen `
 B )  = 
U. B )

Proof of Theorem unitg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluni2 4116 . . . 4  |-  ( x  e.  U. ( topGen `  B )  <->  E. y  e.  ( topGen `  B )
x  e.  y )
2 eltg 18584 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  (
y  e.  ( topGen `  B )  <->  y  C_  U. ( B  i^i  ~P y ) ) )
3 inss1 3591 . . . . . . . . 9  |-  ( B  i^i  ~P y ) 
C_  B
43unissi 4135 . . . . . . . 8  |-  U. ( B  i^i  ~P y ) 
C_  U. B
5 sstr 3385 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  U. ( B  i^i  ~P y )  /\  U. ( B  i^i  ~P y ) 
C_  U. B )  -> 
y  C_  U. B )
64, 5mpan2 671 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  U. ( B  i^i  ~P y )  ->  y  C_ 
U. B )
76sseld 3376 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  U. ( B  i^i  ~P y )  ->  (
x  e.  y  ->  x  e.  U. B ) )
82, 7syl6bi 228 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  (
y  e.  ( topGen `  B )  ->  (
x  e.  y  ->  x  e.  U. B ) ) )
98rexlimdv 2861 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  ( E. y  e.  ( topGen `
 B ) x  e.  y  ->  x  e.  U. B ) )
101, 9syl5bi 217 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  U. ( topGen `
 B )  ->  x  e.  U. B ) )
11 bastg 18593 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
1211unissd 4136 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  U. B  C_ 
U. ( topGen `  B
) )
1312sseld 3376 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  U. B  ->  x  e.  U. ( topGen `
 B ) ) )
1410, 13impbid 191 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  U. ( topGen `
 B )  <->  x  e.  U. B ) )
1514eqrdv 2441 1  |-  ( B  e.  V  ->  U. ( topGen `
 B )  = 
U. B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2737    i^i cin 3348    C_ wss 3349   ~Pcpw 3881   U.cuni 4112   ` cfv 5439   topGenctg 14397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fv 5447  df-topgen 14403
This theorem is referenced by:  tgcl  18596  tgtopon  18598  tgcmp  19026  2ndcsep  19085  txtopon  19186  ptuni  19189  xkouni  19194  prdstopn  19223  tgqtop  19307  alexsubb  19640  alexsubALTlem3  19643  alexsubALTlem4  19644  ptcmplem1  19646  uniretop  20363  fneval  28585  fnemeet1  28613  kelac2  29444
  Copyright terms: Public domain W3C validator