Theorem unirep 31997

Description: Define a quantity whose definition involves a choice of representative, but which is uniquely determined regardless of the choice. (Contributed by Jeff Madsen, 1-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
unirep.1	|- ( y = D -> ( ph <-> ps ) )
unirep.2	|- ( y = D -> B = C )
unirep.3	|- ( y = z -> ( ph <-> ch ) )
unirep.4	|- ( y = z -> B = F )
unirep.5	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
unirep	|- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( D e. A /\ ps ) ) -> ( iota x E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) = C )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, z   x, C, y   x, D, y   x, F, y   ph, x, z   ps, x, y   ch, x, y

Allowed substitution hints:   ph( y)   ps( z)   ch( z)   B( y)   C( z)   D( z)   F( z)

Proof of Theorem unirep

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2424	. . . . 5 |- ( ps -> C = C )
2	1	ancli 554	. . . 4 |- ( ps -> ( ps /\ C = C ) )
3		unirep.1	. . . . . 6 |- ( y = D -> ( ph <-> ps ) )
4		unirep.2	. . . . . . 7 |- ( y = D -> B = C )
5	4	eqeq2d 2437	. . . . . 6 |- ( y = D -> ( C = B <-> C = C ) )
6	3, 5	anbi12d 716	. . . . 5 |- ( y = D -> ( ( ph /\ C = B ) <-> ( ps /\ C = C ) ) )
7	6	rspcev 3183	. . . 4 |- ( ( D e. A /\ ( ps /\ C = C ) ) -> E. y e. A ( ph /\ C = B ) )
8	2, 7	sylan2 477	. . 3 |- ( ( D e. A /\ ps ) -> E. y e. A ( ph /\ C = B ) )
9	8	adantl 468	. 2 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( D e. A /\ ps ) ) -> E. y e. A ( ph /\ C = B ) )
10		nfcvd 2586	. . . . . 6 |- ( D e. A -> F/_ y C )
11	10, 4	csbiegf 3420	. . . . 5 |- ( D e. A -> [_ D / y ]_ B = C )
12		unirep.5	. . . . . 6 |- B e. _V
13	12	csbex 4557	. . . . 5 |- [_ D / y ]_ B e. _V
14	11, 13	syl6eqelr 2520	. . . 4 |- ( D e. A -> C e. _V )
15	14	ad2antrl 733	. . 3 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( D e. A /\ ps ) ) -> C e. _V )
16		eqeq1 2427	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = C -> ( x = B <-> C = B ) )
17	16	anbi2d 709	. . . . . . . . . 10 |- ( x = C -> ( ( ph /\ x = B ) <-> ( ph /\ C = B ) ) )
18	17	rexbidv 2940	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> ( E. y e. A ( ph /\ x = B ) <-> E. y e. A ( ph /\ C = B ) ) )
19	18	spcegv 3168	. . . . . . . 8 |- ( C e. _V -> ( E. y e. A ( ph /\ C = B ) -> E. x E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) )
20	14, 19	syl 17	. . . . . . 7 |- ( D e. A -> ( E. y e. A ( ph /\ C = B ) -> E. x E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) )
21	20	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( D e. A /\ ps ) -> ( E. y e. A ( ph /\ C = B ) -> E. x E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) )
22	8, 21	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( D e. A /\ ps ) -> E. x E. y e. A ( ph /\ x = B ) )
23	22	adantl 468	. . . 4 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( D e. A /\ ps ) ) -> E. x E. y e. A ( ph /\ x = B ) )
24		r19.29 2964	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) -> E. y e. A ( A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( ph /\ x = B ) ) )
25		r19.29 2964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ E. z e. A ( ch /\ w = F ) ) -> E. z e. A ( ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( ch /\ w = F ) ) )
26		an4 832	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x = B ) /\ ( ch /\ w = F ) ) <-> ( ( ph /\ ch ) /\ ( x = B /\ w = F ) ) )
27		pm3.35 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ch ) /\ ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) ) -> B = F )
28		eqeq12 2442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x = B /\ w = F ) -> ( x = w <-> B = F ) )
29	27, 28	syl5ibrcom 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ch ) /\ ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) ) -> ( ( x = B /\ w = F ) -> x = w ) )
30	29	ancoms 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( ph /\ ch ) ) -> ( ( x = B /\ w = F ) -> x = w ) )
31	30	expimpd 607	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) -> ( ( ( ph /\ ch ) /\ ( x = B /\ w = F ) ) -> x = w ) )
32	26, 31	syl5bi 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) -> ( ( ( ph /\ x = B ) /\ ( ch /\ w = F ) ) -> x = w ) )
33	32	ancomsd 456	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) -> ( ( ( ch /\ w = F ) /\ ( ph /\ x = B ) ) -> x = w ) )
34	33	expdimp 439	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( ch /\ w = F ) ) -> ( ( ph /\ x = B ) -> x = w ) )
35	34	rexlimivw 2915	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. z e. A ( ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( ch /\ w = F ) ) -> ( ( ph /\ x = B ) -> x = w ) )
36	35	imp 431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E. z e. A ( ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( ch /\ w = F ) ) /\ ( ph /\ x = B ) ) -> x = w )
37	25, 36	sylan 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ E. z e. A ( ch /\ w = F ) ) /\ ( ph /\ x = B ) ) -> x = w )
38	37	an32s 812	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( ph /\ x = B ) ) /\ E. z e. A ( ch /\ w = F ) ) -> x = w )
39	38	ex 436	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( ph /\ x = B ) ) -> ( E. z e. A ( ch /\ w = F ) -> x = w ) )
40	39	rexlimivw 2915	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. A ( A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( ph /\ x = B ) ) -> ( E. z e. A ( ch /\ w = F ) -> x = w ) )
41	24, 40	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) -> ( E. z e. A ( ch /\ w = F ) -> x = w ) )
42	41	expimpd 607	. . . . . 6 |- ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) -> ( ( E. y e. A ( ph /\ x = B ) /\ E. z e. A ( ch /\ w = F ) ) -> x = w ) )
43	42	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( D e. A /\ ps ) ) -> ( ( E. y e. A ( ph /\ x = B ) /\ E. z e. A ( ch /\ w = F ) ) -> x = w ) )
44	43	alrimivv 1765	. . . 4 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( D e. A /\ ps ) ) -> A. x A. w ( ( E. y e. A ( ph /\ x = B ) /\ E. z e. A ( ch /\ w = F ) ) -> x = w ) )
45		eqeq1 2427	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( x = B <-> w = B ) )
46	45	anbi2d 709	. . . . . . 7 |- ( x = w -> ( ( ph /\ x = B ) <-> ( ph /\ w = B ) ) )
47	46	rexbidv 2940	. . . . . 6 |- ( x = w -> ( E. y e. A ( ph /\ x = B ) <-> E. y e. A ( ph /\ w = B ) ) )
48		unirep.3	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( ph <-> ch ) )
49		unirep.4	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> B = F )
50	49	eqeq2d 2437	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( w = B <-> w = F ) )
51	48, 50	anbi12d 716	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( ( ph /\ w = B ) <-> ( ch /\ w = F ) ) )
52	51	cbvrexv 3057	. . . . . 6 |- ( E. y e. A ( ph /\ w = B ) <-> E. z e. A ( ch /\ w = F ) )
53	47, 52	syl6bb 265	. . . . 5 |- ( x = w -> ( E. y e. A ( ph /\ x = B ) <-> E. z e. A ( ch /\ w = F ) ) )
54	53	eu4 2315	. . . 4 |- ( E! x E. y e. A ( ph /\ x = B ) <-> ( E. x E. y e. A ( ph /\ x = B ) /\ A. x A. w ( ( E. y e. A ( ph /\ x = B ) /\ E. z e. A ( ch /\ w = F ) ) -> x = w ) ) )
55	23, 44, 54	sylanbrc 669	. . 3 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( D e. A /\ ps ) ) -> E! x E. y e. A ( ph /\ x = B ) )
56	18	iota2 5589	. . 3 |- ( ( C e. _V /\ E! x E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) -> ( E. y e. A ( ph /\ C = B ) <-> ( iota x E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) = C ) )
57	15, 55, 56	syl2anc 666	. 2 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( D e. A /\ ps ) ) -> ( E. y e. A ( ph /\ C = B ) <-> ( iota x E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) = C ) )
58	9, 57	mpbid 214	1 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( D e. A /\ ps ) ) -> ( iota x E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   A.wal 1436   = wceq 1438   E.wex 1660   e. wcel 1869   E!weu 2266   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082   [_csb 3396   iotacio 5561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-nul 4553

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-sn 3998  df-pr 4000  df-uni 4218  df-iota 5563

This theorem is referenced by: (None)