MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitcl Structured version   Unicode version

Theorem unitcl 17085
Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitcl.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
unitcl.2  |-  U  =  (Unit `  R )
Assertion
Ref Expression
unitcl  |-  ( X  e.  U  ->  X  e.  B )

Proof of Theorem unitcl
StepHypRef Expression
1 unitcl.2 . . . 4  |-  U  =  (Unit `  R )
2 eqid 2460 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
3 eqid 2460 . . . 4  |-  ( ||r `  R
)  =  ( ||r `  R
)
4 eqid 2460 . . . 4  |-  (oppr `  R
)  =  (oppr `  R
)
5 eqid 2460 . . . 4  |-  ( ||r `  (oppr `  R
) )  =  (
||r `  (oppr
`  R ) )
61, 2, 3, 4, 5isunit 17083 . . 3  |-  ( X  e.  U  <->  ( X
( ||r `
 R ) ( 1r `  R )  /\  X ( ||r `  (oppr `  R
) ) ( 1r
`  R ) ) )
76simplbi 460 . 2  |-  ( X  e.  U  ->  X
( ||r `
 R ) ( 1r `  R ) )
8 unitcl.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
98, 3dvdsrcl 17075 . 2  |-  ( X ( ||r `
 R ) ( 1r `  R )  ->  X  e.  B
)
107, 9syl 16 1  |-  ( X  e.  U  ->  X  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4440   ` cfv 5579   Basecbs 14479   1rcur 16936  opprcoppr 17048   ||rcdsr 17064  Unitcui 17065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-dvdsr 17067  df-unit 17068
This theorem is referenced by:  unitss  17086  unitmulcl  17090  unitgrp  17093  rnginvcl  17102  unitnegcl  17107  unitdvcl  17113  dvrid  17114  dvrcan1  17117  dvrcan3  17118  dvreq1  17119  irredrmul  17133  isdrng2  17182  subrguss  17220  subrginv  17221  subrgunit  17223  unitrrg  17706  gzrngunitlem  18243  gzrngunit  18244  zringunit  18280  zrngunit  18281  matinv  18939  cramerimp  18948  unitnmn0  20905  nminvr  20906  nrginvrcnlem  20927  ig1peu  22300  dchrelbas3  23234  dchrmulcl  23245  kerunit  27462  invginvrid  31900  lincresunit3lem3  32023  lincresunit3lem1  32028
  Copyright terms: Public domain W3C validator