MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unir1 Structured version   Unicode version

Theorem unir1 8025
Description: The cumulative hierarchy of sets covers the universe. Proposition 4.45 (b) to (a) of [Mendelson] p. 281. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
unir1  |-  U. ( R1 " On )  =  _V

Proof of Theorem unir1
StepHypRef Expression
1 setind 7959 . 2  |-  ( A. x ( x  C_  U. ( R1 " On )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  U. ( R1 " On )  =  _V )
2 vex 2980 . . . 4  |-  x  e. 
_V
32r1elss 8018 . . 3  |-  ( x  e.  U. ( R1
" On )  <->  x  C_  U. ( R1 " On ) )
43biimpri 206 . 2  |-  ( x 
C_  U. ( R1 " On )  ->  x  e. 
U. ( R1 " On ) )
51, 4mpg 1593 1  |-  U. ( R1 " On )  =  _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2977    C_ wss 3333   U.cuni 4096   Oncon0 4724   "cima 4848   R1cr1 7974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-reg 7812  ax-inf2 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-r1 7976
This theorem is referenced by:  jech9.3  8026  rankwflem  8027  rankval  8028  rankr1g  8044  rankid  8045  ssrankr1  8047  rankel  8051  rankval3  8052  rankpw  8055  rankss  8061  ranksn  8066  rankuni2  8067  rankun  8068  rankpr  8069  rankop  8070  r1rankid  8071  rankeq0  8073  rankr1b  8076  dfac12a  8322  hsmex2  8607  grutsk  8994
  Copyright terms: Public domain W3C validator