Theorem uniopn 20004

Description: The union of a subset of a topology is an open set. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
uniopn	|- ( ( J e. Top /\ A C_ J ) -> U. A e. J )

Proof of Theorem uniopn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopg 20002	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( J e. Top <-> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) ) )
2	1	ibi 249	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) )
3	2	simpld 466	. . 3 |- ( J e. Top -> A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) )
4		elpw2g 4564	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top -> ( A e. ~P J <-> A C_ J ) )
5	4	biimpar 493	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ A C_ J ) -> A e. ~P J )
6		sseq1 3439	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( x C_ J <-> A C_ J ) )
7		unieq 4198	. . . . . . . . . 10 |- ( x = A -> U. x = U. A )
8	7	eleq1d 2533	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( U. x e. J <-> U. A e. J ) )
9	6, 8	imbi12d 327	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( ( x C_ J -> U. x e. J ) <-> ( A C_ J -> U. A e. J ) ) )
10	9	spcgv 3120	. . . . . . 7 |- ( A e. ~P J -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) -> ( A C_ J -> U. A e. J ) ) )
11	5, 10	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ A C_ J ) -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) -> ( A C_ J -> U. A e. J ) ) )
12	11	com23 80	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A C_ J ) -> ( A C_ J -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) -> U. A e. J ) ) )
13	12	ex 441	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( A C_ J -> ( A C_ J -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) -> U. A e. J ) ) ) )
14	13	pm2.43d 49	. . 3 |- ( J e. Top -> ( A C_ J -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) -> U. A e. J ) ) )
15	3, 14	mpid 41	. 2 |- ( J e. Top -> ( A C_ J -> U. A e. J ) )
16	15	imp 436	1 |- ( ( J e. Top /\ A C_ J ) -> U. A e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   A.wal 1450   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   i^i cin 3389   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   Topctop 19994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-an 378  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ral 2761  df-rex 2762  df-v 3033  df-in 3397  df-ss 3404  df-pw 3944  df-uni 4191  df-top 19998

This theorem is referenced by:  iunopn  20005  unopn  20010  0opn  20011  topopn  20013  tgtop  20066  ntropn  20141  toponmre  20186  neips  20206  txcmplem1  20733  unimopn  21589  metrest  21617  locfinreflem  28741  cvmscld  30068  mblfinlem3  32043  mblfinlem4  32044  ismblfin  32045  cnopn  37436