Theorem unitg 8893

Description: The topology generated by a basis B is a topology on U.B. Importantly, this theorem means that we don't have to specify separately the base set for the topological space generated by a basis. In other words, any member of the class Bases completely specifies the basis it corresponds to.

Assertion

Ref	Expression
unitg	|- (B e. Bases -> U.(topGen` B) = U.B)

Proof of Theorem unitg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltg 8888	. . . . . 6 |- (B e. Bases -> (y e. (topGen` B) <-> y C_ U.(B i^i ~Py)))
2		inss1 2812	. . . . . . . . 9 |- (B i^i ~Py) C_ B
3		uniss 3199	. . . . . . . . 9 |- ((B i^i ~Py) C_ B -> U.(B i^i ~Py) C_ U.B)
4	2, 3	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- U.(B i^i ~Py) C_ U.B
5		sstr 2625	. . . . . . . 8 |- ((y C_ U.(B i^i ~Py) /\ U.(B i^i ~Py) C_ U.B) -> y C_ U.B)
6	4, 5	mpan2 760	. . . . . . 7 |- (y C_ U.(B i^i ~Py) -> y C_ U.B)
7	6	sseld 2619	. . . . . 6 |- (y C_ U.(B i^i ~Py) -> (x e. y -> x e. U.B))
8	1, 7	syl6bi 231	. . . . 5 |- (B e. Bases -> (y e. (topGen` B) -> (x e. y -> x e. U.B)))
9	8	r19.23adv 2215	. . . 4 |- (B e. Bases -> (E.y e. (topGen` B)x e. y -> x e. U.B))
10		eluni2 3181	. . . 4 |- (x e. U.(topGen` B) <-> E.y e. (topGen` B)x e. y)
11	9, 10	syl5ib 223	. . 3 |- (B e. Bases -> (x e. U.(topGen` B) -> x e. U.B))
12		bastg 8892	. . . . 5 |- (B e. Bases -> B C_ (topGen` B))
13		uniss 3199	. . . . 5 |- (B C_ (topGen` B) -> U.B C_ U.(topGen` B))
14	12, 13	syl 12	. . . 4 |- (B e. Bases -> U.B C_ U.(topGen` B))
15	14	sseld 2619	. . 3 |- (B e. Bases -> (x e. U.B -> x e. U.(topGen` B)))
16	11, 15	impbid 574	. 2 |- (B e. Bases -> (x e. U.(topGen` B) <-> x e. U.B))
17	16	eqrdv 1882	1 |- (B e. Bases -> U.(topGen` B) = U.B)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106   i^i cin 2592   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Basesctb 8859  topGenctg 8860

This theorem is referenced by:  tgcl 8894  uniretop 8927  txuni 8935  nolimf 15031  alexsublem3 15439  alexsublem4 15440  topfneec 15501  topjoin 15527  txmet 15925

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-bases 8863  df-topgen 8864

Copyright terms: Public domain