MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unir1 Structured version   Unicode version

Theorem unir1 8231
Description: The cumulative hierarchy of sets covers the universe. Proposition 4.45 (b) to (a) of [Mendelson] p. 281. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
unir1  |-  U. ( R1 " On )  =  _V

Proof of Theorem unir1
StepHypRef Expression
1 setind 8165 . 2  |-  ( A. x ( x  C_  U. ( R1 " On )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  U. ( R1 " On )  =  _V )
2 vex 3116 . . . 4  |-  x  e. 
_V
32r1elss 8224 . . 3  |-  ( x  e.  U. ( R1
" On )  <->  x  C_  U. ( R1 " On ) )
43biimpri 206 . 2  |-  ( x 
C_  U. ( R1 " On )  ->  x  e. 
U. ( R1 " On ) )
51, 4mpg 1603 1  |-  U. ( R1 " On )  =  _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   U.cuni 4245   Oncon0 4878   "cima 5002   R1cr1 8180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-reg 8018  ax-inf2 8058
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-r1 8182
This theorem is referenced by:  jech9.3  8232  rankwflem  8233  rankval  8234  rankr1g  8250  rankid  8251  ssrankr1  8253  rankel  8257  rankval3  8258  rankpw  8261  rankss  8267  ranksn  8272  rankuni2  8273  rankun  8274  rankpr  8275  rankop  8276  r1rankid  8277  rankeq0  8279  rankr1b  8282  dfac12a  8528  hsmex2  8813  grutsk  9200
  Copyright terms: Public domain W3C validator