MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitcl Structured version   Unicode version

Theorem unitcl 17822
Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitcl.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
unitcl.2  |-  U  =  (Unit `  R )
Assertion
Ref Expression
unitcl  |-  ( X  e.  U  ->  X  e.  B )

Proof of Theorem unitcl
StepHypRef Expression
1 unitcl.2 . . . 4  |-  U  =  (Unit `  R )
2 eqid 2429 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
3 eqid 2429 . . . 4  |-  ( ||r `  R
)  =  ( ||r `  R
)
4 eqid 2429 . . . 4  |-  (oppr `  R
)  =  (oppr `  R
)
5 eqid 2429 . . . 4  |-  ( ||r `  (oppr `  R
) )  =  (
||r `  (oppr
`  R ) )
61, 2, 3, 4, 5isunit 17820 . . 3  |-  ( X  e.  U  <->  ( X
( ||r `
 R ) ( 1r `  R )  /\  X ( ||r `  (oppr `  R
) ) ( 1r
`  R ) ) )
76simplbi 461 . 2  |-  ( X  e.  U  ->  X
( ||r `
 R ) ( 1r `  R ) )
8 unitcl.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
98, 3dvdsrcl 17812 . 2  |-  ( X ( ||r `
 R ) ( 1r `  R )  ->  X  e.  B
)
107, 9syl 17 1  |-  ( X  e.  U  ->  X  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870   class class class wbr 4426   ` cfv 5601   Basecbs 15084   1rcur 17670  opprcoppr 17785   ||rcdsr 17801  Unitcui 17802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-dvdsr 17804  df-unit 17805
This theorem is referenced by:  unitss  17823  unitmulcl  17827  unitgrp  17830  ringinvcl  17839  unitnegcl  17844  unitdvcl  17850  dvrid  17851  dvrcan1  17854  dvrcan3  17855  dvreq1  17856  irredrmul  17870  isdrng2  17920  subrguss  17958  subrginv  17959  subrgunit  17961  unitrrg  18452  gzrngunitlem  18967  gzrngunit  18968  zringunit  18993  matinv  19633  cramerimp  19642  unitnmn0  21602  nminvr  21603  nrginvrcnlem  21624  ig1peu  22997  dchrelbas3  24029  dchrmulcl  24040  kerunit  28425  invginvrid  38911  lincresunit3lem3  39026  lincresunit3lem1  39031
  Copyright terms: Public domain W3C validator