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Theorem uniopn 18515
Description: The union of a subset of a topology is an open set. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
uniopn  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  ->  U. A  e.  J
)

Proof of Theorem uniopn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 istopg 18513 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
)  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
) ) )
21ibi 241 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
)  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
) )
32simpld 459 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  A. x
( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
) )
4 elpw2g 4460 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  ~P J  <->  A 
C_  J ) )
54biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  ->  A  e.  ~P J
)
6 sseq1 3382 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
x  C_  J  <->  A  C_  J
) )
7 unieq 4104 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  U. x  =  U. A )
87eleq1d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( U. x  e.  J  <->  U. A  e.  J ) )
96, 8imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
)  <->  ( A  C_  J  ->  U. A  e.  J
) ) )
109spcgv 3062 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~P J  -> 
( A. x ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J )  ->  ( A  C_  J  ->  U. A  e.  J
) ) )
115, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( A. x ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J )  ->  ( A  C_  J  ->  U. A  e.  J
) ) )
1211com23 78 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( A  C_  J  ->  ( A. x ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J )  ->  U. A  e.  J
) ) )
1312ex 434 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  C_  J  ->  ( A  C_  J  ->  ( A. x ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
)  ->  U. A  e.  J ) ) ) )
1413pm2.43d 48 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  C_  J  ->  ( A. x ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
)  ->  U. A  e.  J ) ) )
153, 14mpid 41 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  C_  J  ->  U. A  e.  J ) )
1615imp 429 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  ->  U. A  e.  J
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720    i^i cin 3332    C_ wss 3333   ~Pcpw 3865   U.cuni 4096   Topctop 18503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ral 2725  df-rex 2726  df-v 2979  df-in 3340  df-ss 3347  df-pw 3867  df-uni 4097  df-top 18508
This theorem is referenced by:  iunopn  18516  unopn  18521  0opn  18522  topopn  18524  tgtop  18583  ntropn  18658  toponmre  18702  neips  18722  txcmplem1  19219  unimopn  20076  metrest  20104  cvmscld  27167  mblfinlem3  28435  mblfinlem4  28436  ismblfin  28437
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