Theorem unirep 30179

Description: Define a quantity whose definition involves a choice of representative, but which is uniquely determined regardless of the choice. (Contributed by Jeff Madsen, 1-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
unirep.1	|- ( y = D -> ( ph <-> ps ) )
unirep.2	|- ( y = D -> B = C )
unirep.3	|- ( y = z -> ( ph <-> ch ) )
unirep.4	|- ( y = z -> B = F )
unirep.5	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
unirep	|- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( D e. A /\ ps ) ) -> ( iota x E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) = C )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, z   x, C, y   x, D, y   x, F, y   ph, x, z   ps, x, y   ch, x, y

Allowed substitution hints:   ph( y)   ps( z)   ch( z)   B( y)   C( z)   D( z)   F( z)

Proof of Theorem unirep

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2444	. . . . 5 |- ( ps -> C = C )
2	1	ancli 551	. . . 4 |- ( ps -> ( ps /\ C = C ) )
3		unirep.1	. . . . . 6 |- ( y = D -> ( ph <-> ps ) )
4		unirep.2	. . . . . . 7 |- ( y = D -> B = C )
5	4	eqeq2d 2457	. . . . . 6 |- ( y = D -> ( C = B <-> C = C ) )
6	3, 5	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( y = D -> ( ( ph /\ C = B ) <-> ( ps /\ C = C ) ) )
7	6	rspcev 3196	. . . 4 |- ( ( D e. A /\ ( ps /\ C = C ) ) -> E. y e. A ( ph /\ C = B ) )
8	2, 7	sylan2 474	. . 3 |- ( ( D e. A /\ ps ) -> E. y e. A ( ph /\ C = B ) )
9	8	adantl 466	. 2 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( D e. A /\ ps ) ) -> E. y e. A ( ph /\ C = B ) )
10		nfcvd 2606	. . . . . 6 |- ( D e. A -> F/_ y C )
11	10, 4	csbiegf 3444	. . . . 5 |- ( D e. A -> [_ D / y ]_ B = C )
12		unirep.5	. . . . . 6 |- B e. _V
13	12	csbex 4570	. . . . 5 |- [_ D / y ]_ B e. _V
14	11, 13	syl6eqelr 2540	. . . 4 |- ( D e. A -> C e. _V )
15	14	ad2antrl 727	. . 3 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( D e. A /\ ps ) ) -> C e. _V )
16		eqeq1 2447	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = C -> ( x = B <-> C = B ) )
17	16	anbi2d 703	. . . . . . . . . 10 |- ( x = C -> ( ( ph /\ x = B ) <-> ( ph /\ C = B ) ) )
18	17	rexbidv 2954	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> ( E. y e. A ( ph /\ x = B ) <-> E. y e. A ( ph /\ C = B ) ) )
19	18	spcegv 3181	. . . . . . . 8 |- ( C e. _V -> ( E. y e. A ( ph /\ C = B ) -> E. x E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) )
20	14, 19	syl 16	. . . . . . 7 |- ( D e. A -> ( E. y e. A ( ph /\ C = B ) -> E. x E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) )
21	20	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( D e. A /\ ps ) -> ( E. y e. A ( ph /\ C = B ) -> E. x E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) )
22	8, 21	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( D e. A /\ ps ) -> E. x E. y e. A ( ph /\ x = B ) )
23	22	adantl 466	. . . 4 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( D e. A /\ ps ) ) -> E. x E. y e. A ( ph /\ x = B ) )
24		r19.29 2978	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) -> E. y e. A ( A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( ph /\ x = B ) ) )
25		r19.29 2978	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ E. z e. A ( ch /\ w = F ) ) -> E. z e. A ( ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( ch /\ w = F ) ) )
26		an4 824	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x = B ) /\ ( ch /\ w = F ) ) <-> ( ( ph /\ ch ) /\ ( x = B /\ w = F ) ) )
27		pm3.35 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ch ) /\ ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) ) -> B = F )
28		eqeq12 2462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x = B /\ w = F ) -> ( x = w <-> B = F ) )
29	27, 28	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ch ) /\ ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) ) -> ( ( x = B /\ w = F ) -> x = w ) )
30	29	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( ph /\ ch ) ) -> ( ( x = B /\ w = F ) -> x = w ) )
31	30	expimpd 603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) -> ( ( ( ph /\ ch ) /\ ( x = B /\ w = F ) ) -> x = w ) )
32	26, 31	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) -> ( ( ( ph /\ x = B ) /\ ( ch /\ w = F ) ) -> x = w ) )
33	32	ancomsd 454	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) -> ( ( ( ch /\ w = F ) /\ ( ph /\ x = B ) ) -> x = w ) )
34	33	expdimp 437	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( ch /\ w = F ) ) -> ( ( ph /\ x = B ) -> x = w ) )
35	34	rexlimivw 2932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. z e. A ( ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( ch /\ w = F ) ) -> ( ( ph /\ x = B ) -> x = w ) )
36	35	imp 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E. z e. A ( ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( ch /\ w = F ) ) /\ ( ph /\ x = B ) ) -> x = w )
37	25, 36	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ E. z e. A ( ch /\ w = F ) ) /\ ( ph /\ x = B ) ) -> x = w )
38	37	an32s 804	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( ph /\ x = B ) ) /\ E. z e. A ( ch /\ w = F ) ) -> x = w )
39	38	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( ph /\ x = B ) ) -> ( E. z e. A ( ch /\ w = F ) -> x = w ) )
40	39	rexlimivw 2932	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. A ( A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( ph /\ x = B ) ) -> ( E. z e. A ( ch /\ w = F ) -> x = w ) )
41	24, 40	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) -> ( E. z e. A ( ch /\ w = F ) -> x = w ) )
42	41	expimpd 603	. . . . . 6 |- ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) -> ( ( E. y e. A ( ph /\ x = B ) /\ E. z e. A ( ch /\ w = F ) ) -> x = w ) )
43	42	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( D e. A /\ ps ) ) -> ( ( E. y e. A ( ph /\ x = B ) /\ E. z e. A ( ch /\ w = F ) ) -> x = w ) )
44	43	alrimivv 1707	. . . 4 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( D e. A /\ ps ) ) -> A. x A. w ( ( E. y e. A ( ph /\ x = B ) /\ E. z e. A ( ch /\ w = F ) ) -> x = w ) )
45		eqeq1 2447	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( x = B <-> w = B ) )
46	45	anbi2d 703	. . . . . . 7 |- ( x = w -> ( ( ph /\ x = B ) <-> ( ph /\ w = B ) ) )
47	46	rexbidv 2954	. . . . . 6 |- ( x = w -> ( E. y e. A ( ph /\ x = B ) <-> E. y e. A ( ph /\ w = B ) ) )
48		unirep.3	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( ph <-> ch ) )
49		unirep.4	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> B = F )
50	49	eqeq2d 2457	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( w = B <-> w = F ) )
51	48, 50	anbi12d 710	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( ( ph /\ w = B ) <-> ( ch /\ w = F ) ) )
52	51	cbvrexv 3071	. . . . . 6 |- ( E. y e. A ( ph /\ w = B ) <-> E. z e. A ( ch /\ w = F ) )
53	47, 52	syl6bb 261	. . . . 5 |- ( x = w -> ( E. y e. A ( ph /\ x = B ) <-> E. z e. A ( ch /\ w = F ) ) )
54	53	eu4 2324	. . . 4 |- ( E! x E. y e. A ( ph /\ x = B ) <-> ( E. x E. y e. A ( ph /\ x = B ) /\ A. x A. w ( ( E. y e. A ( ph /\ x = B ) /\ E. z e. A ( ch /\ w = F ) ) -> x = w ) ) )
55	23, 44, 54	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( D e. A /\ ps ) ) -> E! x E. y e. A ( ph /\ x = B ) )
56	18	iota2 5567	. . 3 |- ( ( C e. _V /\ E! x E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) -> ( E. y e. A ( ph /\ C = B ) <-> ( iota x E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) = C ) )
57	15, 55, 56	syl2anc 661	. 2 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( D e. A /\ ps ) ) -> ( E. y e. A ( ph /\ C = B ) <-> ( iota x E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) = C ) )
58	9, 57	mpbid 210	1 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( D e. A /\ ps ) ) -> ( iota x E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1381   = wceq 1383   E.wex 1599   e. wcel 1804   E!weu 2268   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3095   [_csb 3420   iotacio 5539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-nul 4566

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-sn 4015  df-pr 4017  df-uni 4235  df-iota 5541

This theorem is referenced by: (None)