MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unir1 Structured version   Unicode version

Theorem unir1 8283
Description: The cumulative hierarchy of sets covers the universe. Proposition 4.45 (b) to (a) of [Mendelson] p. 281. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
unir1  |-  U. ( R1 " On )  =  _V

Proof of Theorem unir1
StepHypRef Expression
1 setind 8217 . 2  |-  ( A. x ( x  C_  U. ( R1 " On )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  U. ( R1 " On )  =  _V )
2 vex 3090 . . . 4  |-  x  e. 
_V
32r1elss 8276 . . 3  |-  ( x  e.  U. ( R1
" On )  <->  x  C_  U. ( R1 " On ) )
43biimpri 209 . 2  |-  ( x 
C_  U. ( R1 " On )  ->  x  e. 
U. ( R1 " On ) )
51, 4mpg 1667 1  |-  U. ( R1 " On )  =  _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   U.cuni 4222   "cima 4857   Oncon0 5442   R1cr1 8232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-reg 8107  ax-inf2 8146
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-r1 8234
This theorem is referenced by:  jech9.3  8284  rankwflem  8285  rankval  8286  rankr1g  8302  rankid  8303  ssrankr1  8305  rankel  8309  rankval3  8310  rankpw  8313  rankss  8319  ranksn  8324  rankuni2  8325  rankun  8326  rankpr  8327  rankop  8328  r1rankid  8329  rankeq0  8331  rankr1b  8334  dfac12a  8576  hsmex2  8861  grutsk  9246
  Copyright terms: Public domain W3C validator