MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitcl Structured version   Unicode version

Theorem unitcl 16751
Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitcl.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
unitcl.2  |-  U  =  (Unit `  R )
Assertion
Ref Expression
unitcl  |-  ( X  e.  U  ->  X  e.  B )

Proof of Theorem unitcl
StepHypRef Expression
1 unitcl.2 . . . 4  |-  U  =  (Unit `  R )
2 eqid 2443 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
3 eqid 2443 . . . 4  |-  ( ||r `  R
)  =  ( ||r `  R
)
4 eqid 2443 . . . 4  |-  (oppr `  R
)  =  (oppr `  R
)
5 eqid 2443 . . . 4  |-  ( ||r `  (oppr `  R
) )  =  (
||r `  (oppr
`  R ) )
61, 2, 3, 4, 5isunit 16749 . . 3  |-  ( X  e.  U  <->  ( X
( ||r `
 R ) ( 1r `  R )  /\  X ( ||r `  (oppr `  R
) ) ( 1r
`  R ) ) )
76simplbi 460 . 2  |-  ( X  e.  U  ->  X
( ||r `
 R ) ( 1r `  R ) )
8 unitcl.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
98, 3dvdsrcl 16741 . 2  |-  ( X ( ||r `
 R ) ( 1r `  R )  ->  X  e.  B
)
107, 9syl 16 1  |-  ( X  e.  U  ->  X  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4292   ` cfv 5418   Basecbs 14174   1rcur 16603  opprcoppr 16714   ||rcdsr 16730  Unitcui 16731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-dvdsr 16733  df-unit 16734
This theorem is referenced by:  unitss  16752  unitmulcl  16756  unitgrp  16759  rnginvcl  16768  unitnegcl  16773  unitdvcl  16779  dvrid  16780  dvrcan1  16783  dvrcan3  16784  dvreq1  16785  irredrmul  16799  isdrng2  16842  subrguss  16880  subrginv  16881  subrgunit  16883  unitrrg  17365  gzrngunitlem  17877  gzrngunit  17878  zringunit  17914  zrngunit  17915  matinv  18483  cramerimp  18492  unitnmn0  20249  nminvr  20250  nrginvrcnlem  20271  ig1peu  21643  dchrelbas3  22577  dchrmulcl  22588  kerunit  26291  invginvrid  30772  lincresunit3lem3  31008  lincresunit3lem1  31013
  Copyright terms: Public domain W3C validator