Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unirnfdomd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem unirnfdomd 8992
 Description: The union of the range of a function from an infinite set into the class of finite sets is dominated by its domain. Deduction form. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
unirnfdomd.1
unirnfdomd.2
unirnfdomd.3
Assertion
Ref Expression
unirnfdomd

Proof of Theorem unirnfdomd
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unirnfdomd.1 . . . . . . . 8
2 ffn 5728 . . . . . . . 8
31, 2syl 17 . . . . . . 7
4 unirnfdomd.3 . . . . . . 7
5 fnex 6132 . . . . . . 7
63, 4, 5syl2anc 667 . . . . . 6
7 rnexg 6725 . . . . . 6
86, 7syl 17 . . . . 5
9 frn 5735 . . . . . . 7
10 dfss3 3422 . . . . . . 7
119, 10sylib 200 . . . . . 6
12 isfinite 8157 . . . . . . . 8
13 sdomdom 7597 . . . . . . . 8
1412, 13sylbi 199 . . . . . . 7
1514ralimi 2781 . . . . . 6
161, 11, 153syl 18 . . . . 5
17 unidom 8968 . . . . 5
188, 16, 17syl2anc 667 . . . 4
19 fnrndomg 8963 . . . . . 6
204, 3, 19sylc 62 . . . . 5
21 omex 8148 . . . . . 6
2221xpdom1 7671 . . . . 5
2320, 22syl 17 . . . 4
24 domtr 7622 . . . 4
2518, 23, 24syl2anc 667 . . 3
26 unirnfdomd.2 . . . . 5
27 infinf 8991 . . . . . 6
284, 27syl 17 . . . . 5
2926, 28mpbid 214 . . . 4
30 xpdom2g 7668 . . . 4
314, 29, 30syl2anc 667 . . 3
32 domtr 7622 . . 3
3325, 31, 32syl2anc 667 . 2
34 infxpidm 8987 . . 3
3529, 34syl 17 . 2
36 domentr 7628 . 2
3733, 35, 36syl2anc 667 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wcel 1887  wral 2737  cvv 3045   wss 3404  cuni 4198   class class class wbr 4402   cxp 4832   crn 4835   wfn 5577  wf 5578  com 6692   cen 7566   cdom 7567   csdm 7568  cfn 7569 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-ac2 8893 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-ac 8547 This theorem is referenced by:  acsdomd  16427
 Copyright terms: Public domain W3C validator